王进明初等数论习题解答

1、王进明初等数论习题及作业解答P17 习题 1-11, 2(2)(3), 3 , 7, 11, 12 为作业。1. 已知两整数相除，得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数解：a 12b 26,a b 1226454, 12b 26 b 1226454,(12 1)b454 1226 26390, b=30,被除数 a=12b+26=360.这题的后面部分是小学数学的典型问题之一一一“和倍”问题：商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的(12+1 )倍，即454 12 26 26 390是除数的13倍.32.证明：(1)当n

2、 Z且n 9q r(0 r 9)时，r只可能是0,1,8;证：把n按被9除的余数分类，即:若 n=3k +1, k 乙则 n3(3k)3若 n=3k, k Z,则 n327k3, r=0；9k(3k2 3k3(3k)23(3k) 11) 1 ,r=1 ;若 n=3k - 1, k Z,则(3k)323(3k)3(3k) 1329(3k 3kk 1) 8 ,r=8.3 n 当n Z时，一32n n的值是整数。2 6或证:n3因为一32n3(n由k!2!|(n3n2n21)n(n必整除却一一n，只需证明分子n(2 n2 3n 1) (n 1) n(2n2 n 1) = n(nk个连续整数知:1)n

3、, (n 1)n必为偶数1)1)(n 2) (n故只需证1)(n3|(n小3小 22n 3n1)n(n1).n是6的倍数。2) ,6 |(n 1)n(n 1).1)n(2n 1).若 3|n,显然 3|(n 1)n(2n 1)；若 n 为3k +1, k Z,则n- 1是3的倍数，得知(n 1)n(2n 1)为 3 的倍数；若 n 为 3k- 1, k Z,贝U 2n-仁2(3k- 1)-仁6k-3, 2n- 1 是3的倍数.综上所述，(n 1)n(2n 1)必是6的倍数，故命题得证。又证：()_02+12+22+(n-1)2,整数的平方和必为整数。6当n Z-时，-n Z+,从而同样推得 n

4、(2n 1为整数，故命题得证。6(3)若 n 为非负整数，则 133|(11n+2+122n+1).当m, n, I N+时，n_乞 的值总是整数m! n!丨！证明：(m n I)! =(m nl)(m n 丨1)L (n丨 1)(n 1)(n丨 1)L(I 1) I!由k!必整除k个连续整数知：m!| (m nl)(m nI 1)L (n I1),n! |(n I)(n I 1)L (I 1)，从而由和的整除性即证得命题。(5)当 a, b Z 且 a b,n 是双数时，ab | (anbn)；当 a, b Z 且 a b,n 是单数时，ab | (anbn).解：利用例5结论：若a zb,

5、贝U a b |(an bn).令b= b*,即得。或解： a = (a+b) b,(5)当n为双数时，由二项式展开an bn a b b n bnnn 1n 1n 1a b nab b L 1 n abb1 ,证得。(6)当n为单数时类似可得。53.已知a1, a2, a3, a4, a5, b 乙且a： b，说明这六个数不能都是奇数.i 1解：若这六个数都是奇数，设a2ki 1，K Z,i 123,4,5，则2 ai52(2K 1)54ki (kii 151) 5，因为 2|ki(R 1)，所以 8 | 4 ki(ki 1),i 12 ai8q 5,q Z ,222而 b (2k 1) 4

6、k(k 1) 1 , b 8q1 , k,q Z ,即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。4. 能否在下式的各内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则， 说明理由。1 2口 3 4口 5口 6口 7 8 9=10不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。或解：无论各内填入加号或减号，1 2口 3口4 5 6口 7 8 9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果 1口2 3 4口5口 6 7口 8口 9 一定是奇数。5.已知：2a, b, c均为奇数.证明 a

7、x bx c 0无有理根。证：若有有理根，记为卫，p, q互质，代入方程有a(P)2 b c 0qq q即ap2 bpq cq20 ,这是不可能的，因为 p,q互质，二者不可能同时为偶数。若p为偶数，则ap2 bpq为偶数，但cq2是奇数，它们的和不可能为 0;若q为偶数，则bpq cq2为偶数，但ap2是奇数，它们的和也不可能为0。6 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为 35, 47, 83.问原来所写的三个数能否是2, 4, 6?解：不能.因为原来所写的三个数若是2, 4, 6,每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.7.将1- 99这9

