极限的求法研究.

1、重庆三峡学院本科生毕业论文（设计）题目极限求法研究学院数学与统计学院专业数学与应用数学班级09 级一班学生向兴松指导老师邹黎敏完成日期年月日II摘要：在数学分析中，极限一直是一个重要内容，并以各种形式出现而贯穿全部内容因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，而对数列极限和函数极限的求法可谓是多种多样，本文通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法，并举例分析。关键词：数学分析；函数；极限；英语有问题（我修改了标题和第一句，后面自己修改，汉语的长句子可以不对照翻译，只要意思一样就可以）The study of limit calculationsAbstract: The calculatio

2、n of limit is a hot topic in Mathematical analysis. It has been a focus of content, and runs through the en tire contents in a variety of forms. Therefore, how to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical analysis. The series of limit can be described as diverse, by con clu

3、ded and in duct ion, I set out the requireme nts of some com monly used method, and gives an example to an alysis the various soluti on to limits. Givi ng the procedure of the solutio n to function limit fin ally, i.e. the idea of solve fun cti on limit and the step of solve function limit, to make

4、the begi nning stude nt can grasp the method of solve function limit fast.Keywords: Mathematics an alysis; function; limiti目录极限的求法研究 11 引言 12 定义求极限 23 利用中心极限定理求极限 34 利用法则和公式求极限 44.1 利用两个准则求极限 44.2 利用极限的四则运算求极限 54.4 利用洛必达法则求极限 64.5 利用函数连续性求极限 85 运用两边夹法 （把这部分放到第四章相应的地方去） 86 消去零因子法 07 利用恒等变形求极限 07.1 通过

5、等式变形化为已知极限 07.2 利用换元法求极限 07.3 利用自然对数法求极限 07.4 利用因式分解法求极限 18 利用特殊方法求极限 28.1 利用等价无穷小量求极限 28.2 利用积分中值定理求极限 28.3 利用定积分和式求极限 38.4 利用级数收敛的必要条件求极限 38.5 利用泰勒展开式求极限 4参考文献 0II极限的求法研究1 引言极限是数学分析中最基本的概念之一， 用以描述变量在一定的变化过程中的 终极状态 .早在中国古代， 极限的思想和应用就在文献中就已有记载 ,例如，魏晋 时期中国数学家刘徽的 “割圆术”的数学思想， 即用无限逼近的方式来研究数量 的变化趋势的思想 .

6、极限是研究数学分析的基本工具，同时也是贯穿数学分析的 一条主线 . 本文是在极限存在的条件下，对极限的常用求法进行综述，归纳出计 算极限的一般流程 .计算极限所用的方法， 是致力于把所求极限简化为已知极限 .182定义求极限（还可以添加一个例子）例：设 aR, a1 .求 lim Ma解：当n_2时，由二项展开式可得n nnnna a1+(a-1 9 n(n-。(同-1(n 1)要使2(n 1)( a -1)只需；(|a -1)即若取2,则当n N时,就有n(n，)(a 匚 1)2所以nman 一于是数列丿占;,a 1, R是无穷小数列.3利用中心极限定理求极限（放到第八章中，特殊方法求极限）

7、中心极限定理：1, 2 n是独立同分布的随机变量序列,且E = mt21 n10 J: .km ，贝U lim p n ： x 二e 2dt二.n 心i、2：二有时可利用上述中心极限定理来求解一些较为复杂的极限问题例:求极限k!kp（ =k）e,k =0,Tk!n nk-n）et201e 2dt 二一 （n一 ：）,.2二；2心k!设 i s p（1）,i =1,2,n，且相互独立，贝u= i,由 i独立同分布,i=1E i =1 , D i =1 , i =1,2，由概率中的中心极限定理知n knneZ 十=p（E 兰n）= p（E XQng（x）（c为常数）(4) lim c f (x)

8、=c lim f(x)=cA上述性质对于Xr -,Xr : .,X ）-：时也同样成立通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算, 首先对函数实行各种恒等变形 例4.2求极限lim X 132x x12X2l叫 X -1)o解：lim 2 = _2=- =0x2x -x -1 lim (2x2 x 1)21(B) lim(1 _)x =ex4.3利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式2 :（ A） lim 沁 T X但我们经常使用的是它们的变形：(A) lim s=1Sx)T 申(x)（B）（叽（1 七）例4.31求极限lim c0SXxT=e22XX sin 1 -

9、cosx 1 .2、2解：lim 2=lim()T x2xT 2X21例 4.32 求极限im(1 2x)：1 12解：lim(1 2x)X = lim (12x)2x4.4利用洛必达法则求极限0型不定式极限0定理：若函数f和g满足:(1) lim f(x) =lim g(x) =0 ;(2) 在点x0的某空心邻域U 0(x0)内两者都可导，且g(x) =0 ;(3)limi=AX 沦 g(x)(A可为实数，也可为_二或:：),lim xXx )0=e0lim3=lim3=AJ/ g(x) x 內 g(x)型不定式极限oO定理：若函数f和g满足:(1) lim f(x)二 lim g(x)二：

10、；x)Tx_01(2) 在点X。的某右空心邻域U0(X0)内两者都可导，且g(x) = 0 ；(3) lim匸凶=A ( A可为实数，也可为士型或 ),则X 验 g(x)lim 出1 =佃3”X 沁 g(x) X 必 g(x)不定式极限还有0 r,1=O0,：0,： -：等类型，经过简单变换，它们一般均可化为0 、0型或一型的极限.0例2.4求极限lim xX*十解：由对数恒等式可得Xx二exlnxlim xln xlim x=eX 0x )0 于是lim xln x = lim = 0xT *x 14.5利用函数连续性求极限(1)若f(x)在x =x处连续，则lim f (x) = f (x

