高数-下-期末考试试卷及答案

1、2 2x2222x +y22123x 2 y 2()xn名姓号学线2017 学年春季学期高等数学（二）期末考试试卷（a） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间 110 分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方题号 一 二 三 四 总分得分阅卷人 得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的 代号 a、b、c 或 d 填入下表中题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案7设级数 a 为交错级数， a 0 ( n +)，则（ ）.n nn =1(a)该级数收敛 (b)该级数发散(c)该级数可能收敛也可能发散 (d)该级数绝对收敛8.下列四个命题中，正确的命题

2、是（ ）.（a）若级数 a 发散，则级数 a 2 也发散n nn =1 n =1（b）若级数 a 2 发散，则级数 a 也发散n nn =1 n =1（c）若级数 a 2 收敛，则级数 a 也收敛n nn =1 n =1（d）若级数 | a | 收敛，则级数 a 2 也收敛n nn =1 n =1阅卷人 得分二、填空题(7 个小题，每小题 2 分，共 14 分)号序封密1已知 a 与 b 都是非零向量，且满足 (a) a -b =0 (b) a +b =0a -b =a +b (c) a b=0，则必有（ ）.(d) a b =03x -4 y +2 z -6 =0 1.直线 x +3 y -

3、z +a =0与 z 轴相交，则常数 a 为 .号班学教纸卷试学大峡三过超要不题答12.极限 lim( x +y )sin =( ).x 0 x 2 +y 2y 0(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在3下列函数中， df =df 的是( ).（a） f ( x , y ) =xy （b） f ( x, y ) =x +y +c , c 为实数0 0（c） f ( x, y ) = x +y （d） f ( x, y ) =e4函数 f ( x , y ) =xy (3 -x -y ) ，原点 (0,0) 是 f ( x , y ) 的( ).（a）驻点与极值点 （b）驻点，非极值

4、点（c）极值点，非驻点 （d）非驻点，非极值点x +y x +y5 设 平 面 区 域 d : ( x -1) +( y -1) 2 ， 若 i = ds ， i =4 4d dx +yi =3 ds ，则有（ ）.4d（a） i i i i （c） i i i （d） i i i 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 26设椭圆 l ： + =1 的周长为 l ，则 (3 x 2 +4 y 2 )ds =（ ）.4 3 lds，2 设 f ( x, y ) =ln( x +y ), 则 f y(1,0) =_ _.3 函数 f ( x, y ) =x +y 在 (3,4) 处沿增加最快

5、的方向的方向导数为 .4 设 d : x +y 2 x ，二重积分 (x -y )ds = .d5设 f x 是连续函数，w =( x , y , z ) | 0 z 9 -x 2 -y 2 ， f(x 2 +y 2 )dv 在柱面坐标系下w的三次积分为 .6.幂级数 ( -1)n -1 的收敛域是 .n !n =1-1 , -px07.将函数 f ( x ) = 以 2p 为周期延拓后，其傅里叶级数在点 x =p处收敛1+x2 , 0 0 )5利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 蝌 dxdy + dydz + dzdx ，s其中 s为圆锥面 z 2 =x 2 +y 2 介于平面 z =0 及

6、z =1 之间的部分的下侧. 解：号班学教过超要不纸题3利用格林公式，计算曲线积分i =(x2+y2)dx +(x +2xy)dy，其中l是由抛物线y =x2和卷试答x =y2所围成的区域dl的正向边界曲线学大峡yy =x2x =y2三do x2222x +y12239 -rpxn21222z2017 学年春季学期高等数学（二）期末考试试卷(a)（b）若级数n =1a2n发散，则级数n =1an也发散；答案及评分标准（c）若级数a2n收敛，则级数 a 也收敛；nn =1n =1（d）若级数| a |n收敛，则级数a2n也收敛一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）n =1n

7、=1题号答案1 2 3 4 5 6 7 8 d a b b a d c d二、填空题(7 个小题，每小题 2 分，共 14 分)3x -4 y +2 z -6 =01.直线 与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。x +3 y -z +a =01已知 a 与 (a) a -b =0b 都是非零向量，且满足 a -b =a +b ，则必有（d ） ； (b) a +b =0 ； (c) a b=0 ； (d) a b =0 2设yf ( x, y ) =ln( x + ),x则fy(1,0) =_1_2.极限lim( x 2 +y 2 )sin x 0x21+y2=( a )3函数 f ( x,