8、9个自然数依次写成一排， 得一多位数 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101197 98 99,求 A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少 ？解：由数的整除特征，2和5看末位， A除以2余1, A除以5余4; 4和25看末 两位， A除以4余3, A除以25余24; 8和125看末三位， A除以8余3,且除以125 余24; 3和9看各位数字的和，1 + 2+ 3+ 4 + 5+ 6+ 7 + 8 + 9=45, A所有数字的和等于 450, A除以3和9都余0 ,A除以11的余数利用定理1.4,计算奇数位数字之和一 A的偶数位 数字之和.奇数位数字之和

9、1+3+5+7+9+（0+1 +9） X9 ,偶数位数字之和 2+4+6+8+（1+2+9） X10,两者之差为40,原数除以11的余数就是40除以11的余数：4.&四位数7x2y能同时被2, 3, 5整除，求这样的四位数.解：同时被2, 5整除，个位为0,再考虑被3整除，有4个：7020, 7320, 7620, 7920.9. 从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7 整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？被 5 整除，个位必为 5. 5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29 中唯

10、 27 能 被3整除，故选出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有 9765,9675,7965,7695,6975,6795,从最大的开始试除，得 9765=7 X 1395，那么要求的就是 9765 了。10.10. 1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用一个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于（1）2001 ,2529 ,1989，能否办到？如能办到，写出框里的最小数与最大数.如办不到，说明理由.456712389 I10111213141516171819202122232425262728MMLMM995996 99799899910001001解

11、：设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x（1） 9不能整除2001，和等于2001办不到；（2） 9x=2529, x=281，是所在行第一个数，和等于2529办不到；（3） 9x=1989 ,x=221 , 和等于1989能办到，框里的最大数为 x+8=229，最小数为x 8=213 .12.证明：7（或11或13） |anan 1L a3a2c1a0的特征是：7（或11或13）整除anan 1 L a3 a2aia0 1解答：因为7X11X13=1001。（谐“一千零一夜”）而anan 丄 a3a2a1a0 =7xii xi3xa2a1a0 (anan 1L a3 a2a1a0) xi

12、ooo.an an 1 Lanan 1 L a37 11 13 (anan 丄 a?附)广西师范大学赵继源主编的初等数论习题1 1中的部分题目(与上面相同或相似的题目不列，以下各章节同)3 .已知 a，b，c中，有一个是2001，有一个是 2002，有一个是2003，试判断(a 1) Xb2) Xc3)的奇偶性，并说明理由.6. 24|62742,求9.是否存在自然数 a和b，使a2 b2 = 2002成立？11. 证明：当 n Z 时，6 | n(n + 1)(2n + 1).212. 已知：f x ax bx c , f (0), f ( 1), f (1), x 均为整数.证明： f x

13、 乙解答：3.偶数.因为a, b, c中,有三个奇数，所以a 1, c 3中至少有一个是偶数.6 .只需 3 162742,且8|62742即3|(),且8| ，先考虑 0,2,4,6,8,有5组解0,0；2,4;4,8;7,2;9,6.a2 b2 =(a b)(a + b)，而a + b的奇偶性相同.而 2002=2 X001.9. 不存在.利用11. 用数学归纳法或 n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n1)n(n+1)，利用整除的基本性质(13).12. 由f (0), f ( 1), f (1), x均为整数可得c, a+b, a b均为整数.进而知2a, 2b为整数

14、. 分类讨论(k Z): x=2k时，由2a, 2b为整数f (x)显然为整数；x=2k+1 时，f (2k+1) = 4 ak(k+1) + 2 bk + a + b + c,可知 f (x)仍然为整数。习题1-21. 用试除法确定下列各数中哪些是质数？哪些是合数？1987, 2027, 2461 , 17357解：,1987 45, . 2027 - 45.022,用质数试除到43,可知两者是质数， ,2461 - 49.61, 用质数顺次试除，试除时，用数的整除特征考虑：2, 3, 5显然不能整除它，由上节第 12题结论，357 17= 340, 340 不能被 7, 11, 13 整除

