机械臂的轨迹规划综述

1、机械臂运动的轨迹规划摘要空间机械臂是一个机、电、热、控一体化的高集成的空间机械系统。随着科 技的发展， 特别是航空飞机、 机器人等的诞生得到了广泛的应用， 空间机械臂作 为在轨迹的支持、服务等以备受人们的关注。本文将以空间机械臂为研究对象， 针对空间机械臂的直线运动、 关节的规划、 空间直线以及弧线的轨迹规划几个方 面进行研究， 对机械臂运动和工作空间进行了分析， 同时对机械臂的轨迹规划进 行了验证，利用 MATLAB 软件对机械臂的轨迹进行仿真，验证算法的正确性和 可行性，同时此路径规划方法可以提高机械臂的作业效率， 为机械臂操作提高理 论指导，为机器人更复杂的运动仿真与路径规划打下基础。本

2、文一共分为四章：第一章，首先总结了机械臂运动控制与轨迹规划问题的研究现状及研究方 法，归纳了各种轨迹规划的算法及其优化方法， 阐述了机械臂的研究背景和主要 内容。第二章，对机械臂的空间运动进行分析研究， 采用抽样求解数值法蒙特卡 洛方法，进行机械臂工作空间求解，同时在 MATLAB 中进行仿真，直观展示机 械臂工作范围，为下一章的轨迹规划提供理论基础；同时通过 D-H 参数法对机 械臂的正、逆运动分析求解，分析两者的区别和联系。第三章，主要针对轨迹规划的一般性问题进行分析， 利用笛卡尔空间的轨迹 规划方法对机械臂进行轨迹规划，同时利用 MATLAB 对空间直线和空间圆弧进 行轨迹规划，通过仿真

3、验证算法的正确性和可行性。第四章，总结全文，分析本文应用到机械臂中的控制算法，通过 MATLAB 结果可以得出本文所建立的算法正确性， 能够对机械臂运动提供有效的路径， 而 且改进了其他应用于空间机械臂的路径规划问题。关键词 】 运动分析 工作空间 算法研究 轨迹规划ABSTRACTSpace manipulator is a machine, electricity, heat, charged with high integration of space mechanical system integration. With the development of science and t

4、echnology, especially the birth of aviation aircraft, a robot has been widely used, the trajectory of space manipulator as the support and services to peoples attention. This article will space manipulator as the research object, according to the linear motion of the space manipulator, joint plannin

5、g, space of the straight line and curve, the trajectory planning of several aspects of mechanical arm movement and working space are analyzed, and the trajectory planning of manipulator is verified, the trajectory of manipulator is to make use of MATLAB software simulation, verify the correctness an

6、d feasibility of the algorithm, at the same time this path planning method can improve the efficiency of mechanical arm, improve the theoretical guidance for mechanical arm operation, simulation and path planning for robot more complicated movement.This article is divided into four chapters altogeth

7、er:The first chapter, first summarizes the mechanical arm motion control and path planning problem research status and research methods, summarizes the variety of trajectory planning algorithm and the method of optimization, and expounds the research background and main content of mechanical arm.The

8、 second chapter, the paper studied the space motion of mechanical arm, the numerical method, monte carlo method are deduced with the method of sampling, the workspace for mechanical arm is, at the same time the simulation in MATLAB, intuitive display mechanical arm work scope, providing theoretical

9、basis for the next chapter of trajectory planning. At the same time through d-h method of positive and inverse kinematic analysis of the mechanical arm, analyze the difference and contact.The third chapter, mainly aims at the general problem of trajectory planning is analyzed, using cartesian space

10、trajectory planning method for trajectory planning, mechanical arm at the same time, MATLAB is used to analyse the spatial straight line and arc trajectory planning, through the simulation verify the correctness and feasibility of the algorithm.The fourth chapter, summarizes the full text, analysis

11、of the control algorithm is applied to the mechanical arm in this paper, through the MATLAB results can be concluded that the correctness of algorithm, can provide effective path of mechanical arm movement, and improved the other used in space manipulator path planning problem.key words motion analy

