案例8——直角坐标系课案

1、教案612平面直角坐标系人大附中孙芳课题：平面直角坐标系（第六章第一节第二课时）. 教材：人教版实验教科书数学七年级下册.教学目标：1. 初步掌握平面直角坐标系及相关概念；能由坐标描点，由点写出坐标.2. 经历知识的形成过程，引导学生用类比的方法思考和解决问题，进一步体会数 形结合的思想，认识平面内的点与坐标的对应.3. 通过介绍相关数学史培养学生善于观察，勤于思考的品质. 教学重点：平面内点的坐标概念以及由坐标描点和由点写出坐标.教学难点：认识平面内点与坐标的对应.教学方法：启发引导与共同讨论.教学手段：投影和计算机辅助教学.教学流程:展示父流 提出问题总结交流表示位 置的不同方法复习数轴并

2、提出研究问题：如何 确定和表示平面内点的位置!建立模型 解决问题4确定人大附中东 门、南门的位置类比数轴的产生，建立平面直角 坐标系，表示平面内任点位直抽象概念 辨析理解4由坐标描点 由点写坐标体会坐标的有序性，认识点与坐 标的对应1归纳总结 提升认识4介绍数学史回顾 总结本节课内容激发学生兴趣，指导学生从知识 与方法两方面总结第15页共12页教学过程设计:教学环节教学过程展 示 交 流【上一节课后作业】人大附中校庆，你作为志愿者如何为嘉宾描述学校东门的位置?提出问题学生作业中提出可能的各种方案：1坐302路公交车，海淀黄庄南站下车就是人大附中；2 海淀影剧院往南400米；3从海淀医院向东到海

3、淀黄庄十字路口往南 200米;4.用图1表示：西人大附中东门黄庄路口新中关东门（图1）5.按地图册里表示地理位置的方法（上北下南，左西右东）用图2表示；北I I中关村一桥海淀医院海淀影院 e|东.黄庄路口人大附中四通桥（图2）6.从黄庄路口向南200米，向西50米，用有序数对（200, 50） 表示. （也许还有其它的答案）教师针对学生的各种回答及时鼓励、点拨.教师简单总结作业：主要有文字语言描述、图形语言描述两类; 重点点评两种描述方法（图1和图2）:设计意图 点评作业， 复习巩固表 示物体位置 的方法，也 为提出本节 课的研究问 题创设了情 境，贴近学 生生活的背 景调动学生 的学习热 情

4、.教学 环节教学过程设计意图在图1这种图示的方法中，将马路看成一条直线，将学校东门等 地看作是这条直线上的点，既简洁又清晰.问题1你能分别用一个数表示人大附中东门和新中关东门的位置吗？ 以黄庄路口为原点，1米为单位长度，由南向北的方向为正方向， 建立一条数轴（如图3），就可以用数-200和200分别表示附中东 门和新中关东门的位置.北人大附中东门黄圧路口新屮关东门肯定学生将 实际问题数 学化.复习数轴及-200O200（图3）针对学生可能会有的不同表示方法（如：原点选择不同），引导学 生体会：把原点选在黄庄路口，可以用正、负数更好地区分附中 东门与新中关东门在黄庄路口的不同方向北上-八|师：实

5、际生活中，我们更习惯于“上北下南、新中关东门门200尺左西右东”的表示方法，将图3改成图4.,小结：.在建立了数轴之后，这条直线上的点的位置 可用一个数（坐标）表示；借助数轴用正负黄庄路口 “。数表示位置可以区分方向.,结合图2提出本节研究课题：师：在这幅图中我们怎样更间捷的方法表人大附中东门.-200示位置呢？这正是我们这节课要研究的冋题：如何表示平面内任意一点的位置（图4）其三要素， 为引入新知 识作铺垫.回顾数的正 负可以表示 相反意义的 量.由研究直线 上点的位置 的表示过渡 到平面内点 的位置的表 示.一、一建立模型 解决问题 婷心独立思考二共同讨论7/|为了分流入场,新中关东门1北