15、，再用 17, 23 考虑，2461 - 23=107, 2461是合数。用类似思路顺次试除17357,到17,得分解式17357=17X1021 , 17357是合数。2. 当 n 是什么正整数时，f1(n) n44 ,f2 (n)n55n49n3+8n2+4n+1,f3 (n) =n418n 2+45, f4( n)= n4+ n2+1, f5(n) 3n2 4n 1 的值是质数？是合数？解：(n) n4 4n244n2(n22)2(2n )2(n2 2n2)( n2 2n2)2 2(n 1)1(n 1)1，当 n =1 时，fjn)是质数；当 n 1 时，(n)是合数。f2 (n) (n

16、5 2n4 n3) (3n4 6n3 3n2 )+(2n3 4n2 2n) (n2 2n 1)=(n +1)2(n3+3n2+2n +1)。 n无论是什么正整数时，n +11f2(n)总是合数。fs(n)=(n2 3)(n2 15)令 n2- 3=1 或 n2 15=1 知仅当 n=2 或 n= 4 时，fs(n)为质数,n为其它正整数时，f3 (n)是合数。n4+ n2+1 = n4+ 2n2+1 n2 = (n2+ n+ 1)(n 2 n+ 1)，令 n2+ n+ 仁1 或 n2 n+ 1=1 知 仅当n= 1时，f4(n) =n4+ n2+1为质数，n 1时，f4(n)是合数。f5(n)

17、(3n 1)(n 1) , f5(n)当n=2时为质数，n为其它正整数时是合数。3试证：(1) 一切大于3的质数，不是形如 6n +1就是6n 1的数(n N);(2) 任意多个形如 6n +1 的数的乘积仍是形如 6n +1 的数；(3) 形如 6n 1 的数中含有无限多个质数 证：(1)因为形如6n或6n 2或6n+3为合数；所以结论成立；(2)先证明两个形如 6n +1 的数的乘积仍是形如 6n +1 的数：(6n11)(6n21)36n1n2 6n1 6n216(6n1n2 n1 n2)1 ，显然， 6n1n2 n1 n2 N ，结论成立。然后用数学归纳法可得一般性结论。(3)若形如

18、6n 1的数中只有 k个质数：p1, p2,ip令N = 6 p 1 p2pk 1 ,N为形如 6n 1的数，由假设N必为合数，且必有一个形如 6n 1的质因数p (否则就全是形如 6n + 1 的数，由中结论，乘积必为形如 6n+1的数，与N的形式不符)，因此p为P1, p2,p 中的某一个，于是， p | 1, 矛盾。4.设m1，当m |( m 1)! 1时，m必为质数证：若m为合数，m最小的大于1的约数必为质数，设为 p, p是2,3，,m 1中一个数。 显然 p | (m 1)!且 p | ( m 1)!+1，于是，p | 1,矛盾。5. 是否有1999个连续的自然数，它们之中恰好只有

19、一个是质数？证：显然存在 1998个连续的自然数都是合数 ,比如1999!+2, 1999!+3,1999!+1999.现在设a1,a2,，a1998是任意1998个连续的合数，若比a1小的最大的质数是 p ,贝U p,p+1,p+2,， p+1998 就是题目所要求的 1999 个连续的自然数。这里的p可以如下确定：比 a1小1的不是质数，就考虑比a1小2的，还不是，就考虑 小3的,，直到是质数为止，这个质数即为p。事实上，p后面的合数不少于1998个， 所以可从p后面选1998个都是合数。附)广西师范大学 赵继源主编的 初等数论 习题 12 中的部分题目 (与以上相同的不列 )1. 判断下

20、列各数中哪些是质数？ 109， 20032. 求证：对任意 n Z + ,必有n个连续的自然数都是合数.4.求证：当 n Z+时，4n3+6n2+4n +1是合数.5. 求a,使a, a +4, a +14都是质数.6. 已知两个质数 p和q满足关系式 3p+5q=31.求p/(3q+1)的值.7. 已知p3,且p和2p+1都是质数，问 4p+1是质数还是合数？8. 由超级计算机运算得到的结果(2859433 - 1 )是一个质数，试问：(2859433 + 1 )是质数还是 合数？请说明理由.9. 已知：质数 p、q使得表达式(2p+1) /q及(2q-3)/p都是自然数，求p、q的值10.

