专题：椭圆的切线方程61359

1、“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计（一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相 切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切

2、，从而 通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零來解决。（二）探究新知基础铺垫： 问题1、己知椭圆C:兰+尤=1与直线/只有一个公共点8 2（1）请你写出一条直线/的方程；（2）若已知直线/的斜率为k = 7,求直线/的方程；（3）若己知切点P（2,l）,求直线/的方程；（4）若己知切点P（屈求直线/的方程。设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x = 2V2,y = V2o先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线,联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式厶二。切线斜率确定，切 线不确

3、定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组, 消元，得到一元二次方程，判别式厶二。由于切点是整数点，运算简洁。 切点确定，切线确定。可总结由（2） （3）两道小题得到求切线方程的一 般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式厶二。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍, 所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化: 猜想：椭圆c：4+4=i与直线/相切于点p（%儿），贝ij切线/的方程cr lr（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点PU，必）的切线的方程为V + yoy = r2进行 猜

4、想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同 问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时 间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量求经过圆上一点PU, /0)的切线的方程。经过圆上一点P3，必)的切线的方程为xQx+yoy = r2,且直线OP垂直于切 线,所以,怠严切线1 点与圆 设点 P(-Xb, Jo),圆(x-a)2+(y-b)2 =r2 则点在圆内(x0 ay +(j0 b) r2由圆C方程及直线/的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元 二次方程的根的判别式为A ,则I与圆C相交A0,I与圆C相切A = 0,/与圆C相离

5、oAvO 类比到圆中：己知圆C: A2 + y2 = r2与直线/相切于点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在第一象限,若直线/与x轴、，轴分别交于点B. A.结论(1)过点P的切线方程为xQx+yQy = r2 ；(2) -OP丄A3.灯p 忍b =-1；(可以用极限的思想理解，当椭圆中的 GT/2时，椭圆T圆，所以Q 匕诃=-h )(3 )过点P的切线方程为xnx+ yoy = r与x轴、y轴分别交于点 B. A, A(0,), B(匚0),所以忍厂-西；(椭圆中心严-単也可理解为0兀儿力儿d趋于b时，匕,趋于-匹)(4) lABl=lAPI + IBPl2y/lAPblBPI=2OP

6、IT=2r,当且仅当I API=I BPi 时,取“二”由2014年浙江高考题最后一道题2 22014 浙江卷如图，设椭圆C: + = l(ab0)9动直线/与椭圆C只cr lr有一个公共点P,且点P在第一象限.(1) 已知直线/的斜率为k,用b, R表示点P的坐标；(2) 若过原点0的直线厶与2垂直，证明：点尸到直线厶的葩离的最大 值为ab.如图，设椭圆C:=1( Z? 0),动直线/与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线/的斜率为用b. A表示点P的坐标;y=kx+myY , 7_ 7+P=b联立消去y得(F +才斤)左+2云血x+云力一云F = 0.由于 ! 与 c

7、只有一个公共点，所以的坐标为（a kmif/nb + ak b + die又点戸在第一象限，故/h =a2k2+b29所以点尸的坐标为p（）.la2k2 +b2 ja2k2 +b2（2）设点P（x0,y0）,且点P（x0,y0）在第一象限，用点P的坐标儿表 示椭圆的切线方程；（2）解：卩（心儿），则由（1）知兀=_ /曲5=,Jcrk +lr yjerk + 戾则可设过点P切线/的方程为y-y（）=k（x-x（）消参得 =-学 nk = 代入 y-y0 = kx-xQ）得 y _ 儿=-（x-x0） 儿 ay（）ay（）化为整式a2yQy+bx = +b2=a2b2 （因为点P在椭圆上，所以

8、+ - = a2y +h2x(； =a2b2 ),两边同除以得椭圆的切线方程辱+畀=1,与圆的切线方程做类 a比，形式相仿。所以，过切点P（%儿）的椭圆的切线方程尊+卑=1.cC b连接OP,切线/的斜率为為线，直线OP的斜率为S，求证kop-k, = 定值；（3）由（2）中所得的乞=-匚7 =-牛 儿 ”儿又因为也=咤=口，所以S2-性二定值X。如_0er(与圆的g 犒线=1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的 时，椭圆加强为了圆，所以匕血厂-佯1-1)问题2、已知椭圆C:匚+买=1与直线/相切于点P(x0,v0),且点PCw。)在 cr 次第一象限，若直线/与X轴、y轴分别交于点B、A

9、,求线段IABI的最小值。直线AB的方程设为y = a + M(0w),3(-：0),则根据两点间的距离公式 k可得| ab|2= + ，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出 m2=a2k2+b2(*),代入可得| AB|2 =件 + 加2 = / + 庆 + / +1 = a2 + 庆 + (ark2 + -)a2 +b2 + 2ab = (a + h)2 k，k!c,线段IABI的最小值为E.当且仅当(和时，取 lrcra到“二”.下面再继续讨论“二”取到时的条件。由前面己证过的kop-kAB= 知，此时kop2 = b3x = 3y02 cr吋 a(1密)%2。2=厶，代入 k()p2 =

10、 yJ_ = 得y=-，所 以 可 得 到 ，a + bPA2=xQ1+(yQ-m)2 =xd2+(H0)2 =( + k2)x； =(l + -)v ,代入 x02 =-,得aa + bIPA卩= 6/2. :PA=aJPB=ba a + b问题3、已知椭圆C：4 + 4 = l与直线/相切于点 m，y0）,且点Pg,）b）在 cr 次第一象限，若直线/与x轴、y轴分别交于点、A.若过原点0的直线厶与垂直交与点D,证明:PDAB=定值.别交于点B、A,所以A（0化）,3（匚0）,贝IJIAB巳伫上儿 y吋茁由于直线厶过原点。且与1垂直，故直线厶的方程为x+妙=0,所 以点尸到直线厶的距离iPDiJy前面已证过“-伞，代入得J/ + 1儿IPDI=fct=I学兀I|它儿-心也Iyjayj +h4x|/_方2|.J PDI -1 AB 1=1 a2 -Z?T= a2 hr = 二定值(c 为椭圆的半焦距)问题4、如图，设椭圆C:二+二=10）,动直线/与椭圆C只有一个 tr lr公共点P,且点P在第一象限.若过原点0的直线厶与/垂直，证明：点P到直线厶的距离的最大值为d-A/1证明：方法一、1什+#+yj F + 以点尸到直线厶的距离/=整理得d=因为+卡2 2动，所以QIfb a- a li+a Ifal)W /= a b