12、sis,work space,trajectory planning,algorithm research- 7 -目录摘 要 - 1 -ABSTRACT - 2 -第一章 绪论 - 5 -第一节 研究背景及意义 - 5 -第二节 国内外发展现状 - 6 -一、国内现状 - 6 -二、国外现状 - 6 -第二章 机械臂的运动分析 - 8 -第一节 机械臂的正运动学分析 - 8 -第二节 机械臂的逆运动学求解 - 10 -第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真 - 11 -第一节 轨迹规划一般问题 - 11 -第二节 关节空间的轨迹规划 - 12 -一、三次多项式插值法 - 12 -二、五次多项式插值

13、 - 15 -第三节 笛卡尔空间的轨迹规划 - 17 -一、空间直线轨迹规划 - 18 -二、空间圆弧的轨迹规划 - 21 -三、一般空间轨迹规划 - 25 -第四章 总结与展望 - 30 -参考文献 - 31 -第一章 绪论第一节 研究背景及意义随着宇宙空间的开发， 70 年代美国提出了在宇宙空间利用机器人系统的概 念，并且在航天飞机上实施。 当初的空间机器人是由航天飞机舱内的宇航员通过 电视画面操纵的。随着空间技术的进一步发展使得未来空间操作任务急剧增加， 空间站的建立、维修，卫星的回收、释放等工作会越来越多。如果所有这些工作 都依靠宇航员来完成， 其成本将十分高昂， 也是十分危险的， 因

14、为恶劣的太空环 境会给宇航员的空间作业带来巨大的威胁。 宇航员的舱外作业需要庞大而复杂的 环境控制系统、生命保障系统、物质供给系统、救生系统等的支持，这些系统不 但具有很高的技术难度， 而且成本巨大。 用空间机器人代替宇航员进行太空作业 不仅可以使宇航员避免在恶劣太空环境中工作时可能受到的伤害， 还可以降低成 本，提高空间探索的效益。 空间机械臂是空间机器人的一种， 已被考虑在未来的 空间活动中承担大型空间站的在轨安装及对失效飞行器的的捕捉与维修， 土壤和 岩石的取样等；并期望其在无人状态下承担未来空间实验室或工厂的日常工作。 根据空间作业的需要， 空间机器人上一般都安装了一个或多个模仿人手臂

15、的多自 由度机器臂。 随着我国国民经济与国防工业技术的迅速发展， 对航天器的需求量 日益增加， 对其能力的要求日臻提高。 特别是空间站在轨服务、 深空探测等空间 技术领域的迅速发展， 对于空间机械臂技术的需求越来越迫切， 而且对其工作能 力和性能要求越来越高， 对其安全性、 寿命等方面也提出了越来越高的要求。 此 外，受国外在高技术领域的技术限制与封锁， 使得我们必须坚持自力更生、 独立 自主的高技术研发道路， 坚持自主创新的思想， 加速并加强空间机械臂技术的研 发工作1。将机器人用于空间服务， 一项关键技术就是路径规划。 路径规划研究是机器 人研究领域中的一个重要分支 ,是机器人导航中最重要

16、的任务之一。对已知静态 环境中机器人路径规划的研究已经进行了将近 40 年，路径规划问题的研究有很 大的价值。 多年的研究工作在取得进展的同时， 愈加证明了路径规划是一个复杂 的难题。路径规划算法的计算量取决于任务、 环境的复杂性以及对规划路径质量 的要求，一个好的路径规划算法应该兼顾对规划速度和路径质量的期望。 随着研 究的深入， 各种新的路径规划方法层出不穷， 使路径规划研究一直活跃在机器人 学领域。目前国内对空间机械臂研究还处于起步阶段， 因此开展空间机械臂相关领域 的研究将极大促进我国空间科学试验、 空间维护与建设、 深空探测等空间技术的 发展。本论文根据课题的技术要求， 将空间机械臂

