高中数学论文

1、33 高中数学论文【摘山重水复疑无路，柳暗花明又一村对一个数量积性质的新认识张广平要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】： 数量积向量角度距离高中数学教材中首次出现“向量和导数”的引入。我认为其目的很明确：为研究函数、空间图形，提供新的 研

2、究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这 又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如 全日制普通高级中学教科书数学第二册（下 b）p 中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1）a e=|a | cos ，（2） a b a b=0 ，（3） | a |2=a a。作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授 课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”配角。但是随着时间的推 移，笔者发现了她的奥妙之处

3、：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中 有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的 “认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。（一）性质的产生与内含已知向量 ab =a 和轴 l， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 a 在 l 上的射影 a ，作点 b 在 l 上的射影 b则a b 叫向量ab在轴 l 上或在e方向上的正射影，简称射影。 可以证明得，a b =| ab | cos =ae（证明略，图如下所示。）此性质的内含理解有四点：结果是一个数量（本身含正负号）；其正负号由向量

4、a与e所成角的范围决定；加上绝对值|a b |=|a e|便是一条线段长度（这里|a b | 、| ab |刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；可以推广为求一条线段在1 11另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学 生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解， 加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚 至张冠李戴。如何突破这一问题？我

5、认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识 链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。11 线线角a (a 0,p2)的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为0,p），即cosa =|cos |=|boba b | a | b |=| a b| | a | b |bo,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，bobboo?ab1oab1ooo?aaoo?(b )1oa acosa=| ob | | ob |=|

6、ob | | b |，此时 ob 可以看作是b与a方向上的单位向量e的数量积b e(其中e =a| a |)，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：cosa =a| b | a | b |（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。12 线面角q (qp0, )2的求法的新认识：sinq=|cos | =| pa n| | pa | n |np（其中n为平面a的一个法向量），此结论重新可以 理 解 为 ：| op | | op |sin q = =| pa | | pa |，此时 op 又可以看作是?o?apa在n上 的投影，即 pa 与 n 方向上的单位向量 e 的

7、数量积 pa e， (其中e=n| n |) ，故 sinq=n| pa | n | pa |（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。1 2| n | n |211221122112211213 二面角的平面角q (q 0,p )的求法的新认识：f| n n | cosq |=|cos n1 , n2 | = （其中 n1与n 2 是两1 2面 的 各 一 个 法 向 量 ） 此 结 论 重 新 可 以 理 解 为 ：en1dn2n1c二面角所在平| c o qs|=n n | n | | n | n | | n |=| n | | n |（这里刚好满足三角函a b数中余弦的定义：邻

8、边比斜边）。三大角的统一理解：cosa=a n | b | | pa | a | | n |、 sin q =| b | | pa |、| cosq |=n n | n | | n | n | | n |=| n | | n |、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或 余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上 的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和 “自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点

9、”建立在学生认知水平的 “最近发展区”，那学习就会水到渠成！（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面 距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离 。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解 决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。21 点面距求法的新认识：d =| po | =| pa | sinq=| pa |

10、n pa | | n | pa |=| n pa | n |（其中n为平面a的一个法向量），此结论重新可以理 解 为 ：d =|pa n| n |， 即pa在n上的投影， 即nppa与n方 向上的单位向量 e 的数量积 pa e(其中e 22 点线距求法的新认识：=n| n |)。?o?a1）新认识之一：如图，若存在有一条与 l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 n ，则点p 到 l 的距离d=|pa n| n |。pa ol2 22 22 2 2112）新认识之二：若不存在有一条与 l 相交的直线时，我们可以先取 l 上的一个向量 n ，再利用 | po |

11、=|pa | -| oa |2来解，即：d =|pa | -| oa |2,而数量可以理解为pa在 l 上的向量n的投影，也即为：| oa |=|pa n| n |。23 异面直线间距离求法的新认识：从这几年的高考考纲说明观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一 点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离 。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也 可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线 l 与直线 l 是两异面直线，求两异面直线的距离。1

12、 2略解：在两直线上分别任取两点 a 、 c 、b 、d ，构cl1造三个向量ac, bd, cd，记与两直线的公垂线共线的向量 为 n ,a则由ac n=0与bd n=0, 得n, 则它们的距离就可以理 解 为 ： cd 在 n 上 的 投 影 的 绝 对 值 ， 即 ：l2d =|cd n| n |。bd三大距离的统一理解:d =|pa n| n |（点面距）、d =|cd n| n |（异面距）、d=|pa n| n |（点线距之一）、d =|pa | -| oa | 且 | oa |=|pa n| n |（点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也

