相似二次复习

1、中小学1对1课外辅导专家树元教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年 级：课时数：班级：辅导科目：学科教师：学科组长签名及日期剩余课时数课题授课时间：备课时间：教学目标重点、难点教学内容相似三角形知识点1相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形知识点2比例线段的相关概念注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位.在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线 段，简称比例线段.基本性质：（1）a : b c: dad bc；（2）a : c c : bc2 a b .、，、八注意：由一个比例式

2、只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc，除了可化为 a: b c:d，还可化为 a: c b : d，c:d a : b , b : d a :c , b : a d : c，c:a d : b， d : c b: a， d : b c: a .更比性质（交换比例的内项或外项）：-，（交换内项）c d-c-二（交换外项）b db a-b .（同时交换内外项）c a反比性质（把比的前项、后项交换）：acbd合比性质:bdaca c abed b d b d注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如：等比性质

3、：如果色 e 三m(b d fb d fnb aaa ba b等等.0)，那么ace14注意:(1) 此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成a ;其中 b 2d 3f 0 . b立 如.a22a2c3ea 2c 3e:bdfb2d3fb 2d 3f知识点4比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：(1) 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(

4、2) 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对 应成比例.定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形第三边.知识点5黄金分割把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB 左 1黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC 51 AB0.618 AB .2知识点6相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似用符号“s”表示，读作“相似于”.相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数). 相似三角形对应角相等，对应边成比例.

5、知识点7相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似.定理的基本图形：Axl/) / E/V7B CBC(1)(2)用数学语言表述是：DE/BC , ADE s ABC .知识点8相似三角形的等价关系 反身性：对于任一 ABC有 ABC s ABC .(2) 对称性：若 ABCs ABC，贝U ABCs ABC .(3) 传递性：若 ABCs ABC，且 ABC s ABC，贝U ABCs ABC .知识点9三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.2、 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边

6、(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.6判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用.(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜

7、边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相似.(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.A80C直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，Rt ABC中，/ BAC=90 ，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下:(1) ( AD ) 2=BD DC，(2) ( AB ) 2=BD BC ，(3) ( AC ) 2=CD BC。AD/BD = CD/AD，即证明：在 BAD 与厶 ACD 中，/ B+ / C=90，/ DAC+ / C=90 ,a / B= / DAC，又：

8、/ BDA= / ADC=90，二 BAD ACD 相似，2) + (3)得: BC= ( BC) 2,(AD ) 2=BD DC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(AB ) 2+ (AC ) 2=BD BC+CD BC = ( BD+CD)即(AB ) 2+ ( AC ) 2= ( BC) 2。这就是勾股定理的结论。知识点10相似三角形性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例.(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(3) 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.(5)相似三角形性质可用来证明线段成

9、比例、角相等，也可用来计算周长、边长等. 知识点11相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比.相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.(3) 相似多边形面积比等于相似比的平方.注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识 基础和关键.知识点14相似三角形常见的图形(1) 若 DE/ BC(A型和 X型)则厶 AD0AABC(2) 射影定理 若CD为Rt ABC斜边上的高(双直角图形)贝U Rt ABS Rt ACE Rt CBD且 AC=ADAB，CD=ADBD，BC=BDAB ;(3)(4)E2DABC满足 1、

10、AC=AD Ab 2、AD ae当或 AD- AB=AC- AE时， AD0A ACBAC AB/ ACDM B, 3、/ ACBM ADC 都可判定厶 ADSAACB(3)(4)练习题1、如图 1,/ADC= / ACB=900,/ 1 = / B,AC=5,AB=6,则AD=2如图2,AD / EF/ BC,则图的相似三角形共有 对.3如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM丄CE,AB=6,CE=35，则BM=.4. ABC勺三边长为.2, 10 ,2, A ABC的两边为1和.5 ,若 AB3 ABC则 ABC的笫三边长为5两个相似三角形的面积之比为1 : 5,小三角形的周长为4

11、,则另一个三角形的周长为 .6如图4,Rt A AB中，/C=900,D为AB的中点，DE丄AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为7.如图 5,Rt A AB中，/ACB=900,CD 丄AB,AC=8,BC=6,则AD=,CD=P8. 如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=.9. 如图 7, A AB中，/A= / DBC,BC=,Sabcd： Saabc=2 : 3,则CD=.10如图8,梯形ABCD中,AD / BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF丄BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=.11.如图 9, A AB中 ,DE

12、 / BC,AD : DB=2 : 3,贝USa ade : Saabe=.12.如图10正方形ABCD内接于等腰A PQR/ P=900,则PA : AQ=13. 如图 11, AB中,DE / FG/ BC,AD : DF : FB=1 : 2 : 3,贝US四边形DFGE : S四边形FBCG=.14. 如图12, AB中，中线BD与CE相交于0点,Saade=1,则S四边形bcde-15. 已知:如图, AB中 ,CE丄AB,BF 丄AC.求证: AEIA ACB.16. 已知:如图,A AB中，/ABC=2 / C,BD平分/ ABC. 求证:AB -BC=AC CD.17. 已知：

