相似形与相似三角形专题复习精编题目

1、第一节：相似形与相似三角形基本概念：1相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。2相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。1几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理)(1) 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例已知 a / b / c,AB 可得BCDEf AB或EF ACDEBCEFDF ABBCDF AC(2 )推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD由DE / BC可得：DBAEBDECADEC ADEA ABAC 此推论较原定理应用更加广泛，条件是平行(3)推论

2、的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 线平行于三角形的第三边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线(4)定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例(5 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。a c 比例线段：四条线段 a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即一=，那么这四条b d线段a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段。2 比例的有关性质a ca c比例的基本性质：如果一=一，那么ad=bc。如果ad=bc (a,

3、b, c, d都不等于0),那么一=一。b db d合比性质：如果ac，那么a 二 b c 二 dbdbd等比性质：如果acm,(b+d+n丰0)，那么a c m a=bdnb d * n bb是线段a、d的比例中项，贝Ub2= ad.典例剖析例1: 在比例尺是1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm,则它的实际长度约为 Km. 若旦=2则亡=.b 3 ba 2b 9 nrt2a -b 5 右=贝H a： b=.3 相似三角形的判定(1) 如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。(2) 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

4、(3 )三边对应成比例的两个三角形相似。补充：相似三角形的识别方法(1) 定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2) 平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)(3) 三边对应成比例的两个三角形相似。(4) 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5) 两角对应相等的两个三角形相似。(6) 条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7) 被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【基础练习】(1)如图 1，当时， ABC s ADE小结：以

5、上三 类归为基本 图形：母子型 或A型(3) 如图4, 如图1，当则厶所有的直角三角形都相似.O 所有的等边三角形都相似. 所有的等腰直角三角形都相似.例2 :如图， ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD的垂直平分线交 AD于E,交BC的延长线于F求证： ABF s CAF.例 3:如图：在 Rt ABC 中， / ABC=90 , BD 丄 AC 于 D，若 AB=6 ;AD=2 ;贝H AC=; BD=; BC=;ABCAB / ED 时，例3:如图：在 Rt ABC中， / ABC=90 , BD丄AC于D，若E是BC中点，ED的延长线交 BA的延长线于F,求证：AB : AC=DF

6、 : BF第二节：相似三角形的判定（一）相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 温馨提示： 当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等,时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； 相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。 两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。2、相似三角形对应边的比叫做相似比. 温馨提示：且三条对应边的比相等 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等

7、，而相似要求对应边成比例. 相似比具有顺序性.例如 ABC A B，的对应边的比，即相似比为心则厶A B ABC的相似比 1 ,当且仅当它们全等时，才有k=k =1 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数， 这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、 相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其 延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似.温馨提示： 定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：/ DE / BC ,

8、 ABCADE ; 这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”； 有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节见平行，想比例”，还要想到 见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（1）:两角对应相等，两三角形相似.判定定理（2）:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理（3）:三边对应成比例，两三角形相似.温馨提示： 有平行线时，用上节学习的预备定理； 已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理 1或判定定理2； 已有两边对应成比例

9、时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例1如图三角形 ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交 AB于D点，与AC的延长线将 于 F 点，且 FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.温馨提示： 由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2, 一般不用判定定理 3判定两个直角三角形相似； 如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为 母子相似

10、三角形”，其应用较为广泛. 如图，可简单记为：在 Rt ABC中，CD丄AB，则 ABC CBD ACD .a rb直角三角形的身射影定理：AC平行线型”相似三角形，基本图形见上节图.见平行，想相似”是解这类题的基本思路； 相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路； 旋转型”相似三角形，如图.若图中/1 = / 2，/ B= / D(或/ C= / E)，则 ADEABC，该图可看成把第一个图中的厶 ADE绕点A旋转某一角度而形成的.=AD*ABcd2=ad*bdbc2=bd*ab总结：寻找相似三角形对应

11、元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法：(1) 相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2) 相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似 三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角

12、形的判定思路要善于总结， 形成一整套完整的判定方法.如：第三节 相似三角形中的辅助线、作平行线例1.如图,ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE , DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF BDCF CE例2.如图， ABC中，ABD点，CM的延图5A分别交于点FMDEE = 2 : 3 ,A第四节相似三角形难题集CB时ND C ADP 与C、分类讨论：B例1如图在正方形 ABCD的边长为1 , P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ QCP相似？例2 如图在梯形 ABCD中，AD / BC,Z A= 90, AB= 7, AD = 2 BC= 3.试在边一佃 上确