8、y ) =x +y 在 (3,4) 处沿增加最快的方向的方向导数为 4设 d : x +y 2 x ，二重积分 (x -y )ds = p 2y 0(a) 0； (b) 1； (c) 2； (d)不存在.5设f(x)d是连续函数， w =( x , y , z ) | 0 z 9 -x 2 -y 2 ， f ( x 2 +y 2 )dv 在柱面坐标系下3下列函数中，df =df的是( b )；w（a） f ( x, y ) =xy ； （b） f ( x, y ) =x +y +c , c 为实数0 0（c） f ( x, y) = x +y ； （d） f ( x, y ) =e .4函数

9、f ( x, y ) =xy (3 -x -y ) ，原点 (0,0) 是 f ( x , y ) 的( b ). （a）驻点与极值点； （b）驻点，非极值点；（c）极值点，非驻点； （d）非驻点，非极值点.x +y5 设 平 面 区 域 d ： ( x -1)2 +( y -1)2 2 ， 若 i = ds ，4d；i2=dx +y4ds，的三次积分为 dqdrrf( r2)dz0 0 06.幂级数 ( -1)n -1 的收敛域是 ( -,+) .n!n =1-1 , -px07.函数 f ( x ) = ，以 2p 为周期延拓后，其傅里叶级数在点 x =p处收敛于1+x2 , 0 x pp

10、.2i =3d（a）x +y3 ds3 i i i i 1 23； （c）i i i 2 13； （d）i i 0 )3.交换积分次序，并计算二次积分 dx 0 xp p sin y p y sin y 解： =0 x y 0 0 ysin ydy ；y4 分lp p解： l 的极坐标方程为 r=a cos q， - q2 2则 ds = r2 +( r)2dq=adq，4 分；2 分= sin ydy =2 7 分04设 w 是由曲面 z =xy , y =x , x =1 及 z =0 所围成的空间区域，求i =xy2z3dxdydzp p所以 +y 2 )ds = 2 r2adq= 2

11、a 3 cos 2 qdq=p pl - -2 2a或解： l 的形心 ( x , y ) =( ,0) ， l 的周长 pa ，2pa237 分w解：注意到曲面 z =xy 经过 x 轴、 y 轴，2 分w = ( x , y , z ) : 0 z xy ,0 y x ,0 x 1 4 分故 i =xy2z3dxdydz=dxdyxy2 z 3dz = 7 分0 0 0 364w(x2+y2 )ds = axds= axpa =l l 23利用格林公式，计算曲线积分 i =(x2+y2)dx +(x +2xy)dyl由抛物线 y =x 2 和 x =y 2 所围成的区域 d 的正向边界曲线

12、，其中l是5求幂级数 nx n -1 的和函数 s(x) ，并求级数 n 的和nn =1 n =1解： s(x) =nx n -1 ， s(0) =1 ，n =1由已知的马克劳林展式： 1 =x n,| x |1 ，2 分1 -xn =1解：i =(x2 l=dxdyd1 x0 x 2=3+ydy2)dx +(x +2xy)dy3 分5 分7 分yy =x 2x =y 2do x有 s(x) =(x n)=( 1 -1)1 -xn =1 n = 1 n = 1 s(1 ) =2 n n -1n =1 n =11= ，| x |1 ，5 分 (1-x ) 27 分4 计算 xds，s为平面x +

13、y +z =1 在第一卦限部分.s解： 在 xoy 面上的投影区域为 d : x +y 1( x 0, y 0)xyz z又 : z =1 -x -y, =-1, =-1,故 ds = 3dxdyx y，2 分，4 分四、综合解答题二（5 个小题，每小题 7 分，共 35 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解 设两个直角边的边长分别为 x ， y ，则 x 2 +y 2 =1 ，周长 c =x +y +1 ，需求 c =x +y +1 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的极值问题 2 分设拉格朗日函数 l ( x , y , l) =x +y +1 +l(x 2 +y 2 -1) ，4 分所以 xds=3xdxdy= 3 dx xdy =0 0 6 d1 1或解：由对称性， xds = ( x +y +z ) ds = ds =3 3 . 7 分 36f =1 +2lx =0 ,令 f =1 +2ly =0 ,2 +y 2 =1,2解方程组得 x =y = 为唯一驻点， 6 分25利