17、路径规划作为切入点， 研究路 径规划问题，其研究成果具有重要的理论指导意义和工程应用价值。第二节 国内外发展现状一、国内现状我国的工业机器人从 80 年代“七五”科技攻关开始起步，目前已基本掌握 了机器人操作机的设计制造技术、 控制系统硬件和软件设计技术、 运动学和轨迹 规划技术，生产了部分机器人关键元件，开发出喷漆、弧焊、点焊、装配、搬运 等机器人；但总的来看，我国工业机器人技术及其工程应用的水平和国外比还是 有一定的距离，如：可靠性低于国外产品；机器人应用工程起步较晚，应用领域 窄，生产线系统技术与国外比有差距。我国的智能机器人和特种机器人在 “ 863”计划的支持下， 也取得不少成果。

18、其中最突出的是水下机器人， 6000 米水下无缆机器人的成果居世界领先水平， 还开发出直接遥控机器人、 双臂协调控制机器人、 爬壁机器人、 管道机器人等机 种；在机器人视觉、 力觉、触觉、声觉等基础技术的开发应用上开展了不少工作， 有一定的发展基础。 但是在多传感器信息融合控制技术、 遥控加局部自主系统遥 控机器人、 只能装配机器人、 机器人化机械等的开发应用方面则刚刚起步， 与国 外先进水平差距较大。二、国外现状美国是机器人的诞生地，早在 1962 年就研制出世界上第一台工业机器人， 比起号称“机器人王国”的日本起步至少早五六了年。 1971 年，通用汽车公司 又第一次用机器人进行点焊。西欧

19、时仅次于日美机器人的生产基地，也是日美机器人的重要市场。早在 1966年，美国 Unimation 公司的尤尼曼特机器人和 AMF 公司的沃莎特兰机器人 就进入英国市场。接着，英国 Hall Automation 公司研制出自己的机器人 RAMP 德国工业机器人的总数占世界第三。 德国对于一些有危险、 有毒、有害的工作岗 位，必须以机器人替代普通人的劳动。同时提出了 1985 年以后要向高级的、带 感觉的智能型机器人转移目标。1954年：美国人戴沃尔制造了世界第一台可编程的机械手。 1959年：戴沃尔与美国发明家英格伯格联手制造出第一台工业机器人。1962 年：美国 AFM 公司生产出万能搬运

20、机器人，与 Unimation 公司生产的 万能伙伴机器人一样成为真正商业化的工业机器人。1967 年：日本川崎重工公司与丰田公司分别从美国购买了工业机器人Unimat和Verstran的生产许可，开始对机器人的研究和制造。1968 年：美国斯坦福研究所公布他们研制的机器人Shakey。1973 年：世界上机器人和小型计算机第一次携手合作，诞生了机器人T3。1979 年：日本山梨大学发明了平面关节机器人 SCARA 。1984年：英格伯格在此推出机器人 Helpmate,这种机器人能在医院为病人 送饭送药和送邮件。1996年：本田公司推出仿人型机器人 P2,双足行走机器人的研究达到了一 个新的

21、高度。2002年：美国iRobot公司推出了吸尘器机器人 Roombar，为世界上商业化 最成功的家用机器人。2006年：微软公司推出 Microsoft Robitics Studio机器人，从此机器人模块 化平台同一化的趋势越来越明显。在工业机器人技术方面，工业机器人有操作机 （机械本体 ）、控制器、伺服驱 动系统和检测传感器装置构成，是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在 三维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备。第二章机械臂的运动分析机械臂的运动是其轨迹出现的直接原因。 所以轨迹规划的前提是机械臂的运 动分析。本文通过对机械臂的正运动学和逆运动学进行求解，分析两者的区别 和联

22、系。通过对五轴机械臂关于坐标系几何关系， 针对常见轨迹规划方案中起始 和终止阶段进行研究，分析研究结果。第一节机械臂的正运动学分析机械臂从关节空间到末端笛卡尔空间的变换是正向运动学描述。由坐标系中已知的各个关节角度，求解机械臂末端相对应于原点坐标系的位置和位姿。设矩阵A表示机械臂连杆的齐次变换：A 二 Rot(Z, t)Trans(： i ,O,ldJTrans(an i,0,0)Rot(X, ： J0a_i-si nGi-si 门8抽 (2-1)-cosicos%_idi0 1cosQ-sinQsinq co的 cos3 cog sinq sincti cosd si门旳- 0 0(2-2)