13、A ACB为等腰直角三角形，/ ACB=90延长BA至E,延长AB至F,Z ECF=135。求证:A EAS A CBF18 .已知:如图,A ABC中 ,AD=DB, / 1 = Z 2.求证:A ABCA EAD.19.已知:如图,CE是Rt A ABC勺斜边AB上的高,BG丄AP求证:(1)CE2=AEEB ;(2) AE EB=ED EP20已知，如图，在厶ABC中，D为BC的中点，且AD=AC , DE丄BC, DE与AB相交于点E, ?EC 与AD相交于点F.(1) 求证： ABCFCD;(2) 若 Safcd=5, BC=10，求 DE 的长。二次函数知识点一、二次函数概念：21

14、. 二次函数的概念： 一般地，形如y ax bx c ( a , b ,c是常数，a 0)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22. 二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a , b , c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y ax的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0，0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大

15、而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0，0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h 的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x

16、 h时，y有最小值k .a 0向下h , kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .函数 的平1.步骤：二次 图象 移 平移a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .2y a x h k的性质:方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k，确定其顶点坐标 h，k ；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移

17、到h, k处，具体平移方法如下：平移|k|个单位y=ax2.y=a(x h)2向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或向下(k0)【或左(h0)】 平移|k|个单位2y=a(x h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax2 bx c变成y ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m)2 2 2y ax bx c沿x轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax bx c变成y a(x m) b(x m) c2(

18、或 y a(x m) b(x m) c)四、二次函数y a x h 2 k与yax2 bx c的比较从解析式上看,2ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2by a x a4ac b24a，其中h2b , 4ac b，k 2a4a五、二次函数2y ax bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h , c、与x轴的交点 为，0，冷，0 (若与x轴没有交点，则

19、取两组关于对称轴对称的点) 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b4ac b22a，4ax 2a，顶点坐标为当x 时，y随x的增大而减小；当x2a4ac b24a时，y随x的增大而增大；当x2a-时，y有最小值2a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x 2a，顶点坐标为b 4ac b2 2a 4a当x 时，y随x的增2a大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x2ay有最大值4ac b24a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2 axbx c ( a， b， c

20、为常数，a 0 )；2.顶点式：ya(x2h) k ( a，h，k 为常数，a 0 )；3.两根式：ya(xxj(x X2) ( a 0，为，X2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物 线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 .0时，抛物线开口向上，a的值越大,0时，抛物线开口向下，a的值越小,开口越小，反之 a的值越小,

21、开口越小，反之 a的值越大,开口越大; 开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b 在二次项系数 在aa确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.0的前提下，0时，b2a0 ,0时，b02az0时，b0 ,2a当b当b当b0的前提下,即抛物线对称轴在即抛物线的对称轴在 y轴左侧;即抛物线的对称轴就是 y轴;y轴的右侧.结论刚好与上述相反，即当b0时，b2a0当b0时，b0 ,2a当b0时，b0 ,2a即抛物线的对称轴在即抛物线对称轴在 y轴的左侧.即抛物线的对称轴就是 y轴;y轴右侧;总结起来，在a确定的前提下,ab的符号的判

22、定：对称轴b决定了抛物线对称轴的位置.K在y轴左边则ab 0 ,2a在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c当c当c当c 总结起来，抛物线与抛物线与抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与0时，0时，0时，c决定了抛物线与y轴交点的位置.y轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y轴交点的纵坐标为负.1.2.3.4.总之，只要a , b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目

23、 的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称中小学1对1课外辅导专家中小学1对1课外辅导专家二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2y axbx c关于x轴对称后，得到的解析式是2 axbx212h k关于x轴对称后，得到的解析式是2.关于y轴对称2y axbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2 axbxk关于y轴对称后，得到的

24、解析式是3.关于原点对称2y axbxc关于原点对称后，得到的解析式是2 axbxk关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2y axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2 axbxb2 2a ；k关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点对称k关于点 m , n对称后，得到的解析式是2h 2m 2n ka永远不变.求抛物线根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表 达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点

25、坐标及开口方向，然后再写出其对称抛 物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A为，0 , B x? , 0 （洛x?），其中的人,x?是一元二次方程2b2 4acax bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB X2为;. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0 ;2当a 0时，图象落

26、在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2. 抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 （0, c）;3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中 a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 b

27、x c（a 0）本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根图像参考:刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数 y (m 2)x .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的

28、特点是在同一直角坐标系内考查两个函 m2 m 2的图像经过原点，则m的值是数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是(ABCD3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的 综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y ax2 bx c (0)与x轴的两个交点的横坐标是一 1、3，与y轴交点的纵坐标是常见的作为

29、专项压轴题。(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 .考查代数与几何的综合能力, 【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1( 1 )二次函数y2 axc的图像如图1，则点M (b, C)在()a第二象限 C 第三象限D 第四象限bxBy=ax2+bx+c ( a* 0)的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1 时，函数值相等；4a+b=0;A 1 个 B 2 个 C A 第一象限(2)已知二次函数和x=3当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()(1)会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A(2, -3)B.(2(),1) C(2, 3) D . (3 , 2)例4、(2006年烟台帀)如图(单位：m),等腰二角形CD重合.设x