21、 试证：形如 4n -1的数中包含有无穷多个质数.(此题在王进明教材中为例題)11. (1)若n是合数，证明：2n-1也是合数；(2)有人认为下列各和数：1+2+4 , 1+2+4+8 ,1+2+4+8+16 ,交替为质数与合数，你认为对吗？12. 已知：质数 p5,且是质数，证明：4p+1必是合数.习题1-2解答1. 、109 11, 109用质数试除到7,2003 45,2003用质数试除到43，可知两者是质数，17357=17 1021是合数试除时，用数的整除特征考虑： 2, 3, 5显然不能整除它，由上 节第8题结论，357 17= 340 , 340不能被7, 11, 13整除，再用

22、17考虑，得分解式。2. 为作一般性证明， 可如下构造 n个连续自然数：(n + 1) ! + 2 ,(n + 1 )! + 3 ,，(n+ 1)! + n + 1显然它们每个都是合数.4. 利用 4n3+ 6n2+4n+1= (2n+1)(2n 2+ 2n+ 1) ,n Z+, n1,2n+1 和 2n2+ 2n+ 1 皆为大于 1 的数.5. a=3.思路：分类讨论(k Z): / a=3k+1时，a + 14是3的倍数，a=3k+2时，a + 4是3 的倍数。必有a =3k，即a为3的倍数。而a是质数，只有a =3时，三个数全是质数。6. 条件为一个不定方程，可知1 3得p不是3的倍数，

23、p= 3k+ 1 , 3 | 2p+1，所以，p=3k+2 , 3 | 4p+1.或解：4p, 4p+1 , 4p+2是三个连续整数，必有一个被3整除，由题设，只有3 | 4p+1.8. 合数.2859433不可能是3的倍数，连续三个自然数中必有一个是3的倍数.即(2859433+1 )。另一种解法：由习题 1 1第1题(2)的结论，(2+1 )|( 2859433+1 ).9. 设並丄h,红卫k , h、k必为奇数，並4p 24p 24p 2,得k 4，而kqpq 2q kp 3 kp不能为3,故只有k =1,这样2q 3=p，代入h 4q 54 ,同时质数p、q大于3.所以，只q能有h =

24、3,因而得 q =5,p=7.10. 先证：一切大于 2的质数，不是形如4n + 1就是形如4n 1的数；再证任意多个形如4n+1的数仍是形如4n +1的数；最后用数学归纳法验证.若形如 4n 1的质数只有有限个： p1, p2,pk。令N = 4 p1 p2pk 1, N为形如 4n 1的数，由假设N必为合数，且必有一个形如 4n 1的质因数p (否则就全是形如 4n + 1 的数，乘积必为形如 4n+1的数)，因此p为p1, p2,pk中在某一个，于是，p | 1,矛盾。11. (1) n 是合数,设 n=st, 2n-1=2st-1= (2s-1) (2s) t-1+ (2s) t-2+

25、 + 2+ 1:.2) 1+2+22+ +2-1=2n-1.当 n=14, 15 时，214-1 , 215-1 均为合数， 不对.12. 取模为 6 分类讨论 p,即设 p=6q+ r (r=0, 1, 2, 3, 4, 5).由质数p 5若p=6q, 6q+2, 6q+3或6q+4, p皆为合数,不可能.若p=6q+ 1,则2p +仁12q+ 3也是合数，故在题设条件下，只有p=6q+5,此时4p+仁24q+21,是合数.实际上，这题与第 7题完全相同。质数 p 3 质数p 5可用前面的方法简单求解。习题1-31求:(1) (30, 45, 84), : 30, 45, 84;(2) (2