23、由于机械臂全是旋转关节。对于文中采用的机械臂而言有五个其次变换矩 阵，则末端连杆坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵-11r1213Pxl21r2223Py31r3233Pz.0001 一5t 二 AAAAA 二式即为机械臂的运动方程，它反应各关节变量与机械臂末端位姿之间的关系，上式左边的五个矩阵含有五个关节变量户2户3户4户5丁。方程右边为描述机械臂末端关节位置和姿态的齐次矩阵，由刚体姿态的描述可知r11，r12，r13，21，22，尬，31，32，33分别为机械臂末关节坐标系的三个坐标轴与机械臂基坐标系三个坐标轴的方向余弦，Px , Py , Pz为机械臂末关节的坐标原点在机械臂基坐标系中的

24、三维坐标。机械臂正运动学求解就是已知各连杆的关节变量求解末端连杆的位姿矩阵。即已知关节变量q二九二2门3,4,屯丁，求解上式机械臂运动学方程中等式右边矩 阵各元素的值10。将上式中的机械臂五个关节的齐次变换矩阵带入，即计算出5t中各元素值为:rii0T = 0r31I0ri2ri3r22r23r32r3300PxlPyPz(2-3)- 15 -其中:ri1 - C1C234C5 S1S512 = -C1C234S5 sic5= C1C23S4 C1S23C4r21-S| C234C _ C1S522= -SiC234S5 - CiC523= Sl C23 S4S1S23C431 二 S234C

25、532 = -S234S511-C234Px 二&窗3ga2 丽2GdPy = $023&31&皿23&1Pz 二辭3SId1其中，G =cos=1， 3 =sint， C234 二cos（6 1 亠），S234 二 sin（r 岂 匕）。第二节机械臂的逆运动学求解机械臂的逆运动学解是对其运动学正解的反解，因而已知量和求解量相反， 即已知机械臂末端的位置姿态对机械臂进行驱动，使各个关节从此刻的姿态运动到与末端位姿相对应的位置，进而得到关节变量 11。机械臂的运动学正、逆求解实质是机械臂关节空间与工作空间之间的非线性 映射关系，两者可相互转换。关系图如下所示。图1关节空间与工作空间的关系机械臂的

26、逆运动学问题，指已知机械臂的末端位姿，即已知齐次变换矩阵0T ,求解各转动关节的角度 诂o机械臂的逆运行学问题，可以理解为通过运动学方程：5T =0丁（弓）2丁（，2）2丁（，3）3丁（匕）：丁（，5）（2-4）求解弓o整理式，将含有弓的部分移到方程的左边(2-5)0tu）5t =2t2）2t3）3t4）5t5）将0T转置，上式可以表达成为:_CiS|Sic000rii0r2i00i-dir3i.000i.0ri2r22r320ri3r23r330PxPy-di_i(2-6)假设上式的两边元素和式相等，得到:(2-7)-SiPx GPy =0可以得出K的解第三章五轴机械臂轨迹规划与仿真目前关于

27、空间轨迹规划的方法主要有三种， 三次多项式插值，高阶多项式插 值以及样条曲线等方法。主要讨论轨迹在关节空间中的位移、 速度与加速度等变 量的关系。规划实质是根据需求，计算出预定的轨迹曲线，在轨迹规划时可以再 运动学与动力学的基础上进行规划，所以规划是建立在运动学和动力学基础上 的。图2机械臂的matlab生成第一节轨迹规划一般问题轨迹规划的一般方法是在机械臂末端的初始和目标位置之间用多项式函数“内插”来抵近给定的路径，并沿着时间轴产生一系列的可供操作机使用的 “控 制设定点”。其中关节坐标和笛卡尔坐标都可以对路径端点进行给出。一般是 在笛卡尔坐标中给出，由于在笛卡尔坐标中机械臂末端形态更容易观

