线性代数复习题

1、线性代数复习题共10页第11页一填空题1 求下列各排列的逆序数t:3 5 2 1 4 , t=; 3 4 2 5 1 , t=; 2 5 4 3 1 , t=2 计算三阶行列式21 kD 0 2 4；当 k 、时，得 D 8k 103已知矩阵Ax,B yat,atb4.已知二阶方阵, AtBA (a 0) o A, A*,a15设A、B都是三阶方阵，已知A 3, B 22A , 3B , 2AB o6. 已知三阶方阵321A 21 3 o A , R(A) ，一个最高阶非零子式 7057. n元线性方程组Ax b无解的充要条件是R(A)，有唯一解的充要条件是R(A)，有无限多解的充要条件是 R

2、(A)8. 已知向量组A构成的矩阵为k1 1A (aa2,a3)1 k 1。当k 、时，向量组A线性无关。1 1 k9. 已知向量组 A:a1(1, 3)T,a2(2, )T ;向量 b ( ,3)T。当 、时,b不能由A线性表示；当 时，b可由A线性表示且表示式唯一。10已知三阶方阵1 0 2A 020。2 0 8计算：一阶主子式=,二阶主子式=,三阶主子式=11. 求下列各排列的逆序数t:1 2 3 4，t=，t=；2 4 1 3，t=12. 计算三阶行列式；当时，得D 413. 已知三阶方阵AB,3AB2A,AtB,A*14. 已知二阶方阵,a115.设A、B都是三阶方阵，已知 A2,

3、B2B,ab16. 已知三阶方阵,R(A),一个最高阶非零子式17. n元齐次线性方程组Ax O有非零解的充要条件是R(A),线性方程组Ax b有解的充要条件是R(A),矩阵方程AX B有解的充要条件是R(A)o18. 已知向量组A构成的矩阵为(ai , a2 , a3 )当k 、时，向量组A线性无关。19. 已知向量组 A: a1 ( ,2)t , a2( 2,1)T ;向量 b (1, )T。当 、时，b不能由A线性表示；当 时，b可由A线性表示且表示式唯一。20. 将向量ai化为对应的单位向量e(i 1,2,3):a1(1,2, 1)T , a2( 1,1,1)T , a3(1,0,1)

4、T ;e1 ,e2 ,03 。21. 计算三阶行列式a b cb a cbaab c a?c b a?c b bcaba c ba c c22. 已知方程组kX1X2 1。系数行列式D ;若方程组有唯一解,3% 2x25则D ，此时得k 。23. 已知三维向量 A (1,2,3), B (3,2,1)t。AB , BA24. 已知二阶方阵,A Bt 1 a2。A,A* , A 125. 设A、B都是三阶方阵,已知 A 1, B 22A , 2B , 2AB 26. 已知方程组Ax b为2x1 3x27A 1；X1,X2X 2x2。727.已知方程组3x1kx2X30系数行列式D；若方程组有非零

5、解，则4X2X30。k,。kx14X2028.已知向量组A:玄1(k1,0,0)T, a2(0,k,1)T,as (0,1,k)T。矩阵A(a1 ,a2 , a3,);当k、时，向量组A线性相关。29.判断向量组A: a1(0,)T,a2( 3,）T的线性相关无关性：当当1,0时，A线性;当0,1时，A线性当当1,1时，A线性。)30.若向量6构成向量空间V的一个规范正交基，则ei , e2 , ei, e2 31. 计算三阶行列式（未写出的元素为 0）aaabbd bcce f c32. 已知方程组2X1 kX2 2。系数行列式D ;若方程组有唯一解,x1 x23则D ，此时得k 。33.

6、已知二阶方阵AAB , BA , ABT 34. 已知二阶方阵, A* , A35. 设A、B都是三阶方阵，已知 A 3, B 22A , 3B , |AB 36. 已知方程组Ax b为x1x22a 1；X1,X22x1 x2137.已知方程组x1 2x2x30系数行列式D；若方程组有非零解，则3x1 kx20 。k, kx1 4x2 2x3038.已知向量组A: a1(k,0,1)T,a2(0,k 1,0)T ,a3(1,0,k)T 矩阵A (a1 ,a2 , a3);当k、时,向量组a线性相关。39.判断向量组A: a1(,1)T, a2(8, )T的线性相关无关性:当4，2时，A线性；当

7、1 ,0时，a线性当0,1时，A线性40已知向量 a (1,2,3)t , b (1,2,1)T，则a ， b , a,b 41. 已知行列式3 52,M 32,M 331 1 3，计算余子式：M1 3442. 已知方程组3X1 kX2 0。系数行列式D ;若方程组有非零解,x1 2x20则D ，此时得k 。43. 已知二阶方阵Aat ，bt ，(AB)t44. 已知二阶方阵49.判断向量组A: a1(4, )T, a2(,3)T的线性相关无关性：当0,0时，A线性:当1，2时，A线性当2，6时，A线性。50.设n维向量X (X1,X2, Xn)T、y(y1, y2, yn) ，P为正交矩阵，