26、1n +4, 14n +3)(其中 n N);解：(1) (30, 45, 84)=( 30 , 15, 24)=( 0 , 15, 9)=3,30, 45, 84 = 90, 84 =6 15, 14 =6 X 15X 14=1260.(2) -2 (21n +4) +(14n +3) =1,故(21n +4 , 14n +3) =11 (2|n)2当 n N 时，求证：(n 1,n 1)2 (2证：n=2k 时，k Z,(n-1,n+1 ) =(2k-1,2k+1)=(-2 ,2k+1)=1; 即 2 | n 时,(n-1,n+1)=1 ; n=2k+1 时，k 乙(n-1,n+1 ) =

27、 (n-1,2 ) = (2k,2)=2.3用辗转相除法求(4 453, 5 767),并写出相应的裴蜀等式。解：竖式：57674 453 1 13144453157874 4531314 3 5113942344531314511 2 29251121314511292 2 735842102229273 47329201234q1322p114922Q0137174 453X 22 +5767 X (- 17)=73,.5767 X 17 4 453 X 22 =731314 5767 4 45373 (1314511 2)2 5111314 25115.,5114 453 1314 3堆

28、/曰或由推得13142(4 4531314 3)5292 1314 511 21314174 4535(57674 453)174 453 573 292 2 5115767174 453224.已知 24|62742ab ,求 a, b.解：6274200=261425 X 24,故只需 24| ab，即 ab =0, 24, 36, 48, 72, 96.又解：24=3 X 8, 3,8 互质，故只需 3 |62742ab,8 |62742ab ,即 3 |(a+b)；又 8 |2ab , 8 |200,故只需8|ab，从而ab必为8的倍数，3,8冋时考虑，故答案是00, 24, 48,

29、72,965.求证:lg2 ,.15是无理数.证0=lg1 lg2 lg10=1 ,lg2不是整数.若lg2是有理数，可令lg2qp(p, q) 1,p,q N , p1),q则 10p 210q 2p2q5q 2p5q2p q, /(2, 5) = 1,(2q, 5p q) = 1,所以2qM 5Pq . |g2不是有理数。综上所述，Ig2是无理数.23 .15 4,显然不是整数.设15-(p,q)1,p,q N ,p 1)，则 15=2 (1).PP(p,q) 1,(P2, q2)=1,(1)式不可能成立。综上所述，15是无理数.6. 已知 a + b=60, (a, b)+ a, b=8

30、4,求 a, b.解：令(a,b)d, adtbdt?,则t1,t21-有a bd(tjt2),(a,b) a,b d(1址2)。d 是 a + b=60, (a, b)+ a, b =84 的公约数，而(60,84)=12, (a, b)=12 , 6, 4, 3, 2, 1 令(a, b)=12，有 t1+ t2=5, t1 t2=6，解得 t1, t2 为 2,3 或 3,2。令(a, b)=6,t1+ t2=10, t1 t2=13,无整数解；令(a, b)=4,t1+ t2=15, t1 t2=20,无整数解；类似知(a, b)= 3 , 2, 1皆无整数解。 a, b为24, 36

31、或36, 24.(若考虑负数还有-12、72),般的，有以下结论:令(a,b) d,a dt, dt?,则1, x, y使xtjyt? 1,x(t1 t2) (y x)t21,(t1 t2 ,t 2)(t1 上2,讯2)1 (dt1dt2,dbt2)d.1同理(t1而dttt2, t1 ) 1.a,b ,即 ab,a, b(a,b).求证：晟寫2a,b,c(a,b)(b,c)(c,a)证：由教材例5, abM_a,bb,cc,a2a,b,c(a,b)2(b,c)2(c,a)2a,bb,cc,aa,b, c 2abbccaa,b,c(a,b)(b,c)(c,a) a,b(a,b)b,c(b,c)

32、 c,a(c,a)(a,b)(b,c)(c,a)8.自然数A =10x+ y (x是非负整数，y是 是(10n+1) | (x ny) n N.利用这一结论(称作割(尾)减法)判断下列各数能否被N的个位数字)，求证:(10n+1) |A的充要条件31,41, 51 整除：26691,1076537, 1361241证明：A=10x+ y= 10 (x ny) +(10n+1) y.必要性：(10n+1) |A, (10n+1)|(10n+1) y 推得(10n+1) |10 (x ny )而(1+10n )与 10 互质,因此有(10n+1) | (x ny)。充分性：由和与积的整除性显然可得

