19立体图形与空间向量

1、19立体图形与空间向量一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1运用定义证明(有时要用反证法); 2运用平行关系证明; 3运用垂直关系证明; 4建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑(1)运用定义证明直线与所成的角为; (2)运用三垂线定理或其逆定理;(3)运用“若平面,则”; (4)运用“若且,则”;(5)建立空间直角坐标系,证明.二. 空间中的角和距离的计算1求异面直线所成的角(1)(平移法)过P作,则与的夹角就是与的夹角;(2)证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().2,求直线与平面所成的角(1) (定

2、义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;(2) 证明(或),则与的夹角为(或);(3) 求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.3求二面角(1) (直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.(2) (面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).(3) (异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FBAB于B,而,.(4) (三面角的余弦定理),三面角中,又二面角,则.(5

3、)(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为 (同类)或(异类).4.求两点A,B间距离(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求.5.求点到直线的距离(1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离.6.求点到平面的距离(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P到平面的距离为.7.求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公

4、垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线,则与的距离等于P到的距离; (6)(公式法).8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.三.多面体与旋转体1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2)体积(为底面积,为高)2.锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:(为底面周长,

5、为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).3.锥体的平行于底面的截面性质:.4.球的表面积:; 球的体积:.四.解题思想与方法导引1.空间想象能力; 2.数形结合能力; 3.平几与立几间的相互转化; 4.向量法例题讲解1正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92由曲线,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则( )ABCDA, B, C, D,3如右图,底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心 率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的几何体体积是( )A, B

6、, C, D,4在四面体ABCD中,设,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四 面体ABCD的体积等于( )A, B, C, D,5三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( )A, B, C, D,6四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个 点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是( ) A, B, C, D,7正方体的棱长为,则异面直线C与BD间的距离等于 .8正四棱锥中,二面角为且,(, 为整数),则 .9在正三棱锥中,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面 的周长最小时, ,P到

7、截面ADE的距离为 .10空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于 .11三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两AB 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 .12直三棱柱中,平面平面,且= ,则AC与平面所成的角的取值范围是 .ABCA1B1C113如图,直三棱柱中,连接, ,若,求证:ABCDMKNS14如图,设是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥, K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥的体积V的

8、最大值与最小值.15有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子, 其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值.课后练习1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为( )A, B, C, D,2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33设二面角的大小是,P是二面

9、角内的一点,P点到的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱的距离是( )A, B, C, D,ABCDEF4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是( )A, B,C, D,5棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面 的位置关系是 .7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件 时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可

10、能的情形)ABCDABCD图(1)ABENM图(2)CDF9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB与EF所连直线平行; AB与CD所在直线异面;MN与BF所在直线成; MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC分别交AB,AC于D,E.将沿 DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.ABOCDEOA11如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ

11、QD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ课后习题答案1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为,则AM=VM,=,得在中,即,得.则,有.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.2 ,选B.3设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,则,得,有或(舍去),所以,选B.4由DEEF,EF/AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得,于是.,选B.5可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.6当时,AB/;当时,AB/或AB;当时,AB/或与斜交.7由,得

12、(1)当时,有,得;(2)当时,有,得.8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9将展开的平面图形还原为正方体,可得只,正确.10解:设的高AO交DE于点,令,由AO=,有,在中,有得.当时,到直线BC的最小距离为6.11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必为正数解,且小于.由,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当时, BC上不存在点Q,使PQQD.(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程有两个相等的实根,这时,得,有.又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为而,由,得,解得有,则,

13、则所以二面角的正切为.例题答案：1,B 设棱长为,外接球的半径为R,内切球的半径为,则解得,有:R=1:3.2,C 设,则过A的两个截面都是圆环,面积分别是和 ,于是.3,B 在椭圆中,又,得,所求的体积4,B 过C作,以为底面,BC为侧棱作棱柱,则所求四面体的体 积等于上述棱柱体积的,而的面积,AB与CD 的公垂线MN就是棱柱的高,于是= ,因此.5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为 .6,D .7, 设E是上的点,过E作EH于H,所以EH面ABCD,过H在面ABCD内作HF,连接EF,所以EFBD,令,所以EF=.8,5 因各侧面为全等的等

14、腰三角形.在内作高AE,则CE也是的高,故 .设则,=.,得.9, ; 将三棱锥的侧棱PA剪开,当的周长最小时,其展开图如图ABCDEAP的周长即是展开图中线段的长.易证,又PA=2AB=,故,.中,DE上的高.于是; 从P向底面作高PO.则PO=.于是.又,得.设P到截面的距离ABCDEFO为,则,于是.10, 设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为,则O在四面体ABCD内且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中点E,连结CE,DE,则CEAB,DEAB,故平面CDE为线段AB的垂直平分面,所以O在

15、平面CDE内,又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平分面内,故O在等腰底边CD上的高EF上(F为CD中点),易算出ED=EC=,得为等边三角形.于是EF=.而=.OE=,代入OE+OF=EF=2得,解得.11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为.12, 作AD于D,易证AD平面,所以.设,则,故.易证BC平面,故,从而,即,于是,又,得.13,证明:设D,分别为AB,的中点.连结CD,及,.因为,所以四边形为平行四边形,得/.因AC=BC,于是.又D, 分别为AB,的中点,故CDAB,而在平面ABC(或)内的射影为AB(或),得CD,又已知,所以平面B,从而,又/,所以.又,得平面CD,从而得证.ABCA1B1C1SHH114,解:为了建立V与原四棱锥的关系.我们先引用下面的事实: