异面直线所成角练习

1、1 如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，异面直线 AQ与BCi所成的角为OA.DC . 60 90连接BiC,【答案】【解析】 试题分析：如图所示,故选：D.考点：异面直线及其所成的角 2 已知平行六面体=Z A1AD= 120 , AD与BC所成的角为90.ABCDABGD中，底面 ABCD是边长为则异面直线AC与AiD所成角的余弦值（的正方形，AA = 2,Z AAB)147155【答案】B【解析】皿ADr aMBuuurL iUJUAC1V2, A1D7,uuur umucos AC1, A1DuuuuAC1uuurADAC1考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3正方体 A

2、BCD A1BGD1 中，E,F,G,H 分别是 AA1, AB , BB1, BG 的中点，则直线EF与GH所成的角是（）D . 90A. 30B . 45C . 60【答案】C【解析】试题分析：由三角形中位线可知 EF PAiB,GH PBCi，所以异面直线所成角为ABG , 大小为60考点：异面直线所成角GF 、5,DCi .8, DF5 cos DC1F104在正方体ABCD ABC1D1中，E是BG的中点，则异面直线 DC1与BE所成角的余弦值为（)A. 25B .C .10 D .2、55555【答案】B【解析】试题分析：取BC中点F ,连结FD , FC1，则 DC1F为异面直线

3、所成角，设边长为2,考点：异面直线所成角5 如图，正四棱柱 ABCD AB C D中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）,AA 3AB，则异面直线 AB与AD所成角的余弦值为（）CC0473A、9B、一C、d、 105105【答案】A【解析】试题分析:连结BC,异面直线所成角为ABC，设 AB 1 ,在 ABC中ac &,ab bc局9cos A BC 10考点：异面直线所成角6 .点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , PA AB ,则PB与AC所成的角是A. 60B. 90C. 45D . 30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为所以PB与AC

4、所成的角就是 FEA，由题意可知： EF AE AF 、2 ,所以 FEA 60 .考点：异面直线的位置关系.7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDAi B1C1D1中，M是棱CD的中点，则AiM与DCi所成角的余弦值为（-B.A.26C.10 10D.10 10【答案】A【解析】试题分析：以D为原点，分别以 DA, DC , DD1为x, y, z轴的正半轴建立空间直角坐标系 D - xyz ,1由棱长为 1 ,则 D(0,0,0), A,(1,0,1),M (0, ,0), C1(0,1,1),所 以2ULUir1UULUTA,M =(-1,2-1),dc10+1- 1=(0,1,1),

5、故 cos =2=2彳，故选A.考点：空间向量所成角的余弦值8 在正方体ABCD A| B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为A.32B .C【答案】D【解析】试题分析:联结AC、B1C则以cosB1ACcos60o12考点：异面直线所成的角9 在正方体 ABCD- AiBiCiD中，点角的取值范围是（)2 D122BiAC即为所成的角。VB!ACP在线段AD上运动，则异面直线为等边三角形，所CP与BA所的0A.B.C.D.答案】 D【解析】如图，连结 CD，则异面直线CP与BA所成的角0等于/ DCP,由图可知，当P点与A点重合时，B=3当P点无限

6、接近D点时，B趋近于0.由于是异面直线，故 0* 0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10如图，正方体 ABCD ABGDi，则下列四个命题： P在直线BCi上运动时，三棱锥 A DiPC的体积不变； P在直线BCi上运动时，直线 AP与平面ACDi所成角的大小不变;P在直线BCi上运动时，二面角 P ADi C的大小不变;M是平面ABiCiDi上到点D和Ci距离相等的点，贝U M点的轨迹是过 Di点的直线C【答案】C【解析】试题分析： BCi /平面ADi , BCi /上任意一点到平面ADiC的距离相 等，所以体积不变，正确.P在直线BCi上运动时，直线AB与平面ADiC 所成角和直线