11、0)x /0(2 )若f (x)是复合函数，又lim(x)二a且f(u)在u=a处连续，则x /0lim f(x) = f lim(x) = f (a)x xX.x)这种方法适用于求复合函数的极限.如果U =g(x)在点x0连续g(x0) = u0，而y=f(u)在点Uo连续，那么复合函数y = fg(x)在点x连续.即lim fg(x) = f lim g(x) = fg(x。).JXox xo1例 4.5 求极限 lim In(1-)xx1 1解：令y=l nu，u=(1+x)x.因为lnu在点uo = xm(1 + x)x = e处连续，所以1 1lim ln(1)x = |nlim(1

12、)x =lne=1x： x x “ x5运用两边夹法 (把这部分放到第四章相应的地方去)用迫敛性求数列 孔 啲极限，关键是找出两个有相同极限的数列fan /与bn 使 沧虫一般可以利用 的下界确定,取为常数a,而b,通过加强禺得到bn,再证明b? a例：设 a 0， b 0，证 limn. an bn = max(a,b)n证：因为 n max(a,b)n H*an +bn 兰翠2kax(a, b)得max(a,b) Ean +bn 兰灯2 max(a,b).由于 lim 2 = 1,则依迫敛性得njelim n an bn 二 max(a,b)n 例：1证：nm：n(an -1) =ln a

13、, (a 0)ln a证(1),设 a 1,令 Xn =an -1,则 xn0,且ln (1 xn ).于是有n（an J=机沬因为x,依极限定义当n N时x1所以对每11一确定的n,相对应的kn使丄：:Xn :：丄（kn：）利用不等式kn -1kn ln(1 )(由 1 . (1 / : e和e ： (11 两端取对数可证).故1kn2n 1n nnn:：:ln(1ln(1Xn) : ln(1 丄)：:knkn +1knkn .逐项相除得1 一 kn1 一 kn i In(1Xn)Xn由kn依迫敛性得knkn1lim n(an -1)二 I n a.n1.1limn( a1) = l n1设

14、 ;:：a 则a ,依题得na,而1 1 11 1 - lim n(an 1)=lim( )n* n |1()n n存n存aa1111 _-= lim -()n n(an -1) - - lim n(an -1) n 厂 an1 1(gf). 又 lnr-lna,所以 nimn(an-1lna 也成立.1a=1时，惶荷一1）显然成立.证:迫敛法：（两边夹法）设收敛数列 存在正数N。当n .N。时有an空bi CnV 0 由 lim a* = lim bn = an_c，bn都以a为极限，数列Cn满足:（1）则数列Cn收敛且lim Cn =a分别存在正数N1与N2使得当 n 2 时有 a - ；

15、 ： an(2)当 n N2 时有 bn : a (3)N =maxN,Ni，N2 则当nN时不等式（1）, （2）, （3）同时成立即有从而有即证所得结果。1例：求lim (n!严n_1 1 1 解： 1 _ (n!) 0时，下列函数都是无穷小(极限为0)且相互等价，x sin x， x arcsin x ， x tan x， x arctan x ， x ex - 1 ， x ln(1 x)，ax -1 xln a， (1 x)? -1 x设函数f,g,h在uo(xo)内有定义，且有f (x) g(x) (x xo).(1)若 lim f (X)h(x)二 A，则 lim g(x)h(x)

16、二 A若lim二B，则lim 四二B To f (x)o g(x)注：在用等价无穷小求极限过程，不是乘除的情况，不一定能这样做例8.1求极限lim0x4x3(sin2)38=84343解:X +x 广 X +x lim=limX Q / . X3 X0X 3(sin 2)(2)8.2利用积分中值定理求极限般根据积分第一中值定理：若f在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使得ba f (x)dx 二 f( )(b-a)将某些含有积分的变量化为一般形式再求极限1 1例82求极限叫o ；x3 1dx 3解：由积分中值定理1 1 10歹dx=3.，(),0 ；x1T111lim3dx = lim31L

17、 ；X31kP J3 1利用定积分和式求极限时首先选好恰当的可积函数f (x)，把所求极限的和58.3利用定积分和式求极限式表示成f(x)在某区间a,b上的等分的积分和式的极限111例8.3求极限lim (-)n 护 n+1n+2n+n解: 1+ 1+1n 1n 2n n1111 n 11+八121nnnn11=x -k 1knn令 f(x)二1,0岂x乞1，则由定积分定义知1 xn 1 dx = lim 二n . kn1 1又dx = l n 2 1 x由，得-) = ln2n n8.4利用级数收敛的必要条件求极限qQ利用级数收敛的必要条件：若级数 a Un收敛，则n dqQ个方法首先判定级

18、数v Un收敛，然后得出它的通项极n廿例8.4求极限limn 忙：（n!）解：设an(n!)2(n!)2n 1贝U lim an-1 二 lim )2 n- ann (n 1)!11、n=lim(1)n n 1 n=0 ：1qQ由比值判别法知v an收敛n -An由必要条件知lim丄厅=0Wn!）28.5利用泰勒展开式求极限泰勒公式是一大难点，首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦 克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式 .泰勒定理：若f（x）在x=0点有直到nT阶连续导数，那么f (x)二 f (0)f(0)x x22!fn(0)n!xn Rn(x)xn1（其中在0与1之间）例8.5求极限lim C0Sx e0解:24泰勒展开式cosx -1 - O(x )2!4!x4_x2212胡(专水专2 O(x4)于是cosx -e112x4 O(x4)x2所以limcosx e二 lim7144x4 O(x4)124x求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是全能的。对某个 具体的求极限的问题，我们应该寻找最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相 关的概念、定理及公