13、定点 P 的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似A二：相似三角形中的动点问题：1如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 , BC=4，过点 B 作射线BB1 / AC .动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运 时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点 D作DH丄AB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接 点D运动的时间为t秒.(1 )当t为何值时，AD=AB，并求出此时 DE的长度；(2 )当厶DEG与厶ACB相似时，求t的值.图2如图，在 ABC中，/ ABC = 90 AB=6m

14、 , BC=8m，动点P以2m/s的速度从 A点出发，沿 AC向点C移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1) 当t=2.5s时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；(2) 在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出 t的值.匹13如图 1，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 AC = 6, BC = 8,点 D 在边AB上例1 如图5在AABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F,交AC 的延长线于 H，交BE于G,求证：

15、(1)FG / FA = FB / FH运动，DE平分CDB交边BC于点E, EM丄BD，垂足为 M , EN丄CD，垂足为 N .(1 )当 AD = CD 时，求证：DE / AC ;(2)探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似?4如图所示，在 ABC 中，BA = BC = 20cm , AC = 30cm，点 P 从 A 点 出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发， 沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之 停止运动.设运动的时间为 x.(1 )当x为何值时，PQ/ BC ?(2) APQ与厶CQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能

16、说明理由.5如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(0 v tv 6 )。(1 )当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC 三、构造相似辅助线一一双垂直模型6. 在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2, 1),正比例函数 的图象与线段OA的夹角是45求这个正比例函数的表达式.y=kx7. 在 ABC中，AB=, AC=4 , BC=2，以AB为边在 C点的异侧作

17、 ABD，使 ABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长.8. 在 ABC 中，AC=BC，/ ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求MC : NC=AP : PB.9. 如图，在直角坐标系中，矩形 在y轴上，点B的坐标为(1,ABCO 的边OA在x轴上，边 OC3),将矩形沿对角线 AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为2 13、3 12、()10.已知，如图，直线 使得矩形的两边之比为y= - 2x + 2与坐标轴交于1 : 2。A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD ,求C、D

18、两点的坐标。四、构造相似辅助线一一 A X字型11. 如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC , BC边上的中线 AE交CD于F。 AB_CF_12. 四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且 AC平分/ DAB。BE _ BC求证：_113. 在梯形 ABCD中，AB / CD, AB = b, CD = a, E为AD边上的任意一EF / AB ,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实:丝1当丄 时,fl+4当一二 时，EF=匚 ;丝3当 时,EF=.当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明.14.已知：如图，在 ABC中，

19、M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE = EF= FC。求 BN : NQ : QM .15.证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长2的二.(注：重心是三角形三条中线的交点)(2 )角平分线定理:MN上任意17. 已知：如图，梯形 ABCD中，AB/DC，对角线 EF/AB 分别交 AD、BC 于 E、F。11 I+ 二-求证：_】-_-.18. 如图，在 ABC中，已知 CD为边AB上的高,1 1 1AC、BD交于0,过正方形EFGH的四个顶点分别在 ABC上。个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.五、相似类定值问题16.如图，在等边

20、 ABC中，M、N分别是边 AB , AC的中点, 一点，BD、CD的延长线分别交 AC、AB于点E、1 + 1 _3_求证:二二-二.证：直线过点P分19. 已知，在 ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a.求JAC lca.六：相似之共线线段的比例问题20. ( 1)如图1,点厂在平行四边形 ABCD的对角线BD上,别交BA , BC的延长线于点 Q, S,交丄 =于点二r 求证：-；-匚(2)如图2，图3，当点在平行四边形 ABCD的对角线或亲 的延上时，匚-一-二- -是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立,明理由(要求仅以图 2为例进行证明或说明)；J 121.已知：如图，

21、 ABC中，上一点，过C作CF II AB ,延长BP交AC于E,交CF于F 求 证：BF2= PE- PF 22. 如图，已知ΔABC 中，AD , BF分别为BC , AC边 过D作AB的垂线交 AB于E,交BF于G,交AC延长线于23. 已知如图，P为平行四边形 的延长线分别相交于点 E、F、PE PH七、相似之等积式类型综合24.已知如图，CD是Rt ABC CA 于 F。求证：长线试说AB = AC , AD 是中线，P是 ADABCD的对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD、BC、CD G、H.斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长25如图，在Rt ABC中，CD是斜边