解析几何直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略

1、11121212124 44 41 21 2直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略 本文通过几个经典的例题说明线与圆锥曲线综合题的合理消参策略.例题 1已知椭圆 c :x 24+y2=1，过 a(0,1)且斜率为 k的直线交椭圆 c 于 a、b， m 在椭1圆上，且满足 om = oa +232ob.求 k的值.解法 1:直接求解法，适合于消参后的一元二次方程的根比较好解的情况，注意利用乘法公式化简过 a(0,1)且斜率为 k 的直线为 y =kx +1，代入椭圆方程中，消去 y 并整理得:(1+4k 2 ) x 2 +8k =0，解得 x =0 1， x =-28k1 +4k2，注意到 a(0,

2、1)，可得 b( -8k 8k 2, - +1) 1 +4k 2 1 +4k 28k 1 -4k ，即 b(- ,1 +4k 2 1 +4k22).1 3 8k 1 -4k设 m ( x, y )，则 ( x, y)= (0,1)+ ( - ,2 2 1 +4k 2 1 +4k22)， x =-4 3k 1 +4k 2， y =1 + 3 +4(1 - 3) k 2(1 +4 k 2 )2，又x 24+y2=1，1 4 3k 1 + 3 +4(1- 3) k ( - ) 2 +(4 1 +4k 2 2(1+4k 2 )2) 2 =1，去分母得:48k 2 +1+ 3 +4(1- 3) k 2

3、2 =4(1+4k 2 )2，展开整理得: k4=1 1 ， k = .16 2解法 2: 利用一元二次的方程的根与系数关系，注意利用整体代入.过 a(0,1)且斜率为 k(1+4k 2 ) x 2 +8k =0的直线为 y =kx +1 ，代入椭圆方程中，消去 y并整理得:设 a( x , y ),b( x , y ),m ( x, y ) 1 1 2 21，则 ( x, y ) = ( x , y )+ 232( x , y )， 2 2 x =1 3 1 3 x + x ， y = y + y2 2 2 2x 2 ，又 +y42=1，1 1( x +4 23 1 3x ) 2 +( y

4、+ y ) 2 =1 2 2 2，整理得:1 1( x 2 +y 2 1 13 1) + ( x 2 +y 22 2) +3 3x x + y y =1 8 2，11 12 21 21 2 4 2 2 24 44 2 4123注意到1 1x2 +y 2 = x 2 +y 2 =1 4 4，于是上式化为3 3x x + y y =0 8 2，即 x x +4 y y =01 2 1 2.又 x x =01 2， x +x =-1 28k1 +4k2， y y =( kx +1)(kx +1) =k 2 x x +k ( x +x ) +1 =k ( x +x ) +11 2 1 2 1 2 1

5、2 1 2， k ( -8k1 +4k2) +1 =0， k2=141 ， k = .2解法 3:转化结论，间接求解，就是求出直线上两个点的坐标即可，一般不用此法，但对于本题， 却是非常简单，就是充分利用题目的特殊性.设 b( x, y )1，又 a(0,1)，于是 om = oa +232ob1 3，即 om = (0,1)+ ( x, y ) 2 2， m (3 1 3 3 1 3 x 2 x, + y)，又 b( x, y) ， m ( x, + y)在椭圆 c : +y2 2 2 2 2 2 42=1上，于是 x 2 x 2 3 3 3+y 2 =1, + y2 = (1), 4 4

6、4 4 4 即 1 3 1 3 1 3 3 3 3( x) 2 +( + y)2 =1, x2 + y 2 + y = (2), (1)-(2)消去 x 2、y 2得:y =0， x =2.即 b( 2,0 )，又 a(0,1)， k =12例题 2 双曲线 c 与椭圆x 2 y 2+ =1 有相同的焦点，直线 y = 3x 为 c 的一条渐近线. 8 4(1) 求双曲线 c 的方程.(2) 过点 p(0,4) 的直线 l交双曲线 c 于 a 、 b 两点，交 x 轴于 q 点（ q 点与 c 的顶点不重合）.8当 pq =lqa =lqb ，且 l +l =- 时，求 q 点的坐标.1 2x

7、 2 y 2解:(1)设双曲线方程为 - =1 ( a 0, b 0 ).a 2 b 2由题意: a2+b2b=8 -4 =4 ， = 3 ， a =1 ， b = 3 .a双曲线 c 的方程为 x2y 2- =1.321111 1112(2) 解法一：构造关于参数的一元二次方程由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不为零.4设直线 l 的方程为: y =kx +4 ，则可求 q( - ,0) .k设 a( x y ) 1, 1， b ( x y ) 2, 2，4 4 pq =lqa ， pq =( - , -4) ， qa =( x + , y ) ，k k4 4 - =l(x + ),k k

8、 -4 =ly .1 14 1x =- ( +1),k l14y =- l1 a( x y ) 1, 1)在双曲线 c : x 2 -y 23=1 上，16 1 16( +1)2 - =1 ， k 2 l 3l21 1 (16 -k 2 ) l2 +32l +16 -1 1163k 2 =0 .同理有: (16 -k2)l2216+32l +16 - k32=0若16 -k2=0 ，则 k =4， l过顶点，不合题意， 16 -k20 ， l1， l2是一元二次方程 (16 -k 2 ) x 2 +32 x +16 -163k 2 =0 的两个根，l +l =1 232 8=- ， k 2 =

