等比数列前n项和公式的推导和运算解析

1、复习:等比数列an(2)通项公式：a”a】q肩A(3)重要性质：an= am*qn-nim+n=p+qan*am = apeaf这两个重要性质的、变化应用可大哩！(1)等比数列:3n+l页=q （定值）注:以上m, n, p, q均为自然数 侏掌握了叫?国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。 国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者 说：“请在棋盘的第一个格子里放上1粒麦子，在第2个 格子里放上2粒麦子，在第3个格子里放上4粒麦子，在 第4个格子里放上8粒麦子，依此类推，每个格子里放的 麦子数都是前一个格礬放的麦子数的2倍,直到第6 4 个格子。请给我足够的粮食来实现上

2、述要求。”你认为国 王有能力满足发明者上述要求吗？由于每个格子里的麦子数都是前一个格子里的麦子数的2倍, 且共有6 4个格子，所以各个格子里的麦粒数依次是：1 , 2 , 2 2 , 2 3, 2 6 3新课讲解即 S =2641.其前项和即 S = 1 + 2 + 22 +23 + + 2,2S =2 + 22 +2? + + 263 + 2皿得 2S S=21,由此对于比数列,Sfl =Q +aq + axq2 +。旳，如何化简？等比数列前II项求和公式推导公式已知：等比数列an,ai. q, n求：Sn解：Sn=3i+a2 + 刃3 +34+ +an=ai-i-aiq 十aiq?十mq*

3、十十mq11qSn=aiq +aiq2+aiq3 + aiq + aiq11 (l-q)Sn=3i-aiqni.qM)ndi(q=l)Sn=通项公式：an=ai.qn*f ai(i-qn)（2）d 27,6/9 = w q、Q例1、求下列等比数列前8项的和严它角军二（1）因为a=q = q所以当n = 8H寸256（2）II = 27. = d?讶得:刁才a 27 /s又由q0,可得：q = g1 6408 127于是当n = 8H寸例2、在等比数列仏冲，求满足下列条件硏:（1）。1 = 3 =2,求S”（2）今=2,n = 5,67 = g.求和（3）cZ| = l,6Zz/= 5 1 2s

4、” = 3 14 求 禾I 加ct = 1可得一341代2昭4的取值，应把它UASZ/ = nax = 2nr刪为a皤蠻勉哋銅疊殴a階n怦 卫、虚卅煤丹蝌其伊题啟（幽适当h 乂式。=x（25 11=1-2 2 7 2球二,例3：某商场今年销售计算机500冶，如杲平均每年的销售量 比上一年的销售量增加0%,那么从今年起，大约几年 可使总销售量达至IB000血(结果保留到个位)？分析：本例相当于在尊匕数列,求满足=3000啲n值。 解：由题意可知，从今年起 每年的销售量成等L擞列=500Q7 = (1 + 10%) = 1.1,5z/ = 30000由公式得：30000 =巴整理得1.L =1.6

5、两边取对数/zlgl.l = lgl.6,用计算器算得池=豁品(q=D等比数列前n项和公式你了解多少？答：从今年起，大纯年可使总销售量达至$000(0(1)等比数列前n项和公式：月川“错位和减法”推 C _ r(q)导。r naxSn-nSn=(qHl)Wd)(qi)l 一如iqiq-等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时注意q的取值是利用公式的前提;2 在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。所以片=（左=1）1、求等比数列,兀,/, F的前口项和2、某家电厂去年的销僵是。万台，计划在以后 每一年比上一年增加0%,问从今年起府内该家电 厂的销售总量是多少力台CL3、(1)在等比数歹业,

6、 % +勺=66卫2勺-1 = 12&(2)设等比数歹临”舶前n项和为盼若=14, s2n = 1 2仪求$3/21、求等比数歹山,兀,兀2,兀3,的前口项和? 解：由已知条件得,a】=l9q = x当21时，S厂斗学二芒当 X = 1 日寸，Sn = nax = rt2、某家电厂去年的销僵是。万台，计划在以后砒 每一年比上一年增加0%,问从今年起府内该家电 厂的销售总量是多少刀台？解：由题意得，从今年起，每年家电厂的销售总暈组成等比数歹ij。d =。(1 +10%) = 1.1。, (y = l 十 10% = 1 丄 n = 10所以Sy1 ll( = l.U(l.l10-l)答：从今年超(/! 4,勺是方程J 一 66x +1 28 = 0的两根解得5ax + an = 66, ci2an- = 1 2&n、q6Z)+ tzn = 66QS =128,二或ax = 64 勺=2T d工ci”：, g H 1若 = 64, WUy 令护 = 126即莘外= 126,即今=22n = aqn 164 = 2 x 2,z _I n = 6又若a= 64,an = 2,贝IJ同理可得=斗,/1 = 6综上所述，比= 6,7 =舟或2设等比数歹临J勺前n项和为若片=14, S2n = 1求3/?W:若q =