自适应控制副本要点

1、带遗忘因子的递推最小二乘估计1.1最小二乘理论最小二乘最早的想法是高斯在1795年预测行星和彗星运动轨道时提出来的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测和计算值之间 的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”。这一估计方法原理简 单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。 最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数 学模型。由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。1.2带遗忘因子的递推最小二乘估计1.2.1 白噪声白噪声序列是一种最简单的随机序列。如果随机序列 v(k

2、)均值为零，且两 两互不相关，即对应的相关函数为：(- 2, n = 0Rv ( n) = Ev(k)v(k + n)=.0 , n 式 0则这种随机序列称为白噪声序列。其谱密度函数为常数 匚2/(2二)。白噪声序列的 功率在-二到二的全频段内均匀分布。白噪声作为被辨识系统的输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分 激励，可防止数据病态，保证辨识精度。但是白噪声在工程上不易实现，而且工 业设备的执行机构不可能按照白噪声的变化规律动作，因此工程上常采用易于实现的M序列作为辨识输入信号，它具有近似白噪声的性质。M序列又称为伪随机序列，是由n级线性移位寄存器产生的周期为P =2n -1的码序列，

3、是最长线性移位寄存器序列的简称 ，该序列不能预先确定 但可以重复产生。本文M序列是由如图所示的4阶M序列的码序列发生器产生 的，初始状态为0001。在时钟作用下，产生相应的输出序列为：100010011010111a图2.14阶M序列的码序列发生器M序列含有直流成分，会对辨识系统造成“净扰动”，而逆M序列能克服这 一点，故此次作业中采用逆 M序列来作为辨识输入信号。逆 M序列的产生方法 如下：(1) 产生一个M序列M(k)；(2) 产生一个0/1序列，记为S(k),其形式如S(k)=101010.；(3) 通过产生的M序列M(k)和S(k)做异或即可得到逆M序列，记为IM(k)；1.2.2遗忘

4、因子最小二乘算法假设被辨识的系统为一单入单出的离散时间系统，且已知为CAR模型，如图2.2所示：u(k)B(z)z，A(z)吟 w(k)y(k)图2.2辨识系统的模型此系统的数学关系可用如下差分方程描述，即：A(z)y(k)二 B(z_1)zu(kp w(k) 其中A(z)= 1 a1z_1 a2z2 . annB(z_1 b0 b1z_1 b2z2 . bmz_m上式可以转化为：nmy(k) ay(k-i)八 bjU(k-j-d) w(k)Uj=0式中，U(k)为输入变量，y(k)为输出变量，w(k)为均值为零的干扰信号将上式变为最小二乘的格式为:二印念,.,a 门，b0 , b1,., b

5、m T(k T)十y(kT),.；y(k- n),u(k-d),.u(k - d - m)y(k)二 T(k- 1)，w(k)取算法的性能指标为:mi nJ 珂y(k)- T(k)叩y(k)- T(kp通过算法推导可得，带遗忘因子的递推最小二乘估计的算法公式为:、?(k)二讥k -1)K(k) y(k) - T(k户?(k - 1)P(k) =丄I - K(k) T(k)P(k- 1)I严=p 2(0 p w 1)公式表明，新的参数估计 *k)是用新的实际测量值y(k)与基于老模型进行 预测得到的量T(k)孜k-1)之偏差，对前面的参数估计加以修正得到的，修正系 数阵为K(k)o P(k -1

6、)的物理意义是参数估计误差的方差，作为参数估计精度的 一种度量。遗忘因子的作用是削弱过去数据的作用。带遗忘因子的递推最小二乘估计算法属于在线辨识所用方法的一种，它既能克服离线辨识的缺点，也能克服递推最小二乘估计中的“数据饱和”现象。1.3仿真实例考虑如下系统：y(k) 0.4y(k - 1) - 0.5y(k - 2) - 0.8y(k - 3)二 u(k - 3) 1.5u(k - 4) 2.5u(k - 5) w(k)其中输入u(k)是幅值为1,周期为40的方波序列；干扰项w(k)是幅值为0.1,周期 为15逆M序列。已知a,b,d。算法程序步骤如下：Step 1：给输入u(k)和干扰项w