8、则成立结论时，向量组A线性相关。当kA (ai,a2,a3)o7n,A*，A145 .设A为n阶方阵，已知AR(A)nA146.已知方程组AxXi 2x212xi 2x22；Xi，X247.已知方程组xi x2 2x32x1 X2 X32x1 2x2 4x3Xi，X2，X348.已知向量组A: ai(k,2, 2)T,a2(2,k3, 4)t ,a3( 2, 4,k3)T。矩阵恒存在正交变换,将二次型aijXiXj (aijaji)化为标准i,j 1，其中是f的矩阵A (aij)的特征值。.计算题 1.已知矩阵2 1 1113A 210 B4 321 1 1(1) .求A 1;(2).解矩阵方

9、程XA B2 已知矩阵42 112A 311B102 1 234(1).求 A 1 ；(2).解矩阵方程AX B。3 已知矩阵1 1 1113A 210B4321 1 11251(1).求 A1(2).解矩阵方程XAB。6703 214已知矩阵A024B 3156203 23(1).求 A 11 ;7(2).解矩阵方程XAB。11125.已知矩阵A213B 13250(1).求 A1 .解矩阵方程AXB。6.设有向量组A :a1(1,1,2,4)T,a2(0,3,1,2)t,a3(1, 1,2,0)T,a4(2,1,5,6)要求：(1).找出A的一个最大无关组Ao;(2) .写出A的秩Ra ;

10、(3) .其余向量用Ao线性表示。7设有向量组 A:ai(1,1,3,1)T,a2( 1,1, 1,3)丁 (5, 2,8, 9)T 且 (1,3,1,7)T要求：(1).找出A的一个最大无关组Ao ；(2) .写出A的秩Ra ；(3) .其余向量用Ao线性表示。8设有向量组 A：ai(1,1,2,3)02(1, 1,1,1)T,as (1,3,3,5)04(4, 2,5,6)T。要求：(1).找出A的一个最大无关组Ao；(2) .写出A的秩Ra；(3) .其余向量用Ao线性表示。9. 设有向量组 A：a1( 1,1,0,1)T,a2( 1,2,1,3)丁忌(0,1,1,2)04(0, 1,

11、1,1)T。要求：(1).找出A的一个最大无关组Ao ;(2) .写出A的秩Ra ;(3) .其余向量用Ao线性表示。10. 设有向量组 Ay (1, 1,1, 1)T,a2(3,1,1,3)T,a3(2,0,1,1)T 冋(1,1,0,2)T。要求：(1).找出A的一个最大无关组A。;(2) .写出A的秩Ra ；(3) .其余向量用A。线性表示。11.已知非齐次线性方程组x1x22x1 x2X3 2x415x13x22X3 2X4(1) .写出增广矩阵;(2) .求出系数矩阵与增广矩阵的秩；(3) .求出方程组的一个解；(4) .写出对应的齐次方程组的基础解系;(5) .写出方程组的通解。1

12、2.已知非齐次线性方程组x-i 5x2 2x3 3x41 15x1 3x2 6x3 x412x1 4x2 2x3 x46(1).写出增广矩阵；(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;(3) .求出方程组的一个解；(4) .写出对应的齐次方程组的基础解系;(5) .写出方程组的通解。13. 已知非齐次线性方程组共10页第 18页2x-X3X43x12x2X33x4Xi4x23x35x4(1) .写出增广矩阵；(2) .求出系数矩阵与增广矩阵的秩;(3) .求出方程组的一个解；(4) .写出对应的齐次方程组的基础解系;(5) .写出方程组的通解。14. 已知非齐次线性方程组x-i x22x464x1X

13、23x3X43x-|X23x3(1) .写出增广矩阵；(2) .求出系数矩阵与增广矩阵的秩；(3) .求出方程组的一个解；(4) .写出对应的齐次方程组的基础解系;(5) .写出方程组的通解。15. 已知非齐次线性方程组2x1X2X3X41%X2X3X424x1X2X3X45(1) .写出增广矩阵；(2) .求出系数矩阵与增广矩阵的秩；(3) .求出方程组的一个解；(4) .写出对应的齐次方程组的基础解系;(5) .写出方程组的通解。2 0 016. 已知矩阵A 0 3 2。求关于A的:0 2 3(1).特征多项式；(2).特征值；(3).对应特征值的基础解系；(4).全部特征向量表示式。11 117. 已知矩阵A 111。求关于A的：11 1(1).特征多项式；(2).特征值；(3).对应特征值的基础解系；(4).全部特征向量表示式。13118. 已知矩阵A 011。求关