奇点-常微分方程

1、.6.3奇点本节考虑平面自治系统x =p ( x, y ) y =q ( x, y ) (6.18)以下总假定函数p ( x, y), q ( x, y )在区域d : x h , y h,( h +)上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件. 6.3.1 相平面、相轨线与相图我们把xoy平面称为 (6.18)的相平面 , 而把(6.18)的解x =x (t ), y = y(t )在xoy平面上的轨迹称为(6.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.18)的相图.易于看出 ,解x =x (t ), y = y(t )在相平面上的轨线 ,正是这个解在(t , x , y )三维

2、空间中的积分曲线在相平面上的投影 .我们以后会看到 , 用轨线来研究 (6.18)的通解常要比用积分曲线方便得 多.下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.例 1dx=-ydtdy =x dt很明显,方程组有特解x =cos t , y =sin t.它在(t , x , y )三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图 5-3(a),它经过点(0,1,0). 当t增加时,螺旋线向上方盘旋.上述解在xoy平面上的轨线是圆x 2 +y 2 =1,它恰为上述积分曲线在xoy平面上的投影 . 当t增加时,轨线的方向如图 5-3(b)所示.另外,易知对于任意常数a,函数x =cos(t +a)

3、, y =sin(t +a)也是方程组的解.他的积分曲线是经过点(-a,1,0)的螺旋线.但是,它们与解x =cos t , y =sin t有同一条轨线x2 +y 2=1.(a) (b)图 5-3同时 , 我们可以看出 ,x =cos(t +a), y =sin(t +a)的积分曲线可以由x =cos t , y =sin t的积分曲线沿 t 轴向下平移距离 a 而得到 .由于 a 的任意性 ,可知轨线x2 +y 2=1对应着无穷多条积分曲线.为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解x =a cos(t +a) y =a sin(t +a)其中 a , a为任意常数.于是, 方程组

4、的轨线就是圆族(图 5-3(b).特别,x =0, y =0是方程的解,它的轨线是原点o(0,0).6.3.2 平面自治系统的三个基本性质性质 1 积分曲线的平移不变性设x =x (t ), y = y(t )是自治系统(6.18)的一个解,则对于任意常数t ,函数x =x (t +t), y = y(t +t)也是(6.18)的解.事实上,我们有恒等式dx (t +t) dx (t +t) p ( x (t +t dt d (t +t), y (t +t)dy (t +t) dy (t +t) q ( x (t +t dt d (t +t), y (t +t)由这个事实可以推出 :将(6.1

5、8)的积分曲线沿t轴作任意平移后 ,仍然是(6.18)的积分曲线 .从而它们所对应的轨线也相同.于是,自治系统(6.18)的一条轨线对应着无穷多个解. 性质 2 轨线的唯一性如果p ( x, y ), q ( x , y )满足初值解的存在与唯一性定理条件 ,则过相平面上的区域d的任一点p =( x , y ) 0 0 0,(6.18)存在一条且唯一一条轨线.事实上,假设在相平面的 p 点附近有两条不同的轨线段 l 和 l 都通过 p 点.则在0 1 2 0(t , x , y )空间中至少存在两条不同的积分曲线段 g 和 g (它们有可能属于同一条积分曲线 ),使得它们在相1 2空间中的投影

6、分别是l1和l2(见图 5-4,这是不妨设t 0 ,使得对一切 t 有x(t +t ) =x(t ), y (t +t ) =y (t )则称x =x (t ), y = y(t )为(6.18)的一个周期解,t 为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线,称为闭轨.由以上讨论和 (6.18)轨线的唯一性 ,我们有如下结论 : 自治系统 (6.18)的一条轨线只可能是 下列三种类型之一:(1) 奇点, (2) 闭轨, (3) 自不相交的非闭轨线.平面定性理论的研究目标就是 :在不求解的情况下 ,仅从 (6.18)右端函数的性质出发 ,在相平面上描绘出其轨线的分布图 ,称为相图.如何完成这

7、一任务呢 ?现在我们从运动的观点给出 (6.18) 的另一种几何解释:如果把 (6.18) 看成描述平面上一个运动质点的运动方程 , 那么 (6.18) 在相平面上每一点( x , y )确定了一个速度向量v ( x, y ) =( p ( x, y ), q ( x , y )(6.20)因而 ,(6.18)在相平面上定义了一个 速度场 或称 向量场. 而(6.18)的轨线就是相平面上一条与向量场 (6.20)相吻合的光滑曲线 . 这样积分曲线与轨线的显著区别是 : 积分曲线可以不考虑方向 ,而轨线是一条有向曲线,通常用箭头在轨线上标明对应于时间t增大时的运动方向.进一步,在方程(6.18)中消去t,得到方程dy q ( x , y )=dx p ( x , y )(6.21)由(6.21)易见 ,经过相平面上每一个常点只有唯一轨线 , 而且可以证明 : 常点附近的轨线拓扑等 价于平行直线.这样,只有在奇点处,向量场的方向不确定.因此 ,在平面定性理论中 ,通常从奇点入手 , 弄清楚奇点