弹性力学读书报告课案

1、弹塑性力学学习报告指导老师：王建伟学生：李佳伟学号;20159200弹塑性力学学习报告绪论：经过几月的学习我对弹性力学有了一个初步的认识，对它研究的对象 也有了一个概括性的认识。弹性力学是高等的材料力学，不同于材料力学只能 解决形状非常固定的细长杆件，它可以解决任意形状的材料性能计算问题。对 于很多情况都可以分析出力学模型， 然后得到方程组，但是大部分情况下解方 程组却是非常困难的。下面给出一个典型的模型对弹性力学做一个形象的表 示：这个模型就是最普通的一个计算模型，它有分布力，集中力，约束，重力等作 用。在这些条件下我们可以根据受力平衡列出方程组，从而求出各处的位移和 形变。报告正文一、弹性

2、力学的发展及基本假设弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的， 它是固体力学的一个分支，是 研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、 应变和位移的一门学 科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、 胡克的胡克定律。之后牛顿三定 律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、 迦辽金等人的不断努力。 使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种 复杂的问题，能够解决强度、 刚度和稳定性等问题。 目前弹性力学的相关理论在 土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及 农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。弹性力学的几个基本假设。 1 、

3、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何 空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的 单值连续函数。 2、 弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体 任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无 关。当外力消除后， 它能够恢复原来的形状。 弹性假设就是假设物体服从虎克定 律，应力与应变成正比关系。 3、 均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具 有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设： 假设物体的变形是微小的， 即物体受力后， 所有各点的位移都远

4、小于物体的原有尺寸， 应变 都很小。这样， 在考虑物体变形后的平衡状态时， 可以用变形前的尺寸来代替变 形后的尺寸。二、三维方程2.1 三维应力状态下的平衡微分方程物体处在平衡状态， 其内部的每一点都处于平衡状态。 使用一个微六面体代表物 体内的一点， 则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件， 由此可以导出平 衡微分方程。如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy， dz。在微六面体x=0面上，应力是（T x T xyT XZ；在X=dX面上的应力，心+ .萨JBdyO图一根据应力函数的连续性并按泰勒级数对 x=0的面展开，略去高阶项，可得旳 x抚 xyCTxz二

5、 x- dx, xy dx, xz dxexexcx同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy，z=dz面上的应力。最后，所有各面 上的应力如图一示。当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有 6个平衡方程3Fx 二 0,=Fy 二 0, =Fz 二 03Mx=0,=My=0,3Mz =0考虑微单元体沿x方向的平衡，可得(Jxdx)dydz ；xdydz (exyxyx dy) dxdz -y- yxdxdz ( zx 亠 dz) dxdy - zxdxdy Xdxdydz 二 0 cz整理上式并除以微单元体的体积 dxdydz，得&T cTx 氏_亠.X =0(2-1.1)

6、x :y z同理，建立y、z方向的平衡条件，可得xy.x:y.:zxz.:y:z(2-1.2)这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X , Y , Z是单位体积里的体积力沿x, y.z方向上的分量考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C平衡于x方向的轴取力矩平衡得(yxyxdy)dxdzdyxdxdzd - ( zyzx dy)dxdy-dz - zydxdy-dz - 0cy22cz22于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项yxdxdz dy zydxdy2 2-0由此可得 yx = zy同理可得与两个平面的交线根据剪应力互等定这6个应力描述了这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面

7、上, 垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。 理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有 6个是独立的, 物体内部的任意一点的应力状态。2.2三维应力状态下的几何方程2.:u：wz= L!xyyz.:u；:vr .:y；:xzx泊 :：Wz : yw 十 u；:x；z2.3三维应力状态下的物理方程1x=E 匚x _ 2y _ z1:x= E ：-x-比 y - 七 z1z =一(g - kkr - kkr z e zxy物理方程的矩阵形式:7y二 X-1 -k001-00100E0001 -2卩0(1 +打1-2鬥000201-2200000EyzUzx1-2J；xx =D1x

8、yyyz7L zx其中矩阵D称为三维应力状态下的弹性矩阵1E1-P-P00-k000x-k00010 0 0 =a 0 2(1+門00|Txy0 02(1 +4) 0Eyz0 0 02(1+4)_Fzx,卩1卩000三、在极坐标系下的基本方程3.1应力坐标变换我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为2 2 2r x yv - arctanyx也可以在称为应弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量， 极坐标中求解。因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系, 力的坐标变化。在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为十 cy a er aA亠 x cos2 ； - .