6、1黄庄路口海淀南路人大附中南门O 1人大附中东门知春路1还有一些嘉宾会从南门进入学校.教学过程冋题22.1用几个数可以表示我校南门相对于黄庄路口的位置？ 为了有一个统一的标准表示位置，确定了在学校附近、大家又比 较熟知的黄庄路口作为参照点.学生可能提出的方法：可以表示南门与黄庄路口的距离（如 650米），再说明方向（如 南偏西60）就可以了；新中关东门黄庄路口海淀南路人大附中南门设计意图北海淀南路650米人大附中东门丄200*知春路400米新中关东门黄庄路口O人大附中东门中关村大街500米人大附中南门中关村大街可以分别表示附中南门到海淀南路与中关村南大街的距离 针对学生提出的两种方法，教师追问

7、：2.2只用其中的一个数表示位置可以吗？650米大附中东门人大附中南门海淀南路黄庄路口200米中关村大街新中关东门知春路中关村大街只用一个数650,可以表示以黄庄路口为圆心，650米长为半径 的圆上的所有点的位置；确定参照 点，简化研 究问题（三） 类 比 建 系 只用表示方向的角（如南偏西60）可以表示平面上的许多点， 它们都在射线上； 只用400 （或500）可以表示平面上许多个点，它们都在一条直 线上.在此思维冲突基础上，明确确定平面内点的位置只用一个数不可 以，应该用两个数（有序数对）表示.师：用怎样的有序数对表示？学生答案可能会有：用有序数对（400, 500）、（500, 400）

8、、（-400, 500）、（-500, -400）表示.2.3表示的位置相同，为什么有序数对不同？ 因为数对的顺序不同，不妨约定先西后南，这样就统一了； 利用正负可以区分方向.加深对用两 个数表示平 面内点的位 置的认识.引导学生充 分讨论，教 师适时点 评.教学环节教学过程师：以黄庄路口为原点，竖直方向的数轴，可以区分南北；怎样 区分东西方向？再建立一条水平方向的数轴，就可以利用数的正、负区分东西方 向了.师：你们简直不得了，这样表示位置的方法就是平面直角坐标系， 是当年大数学家笛卡儿发现的.笛卡儿是17世纪法国杰出的数学 家、是近代生物学的莫基人、是当时世界一流的物理学家.体会没有约定序的

9、数对不能确定位设计意图引导学生类 比着再建一 条数轴.（四）解决问题问题3借助平面直角坐标系是否可以表示平面内任意一点相对于黄庄路 口的位置？针对图中其它标志性建筑位置，练习说出有序数对鼓励性评价.海淀南路400米nJ、，一南新中关东门黄庄路口O人大附中东门中关村大企00七200知春大厦北门200米600米郭林家常北知春体会表示方法的一般性.小结：建立两条相互垂直、且原点重合的数轴，就可用有序数对 表示平面内点的位置三抽引导学生总结：（1）平面直角坐标系的定义.至此形成平象 概（2）介绍各部分名称.并在图中标出x轴（横轴），y轴（纵轴）， 原点各象限.面直角坐标念注意：坐标轴上的点不属于任何一

10、个象限.系的概念，（3）坐标的定义：由点分别向两轴作垂线，垂足在 x轴的坐标a辨叫做该点的横坐标，垂足在 y轴的坐标b叫做该点的纵坐标，有已水到渠析序数对（a, b）就叫做点的坐标.理【活动1】由坐标描点成.解1. 请你画一个平面直角坐标系（学生相互评判强调细节之处）.2. 在你画的坐标系中，描出下列各点，并顺次连结，绘制出图案.（3, 6）, （3, 3）, （1, 1）, （1, -1）, （3, -3）, （-3, -3）, （-1,-1), (-1, 1), (-3, 3), (-3, 6).落实正确画出坐标系的技能.教学环节教学过程设计意图问题（1）怎样描点（3, 6）?先在x轴上找

