特殊平行四边形中的常见辅助线

1、特殊平行四边形中的常见辅助线一、连结法1. （2014陕西，第9题3分）如图，在菱形 ABCD中，AB=5，对角线AC=6若过点A作AE丄BC,垂足为E,则AE的长为（）122QA 4 B. .C. = D 52. （ 2015安徽，第9题4分）如图，矩形 ABCD中，AB=8 , BC=4 点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上若四边形 EGFH是菱形，则 AE的长是（ ）A 2B 3 了C5D 63如图，在矩形 ABCD中，AB=4 , AD=6 , M , N分别是 AB , CD的中点，P是AD上的点，且/ PNB=3 / CBN (1) 求证：/ PNM=2 / CB

2、N ;(2) 求线段AP的长.4 . (2015山东德州,第20题8分)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的对角线OB,AC 相交于点 D，且 BE II AC , AE II OB ,(1) 求证：四边形 AEBD是菱形；(2) 如果OA=3 , OC=2,求出经过点 E的反比例函数解析式.考点：反比例函数综合题.分析：(1)先证明四边形 AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；(2)连接DE,交AB于F,由菱形的性质得出 AB与DE互相垂直平分，求出 EF、AF，得出点E四边形AEBD是平行四边形,AC=OB , AB=OC=2 ,的坐标；设

3、经过点 E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可.解答：(1)证明：/ BE II AC , AE II OB ,/四边形OABC是矩形, DA= AC , DB= OB DA=DB ,四边形AEBD是菱形;(2)解：连接DE，交AB于F，如图所示:四边形AEBD是菱形， AB与DE互相垂直平分,/ 0A=3 , 0C=2 ,1 煜1c EF=DF= 0A=, AF= AB=1 , 3+ =,2 222 2点E坐标为：(，1),2设经过点E的反比例函数解析式为：y= *,y把点E (, 1)代入得：k=,2 2经过点E的反比例函数解析式为：y=.点评：本题是反比例函数综合题目

4、，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性 质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要作辅助线求出点 E的坐标才能得出结果.5. (2015江苏泰州，第25题12分)如图，正方形 ABCD的边长为8cm, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且 AE=BF=CG=DH(1) 求证：四边形 EFGH是正方形；(2) 判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；(3) 求四边形EFGH面积的最小值.考点：四边形综合题.分析：(1)由正方形的性质得出 / A= / B= / C=Z D=9C , AB=BC=CD=DA，证出AH=

5、BE=CF=DG，由 SAS 证明 AEH BFECGFDHG，得出 EH=FE=GF=GH , / AEH= / BFE，证出四边形 EFGH是菱形，再证出 / HEF=90，即可得出结论;(2)连接 AC、EG,交点为 O;先证明 AOE COG，得出OA=OC，证出O为对角线 AC、BD的交点，即卩O为正方形的中心；(3) 设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，贝卩BF=( 8-x) cm,由勾股定理得出 S=x2+(8- x)2 2=2 (x - 4) +32, S是x的二次函数，容易得出四边形 EFGH面积的最小值.解答：(1)证明：四边形ABCD是正方形，/ A= / B= /

6、C=Z D=90 , AB=BC=CD=DA ,/ AE=BF=CG=DH , AH=BE=CF=DG ,在厶AEH、 BFE、 CGF 和厶 DHG 中， ZA二ZB二ZC=ZD ,AH=BE=CF=DG AEH BFE CGFA DHG ( SAS),EH=FE=GF=GH , / AEH= / BFE,四边形EFGH是菱形，/ BEF+ / BFE=90 , / BEF+ / AEH=90 , / HEF=90 ,四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心( AC、BD的交点)；理由如下：连接AC、EG,交点为O;如图所示：T四边形ABCD是正方形，

7、AB / CD , / OAE= / OCG ,rZ0AE=Z0CG在厶AOE 和厶COG 中，, AOECOG (AAS ),AE 二 CG OA=OC，即O为AC的中点， 正方形的对角线互相平分,0为对角线AC、BD的交点，即0为正方形的中心；(3)解：设四边形 EFGH面积为S,设BE=xcm，贝U BF= (8 - x) cm, 根据勾股定理得：EF2=be2+BF2=x2+ (8 - x) 2,2 2 2- S=x + (8 - x)=2 (x- 4)+32,/ 20, - S有最小值，当x=4时，S的最小值=32,四边形EFGH面积的最小值为 32cm2.点评：本题是四边形综合题目