7、(k)赋值；Step 2设置初值P(0)、玫0)及遗忘因子，输入初始数据；Step 3:采样当前输出y(k)和输入u(k)，计算性能指标；Step 4：根据算法公式求出K(k)，珂k)和P(k)，同时；Step 5: k-k+1，返回Step3,继续循环，直到达到循环次数。仿真结果图如下：输入u(k)1.50.5值幅的 0波方-0.5-1-1.5 匚010 203040k50607080图3.1输入u(k)的方波图z(x r k r k- -值幅列序M逆图3.2白噪声干扰图25201510输岀y和辨识后的yyyyyI-5-10I-15 L0501001502002503003504004505

8、00k图3.3输出y和辨识之后的输出yy的曲线参数估计2.5一 b1 ba1a2一一-ao_11rgrrrrrib22 5 15 0 5 a a- b、a计估数参o20o40图3.4参数二的真值和估计值 的曲线性能指标2515 -J10 -5000 LEi11050100150200250300350400450k图3.5性能指标辨识结果如下:田 thetae_l 12139552-0.49503-0.800640.999351.494962.49857图3.6辨识结果二广义最小方差自校正控制当考虑干扰对系统的作用时，控制器的设计就是要最大限度的减小干扰对系统的影响。鉴于一般被控对象或过程都存

9、在不同程度的纯迟延d,控制u（k）对系统的作用要到（k+d）时刻才有响应。在这段纯迟延的时间内，干扰仍会作用于系统，所以在k时刻预测（k+d）时刻的输 出，并按照预测误差的方差最小的原则，设计现时控制u（k），并加以实施。当过程参数未知，或者时变时，用递推最小二乘法估计，或者直接估计控制器参数，然后算出控制量来， 这就是最小方差自校正控制的基本思想。而广义最小方差自校正控制就是在性能指标函数中引入加权多项式。被控对象为人（；厂）丫很）=丁电（广川很）+5）茂毬（4-1）错误！未找到引用源。为纯迟延，y（k）和u（k）分别为输出和输入，错误！未找到引用源。为白噪声序列；选择性能指标函数为：J=E

10、但厂嗨厲十町一 RLWMF +如 （4-2）式中，错误！未找到引用源。为期望输出；y（k+d）为第（k+d）拍的输出；u（k）为第k拍的控制；P（卜RC ）和QC ）分别为输出、期望输出和控制的加权多项式，它们分别具有改 善闭环系统性能，软化输入和约束控制量的作用。并且PC ）=1+ 左7 畛心+r（_）為临兰叫第那知吃乓（4-3）Qg-ljd +qtZ_1+q3Z_2 + 4务产 F阶次错误！未找到引用源。 由实际需要确定， 错误！未找到引用源。 设计时确定。 由上可知，该被控对象的最优控制，即广义最小方差控制为讹）=卫0 ）%闵一卩（尸）加伎+亚）(4-4)广义最小方差自校正控制直接算法在

11、进行控制系统设计时，式中的PC卜RC ）和QC ）是确定的，错误！未找到引用源。一般也是知道的，需要确定的是与对象参数有关的 错误！未找到引用源。 由式错误！未找到引用源。可知-. :y(k)+F述妙心:笃心灼；汀出.ny如(4-5)式中，pr(lt) = yOO.-.y(kz.,uk- nfX-y* 4- d - l|fc- 1),.,y*(lc+ d -nck-%)由于真实的参数向量 错误！未找到引用源。无法获得，只能用估计值 错误！未找到引用源。来代替它，这样式(4-5)表示为y*Ot+d|fc)=又由于y(k+d)=- - -后退d拍y(k)=-邈羅T版駆关于错误！未找到引用源。的递推