7、ACi与平面ADiC所成角不相等，所以不正确.当P在直线BCi上运动时，AP的轨迹是平面PADi，即二面角P ADi C的大小不受影响，所以正确. M是平面ABGDi上到点D和Ci距离相等的点， M点的轨迹是一条与直线DCi平行的直线，而DDiDiCi,所以正确，故答案为：C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的 立体几何综合题ii .如图，正方体 ABCD-ABCiDi中，AB的中点为 M DD的中点为 N,则异面直线 B M与 CN所成的角是（）A. 0B.45 C. 60D.90【答案】D【解析】试题分析：解：取 AA的中点E ,连接EN , BE交Bi

8、M于点O ,则 EN / BC，且 EN BC四边形BCNE是平行四边形BE/CNBOM就是异面直线B1M与CN所成的角，而 Rt BB1M Rt ABEABEBBiM， BMBi AEB，BOM 90 故选 D.考点：异面直线所成角12 如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1 Di的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA1-2,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于【答案】60【解析】 试题分析：由直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长 4=3可得BD1 2,由AB PA1B1 知 ABD1就是异面直线AB与BD1的夹角,且cos ABD1丄，所以 ABD1=60

9、 ,即异面直线 AB1与BD1的夹角大小等于BD1260.考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13 .如果直线AB与平面 相交于B,且与 内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角 相同，则直线 AB与CD所成的角=.【答案】90【解析】试题分析：因为，直线AB与平面 相交于B ,且与 内过点B的三条直线BC, BD,BE所成的角相同，所以，直线 AB在平面 内的射影应是BC, BD夹角的平分线，同时也应是 BD,BE夹角及BC, BE的平分线，因此，直线 AB在平面 内的射 影是点B，即AB ，而CD ，所以AB CD ,直线AB与CD所成的角为90考点：直线与直线、直线与平面的位置关系1

10、4 .平行六面体 ABCA1BCD中，以顶点A为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为60,则DB1和GA所成角大小为 .【答案】 arccos6【解析】试题分析：由于DB1AB AA AD, A1C1 ABAD而DB1 GAABAA AD (AB AD)ABABADAA ABAA ADADAB2AD4,同理求92DB1 2AB1 AA1 AD2AB12AD2AB1 AA12AB1 AD 2AA ADuuuu =8, DBi2J2 ，同理：GA2J3 ,设DBi和GA所成角大小为 ，则cos cos DB1 ,C1 A,考点：1.向量的加法和减法;DB, GA466 ，arccos.DB； G

11、A22 2伍662.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角;15 .已知四面体 ABCD中，DA DBDC 3. 2，且DA, DB, DC两两互相垂直，DA与r点O是 ABC的中心，将 DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线 直线BC所成角的余弦值的最大值是 _【答案】 .3【解析】试题分析：当 OA/BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即cosOAD ；易知：AB AC BC 6, OA 6 2.3, cos OAD OA 2 363DA 3f2 3考点：异面直线所成的角.16 .如图所示， ABCD A1B1C1D1为正方体，给出以下五个结论: BD

12、/ 平面 CB1D1 ； AC1丄平面CB1D1 ； AC1与底面ABCD所成角的正切值是 -2 ； 二面角c BD G的正切值是 2 ；过点Ai且与异面直线 AD和CBi均成70。角的直线有2条.其中，所有正确结论的序号为 .【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体 ABCD- ABCD中，由于BD/ BiD，由直线和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD，故正确.由正方体的性质可得 BiD丄A C, CG丄BiD,故 BD丄平面 ACCiA,故BiD丄AC . 同理可得BiC丄AC.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC丄平面CB D，故正确.CCi2AC与底面ABCD所成角的正切值为!