8、，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)(3 )中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.6. (12分)(2015内蒙古赤峰25，12分)如图，四边形 ABCD是边长为2，一个锐角等于 60的 菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA (或它们的延长线)于点 E、F，/ EDF=60，当CE=AF时，如 图1小芳同学得出的结论是 DE=DF .(1) 继续旋转三角形纸片，当C字AF时，如图2小芳的结论

9、是否成立？若成立，加以证明；若不 成立，请说明理由；(2) 再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图 3请直接写出DE与DF的数量关系；(3) 连EF，若厶DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当 x为何值时，y有最小 值，最小值是多少?考点：几何变换综合题.分析：(1)如答图1,连接BD 根据题干条件首先证明 / ADF= / BDE，然后证明 ADF S BDE (ASA )，得 DF=DE ；(2)如答图2,连接BD 根据题干条件首先证明 / ADF= / BDE，然后证明 ADF S BDE(ASA )，得 DF=DE ;(3) “根据(2)中的

10、ADF S BDE得到：SAadf =Sabde , AF=BE .所以 DEF的面积转化为:y=S BEF+SABD .据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值.解答： 解：(1) DF=DE 理由如下：如答图1，连接BD .四边形ABCD是菱形， AD=AB .又/ A=60 , ABD是等边三角形， AD=BD , / ADB=60 ,/ DBE= / A=60/ EDF=60 ,答图1D(ZADF=ZBDE / ADF= / BDE .在 ADF与厶BDE中，匚AD 二 BD,ZA=ZDBE ADF BDE(ASA), DF=DE ；(2) DF=DE .理由如下

11、：如答图2，连接BD 四边形ABCD是菱形, AD=AB .又/ A=60 , ABD是等边三角形， AD=BD , / ADB=60 , / DBE= / A=60/ EDF=60 ,/ ADF= / BDE .ZADFZBDE在 ADF 与厶 BDE 中， AB二BDZA=ZDBE ADF BDE ( ASA ), DF=DE ；(3)由(2)知， ADF BDE 贝U Smdf=Sabde, AF=BE=x .依题意得：y=S bef+Saabd=2 (2+x) xsin60 +疋2sin60 = (x+1).即 y= (x+1 )24442+4 T0,4-该抛物线的开口方向向上，当X=

12、0即点E、B重合时，最小值=点评：本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为 已知角（未知边转化为已知边）是关键。二、中心对称法（倍长法）1. （2014山东临沂,第25题11分）【问题情境】 如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分/ DAM .【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC ；（2）AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】（3） 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探

13、究展示（1 ）、（ 2）中 的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.图2考点：四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质专题：综合题；探究型.分析：（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1 （1），易证 ADE NCE，从而有 AD=CN，只需证明 AM=NM 即可.（2）作FA丄AE交CB的延长线于点 F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证 FB=DE，只 需证明它们所在的两个三角形全等即可.（3） 在图2 （1 ）中，仿照（1）中的证明思路即可证到 AM=AD+MC 仍然成立；在图2 （2）中， 采用

14、反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到 AM=DE+BM 不成立.解答： （1）证明：延长 AE、BC交于点N，如图1 （1）,T四边形ABCD是正方形， AD / BC ./ DAE= / ENC ./ AE 平分 / DAM ,/ DAE= / MAE ./ ENC= / MAE . MA=MN .在厶ADE和厶NCE中，rZDAE=ZCNE“ ZAED=ZNECDE=CE ADE NCE (AAS ). AD=NC . MA=MN=NC+MC=AD+MC .(2) AM=DE+BM 成立.证明：过点A作AF丄AE，交CB的延长线于点 F,如图1T四边形ABCD是正方形，/ BAD= /