12、最小二乘公式为5(k) = fl(*-1)4-拿- d)(k - 1)K(k) = P(k- l)(p(k- d)l +(pTQi- d)P(k- l)(p(k- d)-1P(k) = I-K(k)攀丁依一 QPO-1)由式(4-4)可知，U(K)= On/q月更戶)齐优-P(LHW + d|k) - (? u(k)=(舗期竟痂2徉仰 吧兰匕汽A ：馬-可彳為乍茁甘泰-辽(4-6)式中，错误！未找到引用源。广义最小方差自校正控制算法步骤：(1) 初始化；(2) 读取y(k)、劇(3) 构成观测向量 错误！未找到引用源。(4) 求错误！未找到引用源。，喙冏=飞莎疋證(5) 由式(4-6)求 u(

13、k);(6) K=；J，返回步骤(2)进行迭代递推运算。假设被控对象数学模型为y(t)=1.7*y(t-1)-0.7*y(t-2)+u(t-4)+0.5*u(t-5)+e(t)+0.2*e(t-1)在进行控制系统设计时，我们一般令R( Z-1)=1，P( Z-1) =1，Q( Z-1) =2yr (t), e (t)已知，需要确定的是与对象参数有关的y* (k+d I k)一般有y* (k+d I k) =G ( Z) y (k) +F (Z-1) u (k)-呢、y* ( k+d-i I k-i)= T (k) 0式中 $ T (k) =y ( k),，y (k-n g), u (, u (

14、k-nf),-y* (k+d-1 I k-1),-y* ( k+d-n J k-n)0 T=go,，gng, fo,，f nf , C1 ,，Cnc由于真实的参数向量0无法获得，只能用估计值 0 来代替它，这样上式表示为y* ( k+d I k) = T (k) 0 又由于y (k+d) = y* (k+d I k) +E (乙勺)E (k+d) 珂 T (k) 0 + E (Z-1) E (k+d) 后退d拍y (k) p T (k-d) 0 + E (Z-1) E (k)具体程序如下：clear all%生成w (k)的逆M序列作为干扰项x1=0;x2=0;x3=0;x4=1; %移位寄存

15、器初值S=1; %方波初值for k=1:400M(k)=xor(x3,x4); %进行异或运算，产生M序列IM=xor(S,x4); %进行异或运算 产生逆M序列 if IM=0e(k,1)=-0.1;elsee(k,1)=0.1;endS=not(S); %产生方波 x4=x3; x3=x2; x2=x1; x仁 M(k); % 寄存器移位 endfigure(1);stairs(e);axis(0 20 -0.2 0.2);xlabel(k);ylabel(逆M序列幅值);title(逆 M 序列);for i=1:100yr(i)=10;endfor i=101:200yr(i)=-1

16、0;endfor i=201:300yr(i)=10;endfor i=301:400yr(i)=-10;end yk=zeros(1,400);uk=zeros(1,400);y=zeros(1,400);theta=O;O;O;O;O;O;O;O;p=10A6*eye(8);for t=9:400yk(t)=1.7*yk(t-1)-0.7*yk(t-2)+uk(t-4)+0.5*uk(t-5)+e(t)+0.2*e(t);Q=(yk(t-4);yk(t-5);uk(t-4);uk(t-5);uk(t-6);uk(t-7);uk(t-8);y(t-5);Q0=yk(t);yk(t-1);uk

17、(t);uk(t-1);uk(t-2);uk(t-3);uk(t-4);y(t-1);K=p*Q/(1+Q*p*Q);p=p-K*Q*p;theta=theta+K*(yk(t)-Q*theta);thet=theta;g0=thet(1);g1=thet(2);f0=thet(3);f1=thet(4);f2=thet(5);f3=thet(6);f4=thet(7);c1=thet(8);gOt(:,t)=gO;g1t(:,t)=g1;f0t(:,t)=f0;f1t(:,t)=f1;f2t(:,t)=f2;f3t(:,t)=f3;f4t(:,t)=f4;c1t(:,t)=c1;y(:,t)

18、=Q0*theta;uk(:,t)=(yr(t)-y(t)/16;x(t)=(yk(t)-y(t-4)A2;endfigure(2)hold on;plot(9:400,g0t(:,(9:400),9:400,g1t(:,(9:400);xlabel(t); title(参数估计 g);figure(3)hold on;plot(9:400,f0t(:,(9:400),9:400,f1t(:,(9:400),9:400,f2t(:,(9:400),9:400,f3t(:,(9:400),9:400, f4t(:,(9:400);xlabel(t);title(参数估计 f);figure(4)