9、 sin 22 2CT + CT a CT CT a二 x . x - cos 2 r. sin 22 2er cy psi n2) r/Cos2J在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程CTCT -CT-丄ycos2 xyS in2 二2 2 xycr +cr a -cr-丄ycos2一Sin2二2 2a -crc = % 2 y sin2丁 xy cos2-3.2极坐标下的平衡方程订 r：U r .：1 . 2 .r.r raeKr =0K . =03.3极坐标下的几何方程为cr 土 +如廿r r旳rr严空十母一也、一 r点日crr四、弹性力学解题的主要方法4.1位移

10、解法位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何方 程简化为三个用位移分量表示的平衡方程， 从中解出位移分量。然后再代回几何 方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。4.2应力解法应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由协调方程、本构方程和平衡 方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出 六个应力分量。然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移 分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程， 应变解法的求解难度不会比应 力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多， 所以很少采用应变 解法。4.3应力函数解法在位

11、移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归 结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数， 称之为应 力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。 应力分量可由应力函数 偏导数的组合来确定。应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移 解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理 论中最常用的解法之一。五、弹性力学的应用举例例一：悬臂梁（1）确定应力函数的边界条件以A（ 0，h/2）为起始点，调整 二! ax by c中的任意常

12、数使=0；选左手坐标系且M以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足逆时钟向:顺时钟向:-=-M-；:其中，r为流动边界点。二 Ry： Ir=-Ry；Rx, Ry和M分别是从-Rx (b)-y=Rx(c)rA点起算的边界载荷对点简化的主矢量和逆时钟向主距。在下边界AB上，载荷处处为零。由（b）式得:左边界AC是放松边界,不必逐点给定及其偏导数值。在边界CD上，按顺时0x iuHrI sin v K cost - u_：.2n-要使其单值，必须有 B=0，由式（c）得a2b2b2 - a22 .2 qaa -qbb A 七 Mb-qa), 2Ca W b -a将其代回应力分量式（b）得应力分量为b2

13、 q a2 -1 b：1 r2 干pqaa2 qb1b21 a2L2a2 qb上述应力表达式中a2 -1了 =b2(1)若a=0， qa=O，圆筒受两向等压的情况则有(2)bqa(91 r2a2 -1a2 -1可见,-r总是压应力，二丁总是拉应力。若qb=0 （而qaz 0），则径向应力和环向应力分别为(3)可见,J，二二总是压应力。护b(b2aQ =2a_2% qb C： 0) a1 b2若qa=O （qbz0），径向应力和环向应力分别为（4）若b：（qa =0），则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题，则有qa2a- - 2 qar例三：矩形薄板的位移图四取坐标轴如图所示，把位移函数设为u

14、=x(A + A2x + A3y)v = x(R B2x B3y)所以25 = x, u2 二 xu3 二 xy2vx, V2 =xV3 =xy不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移边界条件:(U)x： =0,(V)x： =0按瑞利-里兹法求解。板的应力边界条件为板上边界：(X)y，(Y)y0板下边界:(X)y卫二(Y)y 厂 0板右边界:将位移试函数代入式芈二 XUmdxdy 亠 liXUmdS-uYvmdxdy 亠 iiYvmdS-：Bm-Amss(J:U:Ai.:UXujdS = |0(7)xdx + aa0 xdx = Os Xu2dS 二：( )x2dx ； x2dx = 0.:

15、UA3Xu3dS= 0(7)xadx+ /xbdx = *a2b.:UbS YwdS = jO iady = tab:B2Yv2dS= f s2dy xa2b.:U/Ub12-：Ba五丫v3dS0aydy 工 ab将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定6个待 定系数。其结果是:A = A2 = A3 0B = 21 , b2 二 b3 = 02(1)所得的位移分量为：u=O,v二E结论： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外 界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度 和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材

16、料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构， 即所谓杆件系统； 而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种 形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素 作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力 学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹 性体是变形体的一种， 它的特征为： 在外力作用下物体变形， 当外力不超过某一 限度时， 除去外力后物体即恢复原状。 绝对弹性体是不存在的。 物体在外力除去 后的残余变形很小时， 一般就把它当作弹性

17、体处理。 弹性力学的发展大体分为 四个时期。 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了， 比如古代弓箭就是 利用物体弹性的例子。 当时人们还是不自觉的运用弹性原理， 而人们有系统、 定 量地研究弹性力学，是从 17 世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹 性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变 形与外力成正比的定律， 后来被称为胡克定律。 第二个时期是理论基础的建立时 期。这个时期的主要成就是，从18221828年间，在A.-L 柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、 应变分量、 应力和应力分量概念， 建立了弹性力学 的几何方程、平衡 （运动） 微

18、分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律， 从而为弹性力学奠定了理论基础。 弹性力学的发展初期主要是通过实践， 尤其是 通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680年分 别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律， 后被称为胡克定律。 牛 顿于 1687 年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理 论的条件已大体具备， 从而推动弹性力学进入第二个时期。 在这个阶段除实验外， 人们还用最粗糙的、 不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。 这些理论在 后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在 1 7世纪末第二个 时期开始时， 人们主要研究梁的理论。 到19世纪 20年代法国的纳维和柯西才基 本上建立了弹性力学的数学理论。 柯西在 18221828年间发表的一系列论文