控制系统与拉氏转换的关系重点

1、控制系統與拉式轉換的關係控制系統與拉氏轉換的關係蕭人齊生機大三乙 0914392摘要一般我們可以將工程問題以微分方程來表示之，但是一般的線性微分方程的求解 都是非常的困難，以致無法直接求解，故而發展出許多中簡化其計算的方法，而拉氏轉 換就是其中一種重要的技巧，而以下就介紹一些拉氏轉換在 s領域(s-domain)內求解 微分方程式的基本方法。關鍵詞：微分方程,拉氏轉換,時間領域(Time domain)一、前言所謂的拉氏轉換就是將某係統或某方程式由時間領域 (Time domai n)變換為頻率 領域(Frequency domain)。前者是輸出量的時間關係分析而後者是有關 s=o+j 3面

2、的分 析,總而言之是解答或分析此系統的一種演算方法。二、材料與方法控制常用函數的拉氏轉換(1)步階函數(step Function):旗定義為在時間t=0時,函數值為定值 k,可用以表示訊號的瞬間變化，其數學式為：0=O其拉氏轉換為f(s)=f(t)=j f(t)estdt= J裁汐 dt斜坡函數(Ramp Function),其定義在時間t=0時，函數值與 時間t成正比，其數學式為其拉氏轉換為f()=f(t)=fZ f(t)estdt=ke-dt= Kt-!7 F 譬 dtf：esTdt利用分部積分法=刍其中賤(诚指數函數(Exponential Function):其定義在時間t=0時，函

3、 數值則為時間之指數函數，其數學式為0户0keat t=00ft0kw爲常數其拉氏轉換為：论)二于=直于評f二ke-dt 匕心k -广 #-(s-a)f -ks-a上式中s-a之時部必須大於0即Re(s)-Re(a)0 弦波函數(sinusoidal Function)其數學定義為要求弦波函數的拉氏轉換，首先必須先了解尤拉公式丄阿 =cosvjt+jsinujt彳 e 沖=cosvj t-jsin(ju t故由上式可得$inujt=l/2j(童汕-e 初)cosoJt=l/2(凸和-)因此f(t)的拉氏轉換為2004-/10/02蕭人齊5同理可證宀)2J s十wajw-k 2ju)2j Q 心

4、。t)6幽s尸卯丿exp(At)sint7(S+A)/(S*尸严)exp(-At)costa1/5t9nl/5严101/(8A) 2texp(-at)111/(SA) nl/(nl)!exp(-At)12exp(-s T)F(s)f(t-T)拉氏常用變換表威人線再已經有許多方便的軟體可供我們方便且容易的計算許多的工程問題，但拉氏轉換以及其他如傅立葉轉換或 Z轉換都是解決這一些工程問題的基礎數學能力, 我們都應該有所了解，更能幫助理解這些問題，而上方列表為一般在使用拉氏轉換時常 用的變換式，可以幫助我們在計算拉式轉換問題時更能得心應手。參考文獻1. 鍾明吉、陳維方、劉永欽民84.自動控制SBN:957-8564-62-7台灣復文興業股份 有限公司.條碼號:G 0001592索書號:446.014 8064 842. 馬雲龍.民66.自動控制.全華科技圖書公司.條碼號047368.索書號：446.014.7110 663. 控制理論數學基礎http:/csli .tw/eduteach/oliver/