28、察。 所以通 常采用笛卡尔方法。在给定的两端之间，常有多条可能路径。可以沿着直线和光滑多项式曲线运 动。本文将讨论插值法，研究满足路径约束的简单轨迹规划3。第二节关节空间的轨迹规划机械臂关节空间的轨迹规划解决机械臂从起始位姿到终止位姿去取放物体 的问题.机械臂末端移动的过程并不重要，只要求运动是平滑的且没有碰撞产生.在关节空间中进行轨迹规划时，算法简单、工具移动效率高、关节空间与直角坐 标空间连续的对应关系是不存在的，因此机构的奇异性问题一般不会发生。对于无路径的要求，应尽量在关节空间进行轨迹规划。一、三次多项式插值法三次多项式与其一阶导数函数，总计有四个待定系数，对起始点和目标点两 者的角度

29、、角角速度同时给出约束条件，本文采用的是三次多项式插值法5。可以对通过空间的n个点进行分析并进行轨迹规划，让速度和加速度在运动过程中 保持轨迹平滑。本文算法可以实现对（n-1）段中的每一段三次多项式系数求解， 为了方便，对其进行归一化处理。（1）时间标准化算法根据三次多项式轨迹规划流程，对每个关节进行轨迹规划时需要对（n-1）段的轨迹进行设计，为了能对（n-1）个轨迹规划方程进行同样处理，本文首先设计 了时间标准化算法将时间进行处理，经过处理后的时间r 0,1。首先疋义：t :标准化时间变量，r 0,1；:未标准化时间，单位为秒；i :第i段轨迹规划结束的未标准化时间，- i4 ;机械臂执行第

30、i段轨迹所需要的实际时间：t=C-ij/Ci，其中 i,t 0,1。时间归一化后的三次多项式为：y =人 At * A2t2 At3（2）机械臂轨迹规划算法实现过程 已知初始位置为*; 给定初始速度为0; 已知第一个中间点位置V2，它也是第一运动段三次多项式轨迹的终点； 为了保证运动的连续性，需要设定R所在点为三次多项式轨迹的起点，以 确保运动的连续； 为了保证二2处速度连续，三次多项式在 七处一阶可导； 为了保证处加速度连续，三次多项式在 匕处二阶可导； 以此类推，每一个中间点的位置R (2 :：: i :：: (n -1)，都一定要在其原运动段 轨迹的终点，并且也是它后运动段的起点。 二i

31、1的速度保持连续； 二i1的加速度保持连续； 点位置片。给定终点速度，设其为0。(3) 约束条件第一个三次曲线为：r(t) =a10 a11t - a12t2 a13t3第二个三次曲线为：r(t) =a20 a21t - a22t2 a23t3第三个三次曲线为：r(t) =a30 - a31t - a32t2 a33t3第(n _1)个三次曲线为：(t) =%书0 a(n 4)1t a(n _1)2七a(n J)3t在同一时间段内，三次曲线每次的起始时刻t=0，停止时刻t = tn，其中i = 1.n 。 在标准化时间t =0处，设定弓为第一条三次多项式运动段的起点，可以得 出: L10 ；

32、在标准化时间t=o处，三次多项式运动段第一条的初始速度是已知变量， 所以得出：齐=餉=0 ；第一中间点位置R与第一条三次多项式运动段在标准化时间t=tn时的终点相同，所以可以得出：七=aio ait，咄常，氐订； 第一中间点位置312与第一运动段在标准化时间t=0时起点相同，所以得出：二2 = *20 ； 三次多项式在 屯处一阶可导，因此可得出：-an - 2a12tfi - 3ai3t2*2i ； 三次多项式在 匕处二阶可导，因此可得出：二2 =2觅 6*晶1 =2*22 ；第二个空间点的位置二3与第二运动段在标准化时间ti2时的终点相同，所以有:23二3 = a20 a21t f 2 a2