33、。31| 26691 , 41|26691, 511?26691 ;31|1076537, 41|1076537, 51|?1076537;31|1361241 , 41|1361241, 51|1361241.以 51 为例，51|?2669151|? (2669 1X 5);又 51|?266451|? (266 4X 5);显然 51 |?246。51|136124151|(136124 1X 5)，又 51|13611951|(13611 9 X 5)，又51|1356651|(1356 6 X 5)，又 51|132651|(132 6X 5)，而 51|102。9. 写出所有的小于

34、20的三个自然数，使它们的最大公约数是1 但两两均不互质.解：设所求的三个自然数为 a, b , c.由于两两都不互质.所以 a, b, c都是合数.由于a, b, c都小于20,而最小三个质数的乘积 2 X 3 X 5 = 30已大于20,因此a, b, c这三合数 中的每一个只能有两个不同质因数，而相互之间又不能完全相同这样，a= 2 X 3= 6, b = 3X 5 = 15, c= 2X 5 = 10.是满足题意的一组解 由于题目未限定每个数的质因数不能重复，这样a= 2 X 2X 3 = 12或2X 3X 3=18,而b, c仍分别为15, 10 (因为再大就超过20 了).由此所得

35、的两组数：12, 15, 10与18 , 15, 10也是满足题意的解.10. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数， 2号说 这个数能被2整除” 3号说 这个数能被3整除” 依此下去，每位同学都说这个 数能被他的编号整除 .1号做了一一验证，只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对.问：(1)说得不对的两位同学的编号是什么数？ (2)如果1号写的数是 5位数，这个5位数是多少？解：(1)这两个连续的编号的倍数应该大于15,否则编号是它们的倍数的同学说的也不对；而且是这两个连续的编号的质因数的次数应该高于比它小的数，否则编号是它们的质因数的同学中至少也

36、有一个说的也不对。因此它们是8, 9.(2) 60060;因为1号写的数是2到15除8, 9之外的整数的公倍数，也就是3, 4, 5,7, 11, 13的公倍数，找公倍数先找最小公倍数，3, 4, 5, 7, 11, 13两两互质，它们的最小公倍数60060就是5位数。60060的2倍就是6位数，故答案唯一。11. 用某一个数去除701, 1 059, 1 417, 2 312这四个数，所得余数都相同，满足要求的所有 除数中最大的那个数是多少？解：701, 1 059, 1 417, 2 312两两相减，差的最大公约数就是所求的所有除数中最大的那个数。1 059-70仁358,1417 1 0

37、59=358 , 2312 1417=895 ,(895, 358)=(179,358)= 179.故所求为179,且可知所得的相同余数是164.12. 请填出下面购物表格中内的数字：品名数量单价(元)总价(元)课桌72 . 7.7 课椅77 . 3.合计金额(兀) 3口 .55解：72=8 X 9,8,9互质，故总价必为 8, 9的倍数，可推得为707.76元，因而知课桌的单价为9.83元；课椅的总价为 3口 .79元，由77=7X 11推得另两个数字，即课椅总价为 328.79 元，再得课椅单价为4.27元；合计金额为 1036.55元.13. (略)14. 某位同学没有注意写在两个七位数

38、之间的乘号，将其误认为是一个14位数，有趣的是此14位数正好是原来两个七位数乘积的三倍，试求出这三个数。解：设两个七位数分别是a, b,则由题设14位数aX 107+b=3ab，即b=3ab aX 107= a (3b107)，令 k=3b 107, b=ka ( k 15a, 107+ k大于1.5 x 107，这是不可能的。因此只有 k=2，即 107+ 2=6a，二 a=1666667, b=3333334.或解：由ax 107+b=3ab,得a , a与b同为七位整数，二3b 107只能是一位整3b10数，且3b是3的倍数且大于107,故3b为107+2或107+5或107+8等,于是

39、b=3333334或3333335等，但b 3333335时，b 107 5,此时a一7已经是六位数了，故只有 b=3333334。3b107以上两种方法基本相同，只不过前者考虑b为主，后者考虑a为主。附）广西师范大学赵继源主编的 初等数论习题1 3中的部分题目（与以上相同的不列）2求证：an, bn =: a, b: n （a, b, n Z+）.7. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4 12米，黄鼠狼每次跳 2 34米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中， 从起点开始，每隔 12 38米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进 陷阱时，另一个跳了多少米？8. 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个

