平面向量的数量积与应用举例专题训练

1、平面向量的数量积与应用举例专题训练a 组 基础题组1.已知向量 a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4), 且(2a-5b)c,则实数 m=( )a.- b.- c. d.2. 已知向量 a=(1,0),|b|= ,a 与 b 的夹角为 45,若 c=a+b,d=a-b,则 c 在 d 方向上的投影为 ( a. b.- c.1 d.-13. 向量 a,b 满足|a+b|=2 |a|,且(a-b)a=0,则 a,b 的夹角的余弦值为( )a.0 b. c. d.4.如图,已知平面四边形 abcd,abbc,ab=bc=ad=2,cd=3,ac 与 bd 交于点 o.记i = ,i = ,i

2、 = ,则( )1 2 3)a.i i i1 2 3b.i i i1 3 2c.i i i3 1 2d.i i 0),向量组 x ,x ,x 由一个 m 和两个 n 排列而成,向量组1 2 3y ,y ,y 由两个 m 和一个 n 排列而成,若 x y +x y +x y 的所有可能值中的最小值为 4|m|2,则 1 2 3 1 1 2 2 3 3= .3.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1).(1)求以线段 ab,ac 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数 t 满足(-t) =0,求 t 的值.24.在如图所示的平面直角坐标系中,

3、已知点 a(1,0)和点 b(-1,0),| 点.|=1,且aoc=,其中 o 为坐标原(1)若= ,设点 d 为线段 oa 上的动点,求|+ |的最小值;(2)若 ,向量 m=,n=(1-cos ,sin -2cos ),求 mn 的最小值及对应的的值.322 21.d答案精解精析a 组 基础题组因为 2a-5b=2(2,1)-5(1,m)=(-1,2-5m), 又(2a-5b)c,所以(2a-5b)c=0,即(-1,2-5m) (2,4)=-2+4(2-5m)=0,解得 m= ,故选 d.2.d依题意得|a|=1,ab=1 cos 45=1,|d|=-=- =1,cd=a2-b2=-1,因

4、此c 在 d 方向上的投影等于=-1,故选 d.3.b (a-b)a=0 a =ba,|a+b|=2 |a| a +b +2ab=12a2 b2=9a2,所以 cos= 故选 b.= = . 4.c因为 ab=bc,abbc,bco=45.过 b 作 beac 于 e,则ebc=45.因为 ad45,又bco=45, boc 为锐角.从而aob 为钝角,所以doc 为钝角.故 i 0,i 0.1 3 2又 oaoc,ob1), =- 12( 1),2从而 i =3 = 1 2 = i , 1 2 1又 1,i 0,i i 0,i i i .故选 c. 1 2 1 3 1 3 1 25.a (|

5、=|- )( + -2 )=0,即 ( |,abc 是等腰三角形,故选 a.+ )=0, - = ,( - )( +)=0,即6. 答案 解析 已知 a=(1,2),b=(3,4),若 a+kb 与 a-kb 垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即 a2-k2b2=0,即 5-25k2=0,即 k2= ,所以 k= . 7. 答案 -解析 由已知得|= ,|= ,则( - )=( + )= + = cos + =- .8. 答案 24- -解析 因为=,所以点 d 为 bc 的中点,所以= ( +)=2m-2n,又因为|m|= ,|n|=2,平面向量 m,n 的夹角为 ,所以|=2|m-n|

6、=2-=2-=2.9. 解析 (1)由题意得 a+b=(3,-1+x). 由 a(a+b),可得 6+1-x=0,解得 x=7,即 b=(1,7),所以|b|= =5 .(2)a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),故 x=-3,所以 b=(1,-3),所以 cos= = ,因为0,所以 a 与 b 的夹角是 .10. 解析 (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab,所以- cos x=3sin x.若 cos x=0,则 sin x=0,与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cos x0.于是 tan x=- .又 x0,所以 x= .(2)f(x)=a b=

7、(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos .因为 x0,所以 x+ ,从而-1cos .于是,当 x+ = ,即 x=0 时, f(x)取到最大值 3;当 x+ =,即 x= 时, f(x)取到最小值-2 .b 组 提升题组1.b a、b 均为单位向量,且 ab=0, 设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得-+-=5,即(x,y)到 a(4,0)和 b(0,3)的距离和为 5,令 c的起点为坐标原点 o,则 c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段(如图),522 2 222 2又|c+a|=表

8、示 m(-1,0)到线段 ab 上点的距离,最小值是点(-1,0)到直线 3x+4y-12=0 的距离,|c+a| =min又最大值为|ma|=5,|c+a|的取值范围是3,5.故选 b.- -=3.2. 答案解析 由题意知,x y +x y +x y 的运算结果有以下两种可能:1 1 2 2 3 3|m|2+mn+|n|2=|m|2+|m|m|cos +2|m|2= |m|2;mn+mn+mn=3|m|m|cos = |m|2,又 + +1- = -+1= - + 0,所以 |m| =4|m| ,即 =4,解得= .3. 解析 (1)由题设知=(3,5), =(-1,1),则 + =(2,6), -=(4,4).所以|+ |=2 ,| -|=4 .故两条对角线的长分别为 2 ,4 .(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t) =0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以 5t=-11,所以 t=- .4. 解析 (1)设 d(t,0)(0t1),由题易知 c -,所以 + = - ,所以|+ | = - t+t + =t - t+1= -+ (0t1),所以当 t= 时,|+ |2最小,最小值为 .(2)由题意得 c(cos