19、hold on;plot(9:400,c1t(:,(9:400);xlabel(t); title(参数估计 c);figure(5)hold on;plot(9:400,yr(:,9:400),9:400,yk(:,9:400);xlabel(t);title(yr 与 yk);figure(6)hold on;plot(9:400,x(:,9:400);xlabel(t);title(性能指标 J);仿真结果如下：1.20,60501001502002503003504002520151050-510-15120010008006004002005010015020025030035040

20、050100150200250300350400三 模型参考自适应控制1.1模型参考自适应控制的基本工作原理模型参考自适应控制器（MRAC model referenee adaptive control）,即为利用可调系统（包含被控对象）的各种信息，度量或测出某种性能指标，把它 与参考模型期望的性能指标相比较；用性能指标偏差（广义误差）通过非线性反 馈的自适应律来调节可调系统，以削弱可调系统因“不确定性”所造成的性能指 标的偏差，最后达到使被控的可调系统获得较好的性能指标的目的。MARC中的可调系统一般包括被控对象和调节器，它们形成一常规的反馈控 制系统。这个系统相对于MAR係统来说是一个子

21、系统或称“内回路”。另外，MARC 系统还有一个自适应反馈回路，称为外回路，它用来调节可调系统。有内外回路 组成双回路系统是MAR係统的结构特点。模型参考自适应控制可以处理缓慢变化的不确定性对象的控制问题。它由于可以不必经过系统辨识而度量性能指标， 因而有可能或得快速跟踪控制。由于被 控对象的全部状态要准确得到很困难，按被控对象输入和输出直接设计自适应控 制系统更有价值，一般有直接法和间接法。所谓直接和间接，指的是对未知的被 控对象进行直接控制和间接控制。间接控制的基本思想是用未知的被控对象的输 入输出数据来估计被控对象的参数，并用这些参数估计值产生一个反馈函数去调 整调节器参数。直接控制和间

22、接控制不同，在产生反馈控制信号之前没有明显的 被控对象的辨识。所以二者之间主要不同在于：在直接控制中要有一个显式的理 想特性的参考模型，而间接控制则需要被控对象模型进行在线辨识并用隐式方法 去产生自适应律。此外，间接控制是用辨识误差，而直接控制则用控制误差去修 改调节器参数。现用一种直接法，即 K.S.Narendra提出的稳定性自适应控制方案。原理框 图如图3-1所示参考模壇ym(t)Wm(s)J4 十cU(t)被控对彖K0作Wp(s)e(t)辅助 俏号 发生 器辅助Q ；：F!器/ dTF?辅助信号发生器:勺=Av+buw(1) =cTvF2v(2) = V bypw( = doyp dT

23、v (3-1)do/nr +*图3-1模型参考自适应控制原理框图1.1.1控制器结构ko(t) CT(t)Lr(t)=-e(t)(s + b ) v(t)do(t)LdT(t)_yp(t)v(2) (t) _J(t)= 一】G(t)w(t)自适应算法:(3-2)1.1.2参考模型参考模型：Wm(s)二寻找(s)Wm(s)，使其为分子是3阶、分母是4阶的严正实函数。(1)被控对象：32s 5s 6s 7WP(S)-432s +2s +3s +4s + 5(s+4)(s+6)(s 1)(s 3)(s 5)(s 7)Wmi(S)= (S ；)Wm(S)s3 12s2 44s 48(s 1)(s 3)(s 5)(s 7)s3 12s2 44s 48s4 16s3 86s2176s 105控制律:d Td1d2_d3(3)辅助信号发生器:W(s) =cT(sl -A)b 二 C(s)-二N(s)2C3S C2S Gs3 12s2 44 s 482Wo讥心小=緩.駕/囂48 do(4)自适应律：在满足匹配条件N(s)=Zm(s)(s + G 的情况下_ko(t)(t) 1s + 2do(t) _g(t) yp(t)jC1 (t)vJ(tLV2)一1.2 simuli nk仿真图(1)主程序仿真图(2)ko参数模块