13、即数量积此性质的直接应用。由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的 性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给 “立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（三）性质的应用例 1、（2005 年山东省（理科）高考第 20 题）如图，已知长方体abcd -a b c d , ab =2, aa =1,1 1 1 1 1ad1直线 bd 与平面 aa b b 所成的角为 301 1e ， f 为 a b 的中点.1 1（i）求异面直线 ae 与 bf 所成的角；，ae垂直bd

14、于bfac1edbc 2 2 32( )（ii）求平面 bdf 与平面 aa b 所成的二面角；1（iii）求点 a 到平面 bdf 的距离.解：在长方体abcd -a b c d1 1 1 1中，以ab所在的直线为x轴，以ad所在的直线为y轴，aa1所在的直线为z轴建立如图示空间直角坐标系；z由 已 知a b=2 , a =a 1可, 得1a( 0 , 0 ,b0 ) ,( ，2a1d1f (1,0,1) ， 又 ad 平 面 aa b b ， 从 而 bd 与 平 面1 1b1fac1dyaa b b1 1所成 的 角 为dba =30， 又 ab =2 ， ae bd ，eae =1,

15、ad =2 33，从而易得xbc1 3 2 3 e , ,0 ,d 0, ,0 （i） 因为 ae =1 3,2 2,0 ,bf =(-1,0,1) 所以cos =ae bf| bf |1-= =-224，易知异面直线 ae、bf 所成的角为 arccos24（ii）易知平面 aa b 的一个法向量 m =(0,1,0) ，1设n =( x , y , z )是平面b d的一个法向量 ，bd =( -2,2 33,0)由n bfn bd n bf =0 n bd =0-x+z=0 2 32 x - 3x=z 即 y =0 3x =yn = 1, 3,1所以cos=mn| n |=155即平面

16、bdf 与平面 aa b 所成的二面角的大小（锐角）为1arccos155（ iii ） 点a 到 平 面 bdf 的 距 离 ， 即 ab 在 平 面 bdf 的 法 向 量 n 上 的 投 影 的 绝 对 值 ， 所 以 距 离d =| ab n| n |=ab nn=2 55所以点 a 到平面 bdf 的距离为2 55例 2、（2005 年重庆（理科）高考第 20 题）如图，在三棱柱 abca b c 中，ab侧面 bb c c，e 为棱1 1 1 1 1cc 上异于 c、c 1 11111,-a, 2) (- ,2 -a ,0) = +a ( a -2) =a -2 a + ,11 1

17、11 1ea b a =1 1的一点，eaeb ，已知 ab= 2 ，bb =2，bc=1 ，bcc =1 1 1（）异面直线 ab 与 eb 的距离；1（）二面角 aeb a 的平面角的正切值 .1 1p3，求：解：（ i）以 b 为原点，bb 、 ba 分别为 y 、z 轴建立空间直角坐标系 . 由于 bc=1 ，bb =2 ，ab= 12，bcc =1p3，在三棱柱 abca b c 中有1 1 1b（0 ，0，0），a（0，0， 2 ），b （0，2，0），a （0，2 ， 2 ）1 1c (3 1 3 3 3,- ,0), c ( , ,0) ，设 e ( , a,0), 2 2 2

18、 2 2由ea eb , 得 ea eb =0, 即0 =( -3 3 3 2 3 2 2 4 41 3 1 3 3 1 得 (a - )( a - ) =0, 即a = 或a = ( 舍去), 故e ( , ,0)2 2 2 2 2 2；所以 ba =(0,0, 2), a e =(3 3,- , - 2) 设n =( x, y , z )所在的直线与ab与b e都垂直 2 2，nba =0 则 na e =0得，n =( 3,1,0)（令 y=1），故d =| ab n| n |=1（ ii ）由已知有ea eb , b a eb , 1 1 1 1故二面角 a eb a 的两个半平面的法向量为1 1b a 与ea1 1。因b a =ba =(0,0, 2), ea =( -3 1,- , 2),2 2故 cos q =b1 a