15、 D= / ABC=90 , AB=AD , AB / DC./ AF 丄 AE ,/ FAE=90 ./ FAB=90 - / BAE= / DAE .在厶ABF和厶ADE中，fZFAB=ZEADAB 二 AD1(1)所示.11 (2)Zabf=Zd=90 ABF ADE ( ASA ). BF=DE , / F= / AED ./ AB / DC ,/ AED= / BAE ./ FAB= / EAD= / EAM ,/ AED= / BAE= / BAM+ / EAM=/ BAM+ / FAB=/FAM ./ F= / FAM . AM=FM . AM=FB+BM=DE+BM(3)结论A

16、M=AD+MC 仍然成立.(1),证明：延长AE、BC交于点P,如图2四边形ABCD是矩形， AD / BC ./ DAE= / EPC./ AE 平分 / DAM ,/ DAE= / MAE ./ EPC= / MAE . MA=MP .在厶ADE和厶PCE中，rZDAE=ZCPE ZAED=ZPECDE=CE ADE 也厶 PCE (AAS ). AD=PC . MA=MP=PC+MC =AD+MC .结论AM=DE+BM 不成立.证明：假设AM=DE+BM成立.过点A作AQ丄AE，交CB的延长线于点 Q,如图2 (2)所示.四边形ABCD是矩形，/ BAD= / D= / ABC=90

17、, AB / DC ./ AQ 丄 AE ,:丄 QAE=90 ./ QAB=90 - / BAE= / DAE ./ Q=90 - / QAB=90 - / DAE=/ AED ./ AB / DC ,/ AED= / BAE ./ QAB= / EAD= / EAM ,/ AED= / BAE= / BAM+ / EAM=/ BAM+ / QAB=/ QAM ./ Q= / QAM . AM=QM . AM=QB+BM ./ AM=DE+BM , QB=DE.在厶ABQ和厶ADE中,rZQAB=ZEAD ZABQ=ZD=90,BQ二DE ABQ ADE (AAS ). AB=AD .与条件

18、“ AB AD 矛盾，故假设不成立. AM=DE+BM 不成立.2. (2014黑龙江绥化，第26题9分)在菱形 ABCD和正三角形 BGF中，/ ABC=60 P是DF的中 点，连接PG、PC .(1) 如图1,当点G在BC边上时，易证：PG=二PC.如图2,当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；(3) 如图3,当点F在CB的延长线上时，线段 PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明)考点：四边形综合题.分析：(1)延长 GP交DC于点E,利用 PED PGF，得出PE=PG , DE=FG，得至UCE=CG , CP 是 EG 的中

19、垂线，在 RTA CPG 中，/ PCG=60 所以 PGSPC.(2) 延长 GP交DA于点E，连接EC, GC,先证明 DPEFPG，再证得 CDE CBG，利 用在 RTACPG 中，/ PCG =60 ,所以 PG=JPC.(3)延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作 ME / DC，先证 GFP HDP，再证得 HDC GBC，在在 RTA CPG 中,/ PCG=60 所以 PG=*WpC.dec解答：(1)提示：如图1:延长GP交DC于点E,利用 PED PGF，得出 PE=PG, DE=FG , CE=CG, CP是EG的中垂线，在 RTA CPG 中，/ PCG=60

20、 , PG= 一PC.(2)如图2,延长GP交DA于点E,连接EC, GC,/ ABC=60 BGF 正三角形 GF / BC/ AD,/ EDP=Z GFP ,在厶DPE和厶FPG中rZEDP=ZGFPDP=FPZDPEZFPG DPE 也厶 FPG (ASA) PE=PG, DE=FG=BG ,/ CDE=CBG=60 , CD=CB ,在厶CDE和厶CBG中，CD=CB ZCDEX：BG=604,CD=CB CDE CBG ( SAS) CE=CG , / DCE=Z BCG ,/ ECG = Z DCB=120 , / PE=PG , CP丄PG, / PCG= / ECG=602 P

21、G= 7PC.(3) 猜想：PG= 一PC.证明：如图3,延长 GP至U H，使PH=PG，连接CH , CG , DH，作ME / DC P是线段DF的中点，FP=DP,/ GPF=Z HPD , GFP HDP , GF=HD , / GFP = Z HDP ,/ GFP + Z PFE=120 , / PFE= / PDC , / CDH = / HDP+Z PDC=120 ,四边形ABCD是菱形， CD=CB , / ADC=Z ABC=60 点 A、B、G 又在一条直线上, / GBC=120 ,四边形BEFG是菱形， GF=GB, HD = GB , HDC GBC , CH =