11、出表示3的点，再在y轴上找出表示6的点，过这落实由坐标两个点分别作x轴、y轴的垂线，垂线的交点就是点（3, 6）. 学生描点，教师巡视；学生相互纠错（图形非奖杯者必有点描错）.描点的方法，并从感问题（2）点（3, -3）和点（-3, 3）表示同一个点吗？说明什么？性上体会由一般情况下，点的横纵坐标不能颠倒，点的坐标是有序数对. 问题（3） 每一个坐标对应一个点，你能用学过的知识解释吗？坐标到点的两条直线相交，有且只有一个交点.对应.体会坐标的有序性.4B jj4 f4弓K：从理性上体 会由坐标到 点的对应.L43Ta，b)bt也2亠点丄坐标 枝寸应厂 a-1-2d-3yx形成数学来 源于生活又

12、 服务于生活 的认识.落实由点写 坐标的方 法，从感性学生做操图片，练习用坐标表示同学们的位置. 问题（1）在坐标平面内，怎样写出点P的坐标？分别过点P向x轴、y轴引垂线，垂足所对应的数分别为 a、b， 则点P的坐标为（a，b）.问题（2） 一个点的坐标有几个？为什么？只有一个，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 师：我们已经知道直线上的点与数（坐标）是对应的，那么坐标 平面上的点与有序数对（坐标）是对应的吗？学生讨论：通过刚才的研究我们发现，平面上的点对应唯对坐标，反过来，一对坐标也对应唯一一个点，这表明坐标平面内 的点与坐标 对应.这种思想很重要，同学们在将来的学习中还会遇到，请注

13、意体会. 点坐标（形）一一（数）教学环节教学过程问题（3）观察平面内点的坐标，特殊位置的点的坐标有哪些特征？8743212-5-67.83-X形数点的位置横坐标纵坐标第二象限（x轴上方，y轴左侧）x 0y0若学生回答无序，教师引导，解决这样一个问题应该分类.并列 表示范：上体会由点 到坐标的对 应.从理性上体 会由点到坐 标的对应.类比提出问题.设计意图提出开放性 的问题，给 下节课学习 特殊位置点 的坐标作铺 垫.体现形数转化.四、归 纳 总 结提 升 认 识【了解历史激发兴趣】师：前面提到这种方法是数学家笛卡尔提出的，你知道他是怎样 想到这种方法的吗？【相关数学史】关于笛卡儿和平面直角坐标

14、系，有一个有趣的传说：有一天，笛 卡儿生病卧床，他看见屋顶有一只蜘蛛，就想怎样确定它的位置？ 他见蜘蛛拉着丝垂了下来.一会儿，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在 上面左右拉丝蜘蛛的“表演”使笛卡儿豁然开朗，他想，可以把 蜘蛛看成一个点，它在屋子里可以向上、向下、向左、向右运动， 那能不能用横线和竖线描述蜘蛛在网上的位置呢？如果将蜘蛛网 看成一个平面，就可以用一组数（a，b）表示平面上的一个点， 平面上的一个点也就和一组有序的数对应起来了.于是，在蜘蛛 网的启示下，笛卡儿创建了平面直角坐标系.师：从这个传说中可以看出笛卡儿是个勤于思考的人.像瓦特看 到蒸汽顶起水壶盖发明了蒸汽机一样，笛卡儿在创建平面直角坐 标系的过程中，受到周围一些事物的启发，触发了灵感.我们一 定要善于观察、勤于思考.师：谈谈你学习本节课在知识和方法上的收获？ 学生可能从以下几方面总结：1. 了解并会画平面直角坐标系.2. 我学会了由点与坐标，由点的坐标描点.3. 在学习过程中，我体会到了，平面内的点与有序数的对应.4. 数学知识来源于实际生活.5. 数学符号太简捷了！融入史料， 激发学生的 学习兴趣， 同时培养学 生善于思 考、发现问 题、提出问 题的好品 质.学法指导一 怎样小结 一节课.教学环节教学过程设计意图师强调：1. 实际问题到数学问题再到实际问题.2. 文字语言到图形语言再到符号语言.3.类比（由数轴到平