33、2t f 2 a23t f 2 ；第二个中间点的位置二3应与第三运动段在标准化时间t =0时起点相同,所以有：1二*30 ；三次多项式在 岂处一阶可导，从而有：乙=a2i 2a22tf2 3a23t2a3i ；三次多项式在 岂处二阶可导，从而有： = 2*22 - 6*23tf2 =2*32 ；点相同，所以有：Tnd=*02)0*(nJ2)1tf (n_2)*()2tf (2)*()3tf (nJ2)0?第（n-2）个中间点位置 入和第（n-1）运动段在标准化时间tf（n）时的终?第（n-2）个中间点位置 片厶应与下一运动段在标准化时间t=0时的起点位置相同，所以有 九二*（n4）0 ；?三次

34、多项式在第（n-2）个中间点处一阶可导，从而:T(n J) = Qn ,)12*(n 2)2tf (n 2)由(n 2)3七 f (n 4) = *(n 4)1(3-1)?三次多项式在第（n-2）个中间点处二阶可导，从而:(nd) = 2*(n -2)2 6*(n _2)3上 f ( n-2) = 2*(n 书2(3-2)?因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间tn时的位置为:- 19 -（3-3）23入=a（n）0 a（nJ）1tfn a（nJ）2tfn a（n J）3tfn?因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间tn时的速度巧为: 2- a（n J）1 2a（nJ）2tfn 3a（n_1）3t

35、fn以上公式改写为矩阵为：C二Md。由该矩阵计算M，可以求出轨迹规划的全部参数，（刃由五轴机械臂运动学逆解求出）于是求得（n1）段的运动方程，从而使五轴机械臂末端执行器经过所给定的位置坐标。通过以上分析可以确定机械臂在满足速度要求的两个位姿之间运动时各个 关节轴的角度变化曲线。如下图3所示是MATLAB仿真分析三次多项式插值: 机械臂某关节角在4秒内由初始点A经过中间点B到达终点C的变化情况。 个位置点的速度和角速度如下所示：*=30% =60 岂=40=20% =30 无=20图中实线为角度变化曲线，虚线为角速度变化曲线。关节角度曲线平滑，而 速度曲线在中间点B处出现突变。图3三次多项式插值

36、法二、五次多项式插值五次多项式共有六个待定系数，要想六个系数得到确定，至少需要六个条件五次多项式可以看作是关节角度的时间函数，因此其一阶可导和二阶可导分别可以看作是关节角速度和关节角加速度的时间函数。五次多项式及一阶、二阶导数公式如下：刁t） =c0 C1t C2t2 C3t3 C4t4 C5t5（3-5）%）二 C1 2C2t 3C3t2 4C4t3 5C5t4（3-6）Rt) =2C2 6C3t 12C4t2 20C5t3(3-7)为了求得待定系数Co,Ci,C2,C3,C4,C5,对起始点和目标点同时给出关于角度 和角加速度的约束条件:%) = C0C1t0C2t2C3t3 C4t4 C

37、5t0(3-8)StCtf * C2I * C3E * Cqt： * C5E(3-9)日（t0）=G *2。2鮎 +3C3t。+4C4t。*5。5上0(3-10)齐tf) =G 2C2tf 3C3t2 4C4t： 5C5#(3-11)九0)=2C2 6C3t。12C4to 20CE(3-12)23%)=2C2 6C3tf 12C4tf 20C5tf(3-13)Stf）分别表示起始点和目标点的关节角，5。）、%f）分别表示起式中）始点和目标点的关节角速度， 。）、二（tj分别表示起始点和目标点的关节角加速 机械臂从起始点开始运动，经过4秒到达终点，仿真时起始点和目标点的关节角 速度为0。中间点的