22、CG , / DCH = / BCG , / DCH + / HCB = / BCG+ / HCB=120 ,即/ HCG=120/ CH = CG , PH = PG , PG 丄 PC , / GCP= / HCP=60, PG= _PC.M点评：本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正 确的构建出相关的全等三角形是解题的关键.3如图，在口 ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E,连接ME.(1 )若 AM=2AE=4 , Z BCE=30，求口 ABCD 的面积;(2)若 BC=2AB，求证：Z EMD=3 Z MEA.解：(

23、1)v M 为 AD 的中点，AM=2AE=4 , AD=2AM=8 . 在 QkECD 中,BC=CD=8 ,又 CH 丄 DE ,/.Z BEC=90 ,TZ BCE=30，/ BE=BC=4 , AB=6 , CE=,.(2)延长EM,CD交于点N,连接CM.在中 , , /Z AEM= Z N,三、旋转法1. (2014浙江绍兴，第23题6分)(1)如图，正方形 ABCD中，点E, F分别在边BC, CD上,/ EAF=45，延长 CD 到点 G，使 DG = BE，连结 EF，AG .求证：EF=FG .(2)如图，等腰直角三角形ABC中，/ BAC=90 , AB=AC，点M ,

24、N在边BC上，且/ MAN =45 ,若 BM=1 , CN=3，求 MN 的长.圏1考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.专题：证明题.分析：(1)证厶ADG也厶ABE, FAE GAF，根据全等三角形的性质求出即可;(2)过点C作CE丄BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM 连接AE、EN.通过证明 ABM ACE ( SAS)推知全等三角形的对应边 AM=AE、对应角/ BAM= / CAE ；然后由等腰直 角三角形的性质和 / MAN=45得到/ MAN= / EAN=45 ,所以 MAN EAN ( SAS),故全等三 角形的对应边 MN=EN;最后由勾股定理得到 EN2=E

25、C2+NC2即MN2=BM2+NC2.解答：(1)证明：在正方形 ABCD中，/ ABE = Z ADG , AD=AB,在厶ABE和厶ADG中,rAD=AB ZABE=ZADGlDG=BE ABE 也厶 ADG ( SAS),/ BAE = / DAG , AE=AG,:丄 EAG =90 ,在厶FAE和厶GAF中，AB 二 AG ZEAF=ZFAG=45O ，,A?=AF FAE GAF (SAS), EF=FG(2)解：如图2,过点C作CE丄BC,垂足为点C,截取CE，使CE=BM.连接AE、EN ./ AB=AC, / BAC=90 ,B=Z C=45 ./ CE 丄 BC,ACE=Z

26、 B=45在厶ABM和厶ACE中，rAB=AC* ZBZACE,B1I=CE ABM 也厶 ACE ( SAS). AM=AE, / BAM = Z CAE ./ BAC=90 , / MAN =45 ,BAM + Z CAN =45.于是，由 Z BAM = Z CAE,得 Z MAN = Z EAN=45 .在厶MAN和厶EAN中，汕二 AE“ Zman=ZeanAN二 AN MAN EAN ( SAS) MN = EN.在RtA ENC中，由勾股定理，得 EN2=EC2+NC2.2 2 2- MN =BM +NC ./ BM=1 , CN=3, MN2=l2+32,/ MN = J |

27、:点评：本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股 定理的综合应用.2. （2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形 ABCD的边长为6,点E、F分别在AB , AD 上，若CE=3讥，且/ ECF=45，贝U CF的长为（）A. 2 B.3C. D.考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.分析：首先延长FD到G,使DG=BE，利用正方形的性质得 / B= / CDF= / CDG=9 ,CB=CD ;利用SAS定理得 BCEDCG，禾U用全等三角形的性质易得 GCFA ECF，利用勾股定理可得 AE=3，设AF=x，禾惋 GF=EF，解得x，利用勾股定理可得 CF .解答： 解：如图，延长 FD到G,使DG=BE ;连接CG、EF；四边形ABCD为正方形，在厶BCE与厶DCG中， ZCBEZCDG,BE二DG