一元二次不等式地解法

1、知识点一：一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：丁任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式- 1或. ?：!-.： -.知识点二：一般的一元二次不等式的解法设一元二次方程山八山的两根为T T且；_,丄则相应的不等式的解集的各种情况如下表：N-b2 -4aeA 0A = 0A 0）的图象ax+ c 二 0仗 Q）的根比尤，十bx十亡 0 （小）的解集ax1十扮:十c 0）的解集（1） 一元二次方程|：山的两根丁 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线:-与；轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为

2、负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分 ; 11- 11 - 1三种情况，得到一元二次不等式 心 0（a 0）的过程规律方法指导1 解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2 若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不 等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析类型一：解一元二次不等式3.当二次项的系数小于 0时，

3、一般都转化为大于 0后，再解答. 举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 一二- I;i 解下列一元二次不等式（1）丁;； 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答【变式2】解不等式：上:类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数求关于丄的不等式总结升华：2 不等式丁 ：的解集为工一1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当丄I时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第 2、3小题）；当-且是一个完全平方数时， 利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集

4、的端点根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的 解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：2【变式1】不等式ax+bx+12 0的解集为x|-3 v x v 2，则a=, b=。1 1o n.X 0对一切实数x恒成立, 求实数m的取值范围。思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【变式3】已知关于：的不等式- - 的解集为-一，求关于；的不等式- I 1 11 的解集.总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一 般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于丄的不等式:

5、1 11的解集为空集, 求匸的取值范围【变式2】若关于丄的不等式- - I 11的解为一切实数，求： 的取值范围【变式3】若关于丄的不等式 -I 11的解集为非空集，求匸的取值范围举一反三：, 1 x2 - (a H一)x + l Q(a 丰 0)【变式1】解关于x的不等式：.：类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法4 解下列关于x的不等式(1) x2-2ax 0;2(3) x -(a+1)x+a v 0;【变式2】解关于的不等式：j (:5.解关于x的不等式：ax2 (a+1)x+1 v 0。蛊总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字

6、母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： 定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； 求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； 定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，弓I入讨论。【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1 0举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2) 0;【变式2】解关于x的不等式：ax2 + 2x-1 v 0;&解下列不等式2(1) 14-4x x;2x +x+10; 2x 2+3x+4 0的解集为匚_ ，贝U a, c的值

7、为()A . a=6, c=1B . a= 6, c= 1 C . a=1, c=1D. a= 1, c= 6(5) 一二 - J;(6) - : 1 11 ;4.解不等式- J.；-得到解集一-，那么丨的值等于（）A . 10B. -10C . 14D . -145 .不等式x2 ax b v 0的解集是x|2 v x v 3，则bx2 ax 1 0的解集是()A.国2 4的解集为x|x v 1 (1 )求 a, b;2(2)解不等式 ax (ac+b)x+bc v 0。或 x b。(J -_23(x|-3 Af mx的解集为实数集 R求实数m的取值范围.学习成果测评基础达标：1.不等式X2

8、 ax 12a2v 0 (其中a v 0)的解集为()A. ( 3a, 4a)B. (4a, 3a) C. ( 3, 4)D. (2a, 6a)x的取值范围是（）7.如果关于x的方程x2 （m 1）x+2 m=0的两根为正实数，则m的取值范围是能力提升：211 不等式二一 的解集是全体实数，则 a的取值范围是()4( 4A B一;iC.- 一 D -|12 对于满足OW pw 4的实数p，使i-?-恒成立的x的取值范围是18.解下列关于 x的不等式 ；13.已知 ax1 +bx+c 0 的解集为，则不等式 c-bx+a 0的解集是.14 .若函数f- 的定义域为 R,贝U a的取值范围为15若使不等式. 丄:- 11和二 - I同时成立的x的值使关于x的不等式2-9+ 0的解集为x|2 vxv 3,则不等式ax2-bx+c v 0的解集是 ; 不等式 cx2+bx+a 0 的解集是 .综合探究：a(x-X) 1Z 仆 学 1)19.解关于x的不等式：.一20.设集合 A=x|x 2-2