38、关节角加速度还可以对相邻两段轨迹角加速度进行平均值求 解，使该值为中间点的瞬时加速度12。利用MATLAB对五次多项式插值进行仿 真，将结果与三次多项式插值进行对比， 发现三个位置点的速度、角速度两种方 法相同，同时增加角加速度约束：度。将起始时间设为0,即to =0得到解为:C。0C0时，贝U 日3 = Atan2(v3,u3)日=怡3 u=rHco w = 0 将插补结果返回到原坐标中，设点p在原坐标系中坐标值为（x, y,z），则有:xu由以上结果可以得到圆弧上各插补点的位置,(3-28)各插补点的三个位姿角度可以各自按照位移曲线为抛物线过度的线性函数求得。 把每个插补点的位姿通过运动

39、学逆解，就可以得到各插补点对应的关节角001360001330001280010-600104001060Tpi =100400Tp2=100300Tp3=1002000001 一-0001 一0001 一空间三点的位姿Pi、P2和P3可以分别用下式表示:(3-29)通过空间弧线的插补法,插补步数设为N=200,仿真时间40s,在MATLAB 中进行空间圆弧的仿真，如图9所示，同时获得机械臂关节角度的数据曲线， 如图10所示。机械臂的自由度数目应与所要完成的任务相匹配，空间圆弧在M平面上，机械臂的关节数对于空间圆弧轨迹而言是冗余的。 第五关节轴线与末端的 工具轴线重合，关节五的角度并不影响空间

40、圆弧的轨迹规划中工具的位置和姿 态，所以图10中没有第五关节的角度曲线。三、一般空间轨迹规划在大多数情况下，可将 TCP的目标运动轨迹划分成若干段圆弧轨迹和直线 轨迹的连接，从而在每个对应的小区段使用直线插值或圆弧插值的方法完成整条 TCP的目标运动轨迹的插值。但是，对于复杂程度相对较高的目标轨迹曲线，直线段加上圆弧段的组合在曲线精度方面并不理想， 常常难以满足用户需求。而且， 将复杂程度高的轨迹曲线划分为若干段微小的直线和圆弧的组合，是非常困难的工作，特别是还要保证直线段和圆弧段交接点处过渡平滑的条件。因此，对于任意复杂的轨迹，使用更高级的插值方法势在必行。较为常用的复杂轨迹插值方法 有：多

41、项式插值法、分段线性插值法、分段多项式法、B样条插值法等等。要保证较高的插值精度，往往需要给定更密集的插值点序列， 而且，如果使用的是多 项式插值法，为获得高精度，多项式的次数也需要高。但是，当次数高时，会产 生龙格现象，即在插值区间两端，会产生剧烈的震荡现象，导致插值点不收敛于 目标轨迹。三次样条就是通过全部样点且具有连续二阶导的函数，因此，选择三次样条插值对机械臂轨迹曲线进行规划10。若三次样条曲线所经过的n 1个插值样点序列的X轴坐标为x、Xi、.、Xn。则待求的三次样条曲线参数方程 X二S(U)是通过所有样点，而且具有连续二 阶导数的分段三次多项式，即满足条件：(1) s(u)在每两个

42、样点之间的函数表达式 Sj (u)是小于或等于三次多项式；s(u)在除起点和终点外的所有内点处都有直到二阶的连续导数。若s(u)在每两个插值样点之间的三次多项 Sj(u)的表达式为：Sj(u) =ajU +bjU2 +CjU +dj (u 乏0,1; j =1,2,., n)(3-30)其中上式中的系数为常数。则：3(u),第1和第2个插值样点之间s2(u),第2和第3个插值样点之间x = s(u) = (3-31)(Sn(u),第n和第n +1个插值样点之间所以，需要求得n组位置常数系数，才能得到完整的三次样条参数方程表达式。假设在s(u)每个插值样点出的值为M。，Mi.Mn，又因为每两个插值样点 之间的三次多项式Sj(u)的二阶导s(u)师一次多项式，所以有:Sj(u) =(1 -u)M jj uM j (u 0,1; j -1,2.n)(3-32)对Sj(u)分别做一重和二重积分可得14:1 2 2 Sj(u)= Sj(u)du-(1u) M ju M j j-133Sj(u) = Sj(u)du (1 u) M j j - u M jju” ； j(3-33)6再把插值样点的已知坐标 可(0)工石和Sj(1)