40、圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长 54厘米，爸爸每步长 72厘米由于两人脚印有重合，所以雪地上只留 下60个脚印，求花圃的周长9. 设 a, b 是自然数，a + b=33, : a, b: =90,求（a, b）.10. 一公路由 A经B至U C,已知 A、B相距280米，B、C相距315米，现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并要求在B点、AB、BC的中点上都要植上一棵树，那么两树间的距离最多有多少米？11. 一袋糖不足 60块，如果把它平均分给几个孩子，则每人恰好分得 6块；如果只分给这几个孩子中的男孩，则每个男孩恰好分得10块这几个孩子中有几个女孩？6倍，再

41、过若干年就分别是12. 爷爷对小明说： 我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的你的5倍、4倍、3倍、2倍.你知道爷爷和小明现在的年龄吗?习题1-3解答2.证：由定理1.14n na ,bnana, ba,bn，二a, bna, ba, bbnna, bna, b ,而由定理1.13,_A_a,bba,b从而由定理1.21推论3,naa,bba,b=1。( an, bn) = (a, b)a, b)(a, b)a, b na, b nn，再由定理 1.19, :a, b: (a, b) n = a n b n, 同样由定理1.19, n = :an, bn (an, bn);=ab,等式两边同时a

42、n, bn (an, bn)a, b n = :an, bnon次方，得=an bn,7. 4500,12375 49500, 2750,1237524750,24750较小，24750 2750 9.黄鼠狼在第9跳掉进陷阱，此时狐狸跳了4.5X 9 = 40.5米.6个，故花圃的周长2160厘米216 216 8. 54 , 72=216，每216厘米有脚印154729. 此题应该先讨论 a + b, a, 口与（a, b）的关系。令(a,b) d,a dtbdt?,1, x,y使xtiyt?1,x(tit?)(yx)t21,(tlt2,t2)1.同理(tit2,ti)1.(tit2,tit

43、2)(ti t2,ti)1(定理 1.21),(dt1 dt2,dt1t2)d (定理 1.14). 即，a,b (a b, a,b ).(33, 90 ) = 3, 所以(a, b ) = 3.10.因为AB、BC的中点上都要植上一棵树，315吃=157.5因此应考虑1400和1575的最大公约数175。最后答案：两树间的距离最多有17.5米.11.2 个.11. 设小明 x 岁,则爷爷 7x 岁,7x +h =6(x+h) , x=5h; 7x +k =5(x+k) , x=2k; 7x +i =4(x+i) , x=i;7x +j =2(x+j) , 5x=j;知小明年龄是2, 5的倍数

44、。因此小明 10岁，爷爷70岁.习题1-41把下列各数分解质因数：2001，26840，111111，999 999 999 999解：200仁 3 X23X29，26840= 5 X11X23W1，111 111= 3 X7 11X13X37.999 999 999 999=111 111 X 9 000 009=33X7 Xi X3 X37X 1 000 001，而1 000 001=101 X 9901，.999 999 999 999=33X7 Xi X13 X37X 101 X 9901。2. 用分解质因数法求：(1) (4712，4978，5890，6327) ; (2) : 47

45、12，4978，5890:.解：4712=4X 1178=23X 589=23 X 19X 31,4978=2X 2489=2 X 19X 1315890=10 X 589=2 X 5X 31,6327=9 X 703=32X 19X 37(1)19，3086360 X 9 X 37=1027757880 .3. 将 85，87，102，111，124，148，154，230，341，354，413，667 分成两组(每组 6 个数)，怎么分才能使每组各数的乘积相等？解：一组为：85，111，124，154，354，667;另一组为：87. 102，148，230，341，413.4. 某校师

46、生为贫困捐款1995元，这个学校共有教职工35人，14个教学班，各班学生人数相同，并且多于30人但又不超过45人，如果师生平均每人捐款的钱数都是整数元，那么平均每人捐款多少元？解：1995=3 X 665=5 X 399=7 X 285=5 X 7X 57=3 X 5 X 7 X 19,每人捐款的钱数只能是1、3、5、15、19、21或57。57不可能，否则教师捐款就够了； 19,15和1元也不行，与学生数显然不符；平均每人捐款5元的话，每班人数为(399-35)=364十14=26,仍少于30;所以平均每人捐 款3元。此时每班人数为(665-35)=630十14=45符合假定人数范围。5.