9、4 ，验知 d0 ， k =2， k -16 32 所求 q 点的坐标是 ( 2,0) .仔细分析上面的解法，我们发现本题中涉及 7 个未知数，它们是:x , y , x , y , 1 1 2 2l,1l, k .2上面的解法先把 x , y ,1 1l1, k 作为一组，构建关于l1的一元二次方程，再把 x , y ,2 2l2, k 作为一组，构建关于 l2的一元二次方程，由于这两个运算过程完全相同， 两个一元二次方程也完全相同，因此 l，l 是同一个一元二次方程的两个根，然后就可以利用一元二次方程的根与系1 2数的关系了.解法二：利用根与系数的关系31 21231 2把 y =kx +

10、4 代入双曲线 c 的方程为 x 2 -y 23=1并整理得：(3 -k2) x2-8kx -19 =0 ，当 3 -k 2 =0 时，直线与双曲线 c 只有一个交点，不合题意，故 3 -k 2 0 x +x = 1 28k 19， xx = . 3 -k 2 k 2 -34 1 4 1 4 l +l由已知 x +x =- ( +1) - ( +1) =- ( 1 2 +2) ， (1)k l k l k ll1 2 1 2x x =1 216 1 1 16 1 l +l( +1)( +1) = ( + 1 2 +1) k 2 l l k 2 ll ll1 2 1 2 1 2， (2)8 又

11、l +l =- ，1 2故由(1)得: ll=-1 29 4( k 2 -3)，由(2)得:ll=-1 29( k 2 +16) 80( k 2 -3)，-4( k929( k 2=-3) 80( k+16)2 -3)，解得： k 2 =4 ，验知 d0 ， k =2，所求 q 点的坐标是( 2，0)解法三：利用根与系数的关系，但是考虑结论中涉及到的 l +l1法二可以演变为下面的解法：-4 -4 1 1+ =-4( + )l +l =1 2kx +4 kx +4 kx +4 kx +41 2 1 2k ( x +x ) +8 k ( x +x ) +8，=-4 1 2 =-4 1 2( kx

12、 +4)( kx +4) k 2 x x +4 k ( x +x ) +161 2 1 2 1 28k 19然后把 x +x =， x x = ，1 23 -k 2 k 2 -32怎样用 k 表示，解代入上式化简得:l +l =1 23k96 8=- ，解得： k 2 =4 ，验知 d0 ， k =2， 2 -48 3所求 q 点的坐标是( 2，0)41 22例 题已知 椭圆 c :x 2 y 2+ =1(a b 0) 的短 轴长为 2 3 ，右焦 点 f 与抛物线 a 2 b 2y2=4 x 的焦点重合， o 为坐标原点（）求椭圆 c 的方程；3 1（）设 a 、 b 是椭圆 c 上的不同两

13、点，点 d ( -4,0) ，且满足 da =ldb ，若l , ，求8 2直线 ab 的斜率 k 的取值范围解法 da =ldb ， d 、 a 、 b 三点共线，而 d(-4,0) ，且直线 ab 的斜率一定存在，所以设 ab 的方程为 y =k ( x +4) ，x 2 y 2与椭圆的方程 + =1 联立得 (3 +4 k4 32) y2-24ky +36 k2=0 ，由 d=144(1 -4 k2) 01 ，得 k 2 4设 a( x y ) 1, 1， b ( x y ) 2, 2， 24 ky +y = 3 +4 k 36 k 2yy =1 2 3 +4 k 2212又由 da =

14、ldb 得， y =l1y2 ，把代入得， 24k(1 +l)y = , 3 +4 k 2 36 k 2 ly2 = , 2 3 +4 k 2消去 y 得：216 1= +l+2，3 +4 k 2 l3 1 1当 l , 时， h(l) = +l+2是减函数， 8 2 l9 121 9 16 121 h( l) ， ，2 24 2 3 +4 k 2 24解得21 5 1 21 5 k 2 ，又 k 2 ，所以 k 2 484 36 4 484 36， k 的取值范围是 -5 21 21 5 , - , .6 22 22 6解法 设 a( x y )1, 1， b ( x y ) 2, 2，则3

15、x 2 +4 y 2 1 13x2 +4 y 2 2 2=12=1212又 da =ldb ， d ( -4,0) ，则x +4 =l(x +4) 1 2y =ly 1 2由得 得x =lx +4l-4, 1 2y =ly ,1 25min代入 得 3(lx +42l-4)2+4(ly )22=12 ，由 得 3l2x 22+4l2y22=12l2，联立消去 y 得：23(lx +42l-4) 2 -3l2x 2 =12 -122l2，这实际上是关于 x 的一元一次方程，解得： x =2 2-5l+3 2l，而 k =y2x +42， k 2 =(y 4 y 2 2 ) 2 = 2x +4 4( x +4) 2 22=12 -3 x 2 24( x +4)22，把 x =2-5l+3 2