13、，故不正确.AC 22取 Bi D 的中点 M 则/ CMC即为二面角 C- B D- C的平面角，Rt CMCi中，tan /CCi LCMC=-2，故正确.GM 迈如下图，由于异面直线 AD与CB成45的二面角，过 Ai作MN/ AD PQ/ CB，设MN与 PQ确定平面 a，z PAM=45，过 A在面a上方作射线 A H,则满足与 MN PQ成70的射线 Ai H有4条：满足/ MAH=Z PAH=7C的有一条，满足/ PAH=Z NAH=70 的有一条，满足/ NAH=Z QAH=7C 的有一条，满足QAH=Z MAH=7C的有一条.故满足与MN PQ成70的直线有 4条，故过点 A

14、与异面直线AD与CB成70角的直线有4条，故不正确.故答案为.考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定i 7 .如图，正方体 ABCD-Ai B C D中，E，F分别是正方形 ADDA和ABCD的中心，G是CC的中点。设GF，C E与AB所成的分别为，则【答案】一2AA丄底面 ABC AB= BC= AA,/ ABC= 90,EF和BC的夹角是【答案】一3【解析】 试题分析：取正方形 BiCCB的中点为点0,连结OCOE,取BC的中点为点A，连结GH , FH，通过分析可知 0G / GH , OE/ FH得平面CiEO/平面GFH ,设正方形边长为

15、 2，在 GFH中，GH . 2, FH 1,GF.3,则sin2,cos 、31 ,在3GEO中0E2, GE6, OC12 ,则sin2 1.6. 3,22cos6,所以。2考点：直线与平面所成角，面面平行问题。18 .如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C中, 点E、F分别是棱AB BB的中点，则直线【解析】试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系.由于AB=BC=AA不妨取AB=2,贝U E (0,1 , 0), F (0, 0,UUJTUlUU1) , C (2 , 0 , 2). EF = (0 , - 1, 1), BC1 = (2 , 0 , 2). uuu ujua cos E

16、F,BGUJU UlUU-UEU一UtU厂 厂.异面直线EF和BC的夹角为一故|EF | |BC1 |2 v823答案为：一3a考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角.19如图，在直三棱柱 ABC ABQ中， ACB 90, AA,2, AC BC 1，则异【答案】【解析】试题分析:由于AC / ACi，所以BAiCi （或其补角）就是所求异面直线所成的角,面直线A1B与AC所成角的余弦值是在 BAG中,AB 76, AC1 1, BG V5, cos BAG 6 ； 5 2、6 1 6考点：异面直线所成的角.20.在正三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B

17、1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是【答案】60【解析】试题分析：如图所示取 BC中点E,连接AE, DE易得AD与平面BB1C1C所成角为 ADE，设正三棱柱棱长为 2,则等边三角形 ABQ边上的中线AE 3 , DE 1，直角三角形中ADE 60考点：直线与平面所成的角.21.如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，AB= AC= 1 , AA = 2，/ BiAiCi = 90, D 为 BB 的中 点，则异面直线 CD与AC所成角的余弦值为 .【答案】 -5【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异

18、面直线所成的角不大于90 ）本题中我们就可以把CiD向下平移到过点C （实际作图时，是延长BiB到E，使BE BiD，则有CE/ CiD，然后在 AiCE中求出 ACE，就可得出题中要求的角.考点：异面直线所成的角.22 .四棱锥P ABCD勺所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则 CD与PA所成角的余弦值为.【答案】 5【解析】试题分析：正方形 ABCD中，CD/ AB,aZ PAB或其补角就是异面直线CD与PA 所成的角， PAB 中,PA=PB= 5, AB=2 ,/ cos /PA2 AB2 PB25 4 5J5PAB= .2PA AB 2525考点：1.余弦定理的应用

19、；2.异面直线及其所成的角23 .如图所示，正方形 ABCD中, E、F分别是AB AD的中点，将此正方形沿 EF折成直 二面角后，异面直线 AF与BE所成角的余弦值为1【答案】丄2【解析】试题分析：过F做FH/DC，过A做AG EF，连接GH ,在三角形AGH中，AHAFH即为异面直线 AF与BE所成角DE 平面CDAD 平面CDAD DE设正方形ABCD的边长为2,则在VAFH中，AF 1, FH 2, AH .3 ,11二cos AFH，故答案为一22考点：异面直线所成的角的计算ABCD A1B1C1D1 E为 C1D1 AE BC2【答案】23【解析】如图，由 AD / BC DAE是异