47、甲、乙两人各射五箭，每射一箭得到环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数。两人五箭所得环数的乘积都是1764,但甲的总环数比乙的少4环求甲、乙两人的总环数各是多少？解：1764=4 X 441=4 X 212=22X 32X 72,由 441-1=440=2 X 220,220=11 X 10X 26. 证明:(1) (a，b，c) = (a，b)，(a，c)a,b,c2a,bb,cc,a2a,b,c(a,b)(b,c)(c,a).此题1-3已证明，在此要求用分解质因数方法证明。(采用教材p成分的说法，可使证明叙述起来简捷一些： 设p为质数，a，r N + ,如果pr | a， 且p

48、r+1 | a，这时称pr为a的p成分，用p(a)表示a的p成分的幕指数，即 p(a) =r.) 证明：设 p(a) =l， p(b) = m， p(c) =n，且不妨设 I mn。(1) p (a，b，c) =min p(a),max p(b), p(c) = min I, m=m，p (a, b), (a, c)= max min p(a), p(b), min p(a), p(c)= max m,n= mr. 由于p是任意质数，所以(a, b , c) = (a , b), (a, c)。(2) p(a,bb,cc,a) pa,b pb,c p c, a l m l 2l m2p a,

49、b, c 2pa,b,ca,b,c221, pm oa,bb,cc,a p(a,b)(b,c)(c, a)p a,b p(b,c) p(c,a) m n n 2n m2p a, b, c 2pa,b,c2a,b,c2n pm o(a, b)(b,c)(c,a)由于p是任意质数，所以题设等式成立。7.自然数555 555的约数中，最大的三位数是多少？解：555 555=5X111 111= 3 5X7X11X13X37.约数最小的三个相乘已经是三位数，那么在C； 6 4 20种取法中，3X5X37=555显然太小，故3,5只能取一个：5X11X133 2=55 刈3=715，再调大如 7X11

50、13=1001 就超出了； 3X 7X 37=777，调大如 3刈1 X 37=1 111, 已经超出，故777即为所求。8若2836, 4582, 5164, 6522四个数被同一个自然数相除，所得余数相同，求除数和余数 各是多少？解：4582-2836=1746=2 X 873=2 X 9X 97,5164-4582=582=2 X 291=2 X 3 X 97,6522-5164=1358=2 X 679=2 X 7 X 97,(1746, 582, 1358) =2 X 97所以，除数为97时，余数为23;除数为194时，余数为120.9. (1)所有正约数之和=15的最小自然数是多少

51、？(2) 所有正约数之积=64的最小自然数是多少？(3) 有没有这样的自然数，其所有正的真约数之积等于它本身？解(1)15=1 X 15=3 X 5，若 15=1 X 15, a 有唯一质因数，即 a= p ,由公式a =15 p1pL p1 ,p(p 1L p1)14 , p只能是2令自然数ia=2k，此时a2k 1 115，得k=3，即a=8;若 a15=3 X 5,即2 p)i j 13 X 5i 1p 13 pi iPi i Lp)i 1Pi(P i1 LPi1)2, Pi,i无解。故 a15=3X5为不可能。因此所求最小自然数就是8.a a64 26,a a212 或 a a6 a4 ,a84a a642 o(2)=2 工 12,(4)=3 丰 6,(64)=7 工 2,(8)=4,因此所求最小自然数就是8.自然数a的所有正约数之积：a a ,由题设有 a a2a，即a 4=22,故分解式或 只含1个质因数p,此时p的指数为3,即a p3,或 为2个质数的乘积，即a P1P2，这样的自然数,其所有正的真约数之积都等于它本身。10.若a, b, c N+,且 a2= bc,（b，c）=1，则b，c均为平方数