《第2章+点、直线、平面之间的位置关系》单元测验2

1、第2章+点、直线、平面之间的位置关系2010年单元测验2一、选择题1、如图BC是RtABC的斜边，过A作ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作ADBC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（）A、4个B、6个C、7个D、8个2、直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（）A、没有B、有一条C、有无数条D、a内所有直线3、已知直线a、b和平面M、N，且aM，那么（）A、bMbaB、babMC、NMaND、aNMN二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）4、边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PAa，PA=a，则P到CD的距离为_，P到BC的距离为_5、AC是平面a

2、的斜线，且AO=a，AO与a成60角，OCa，AAa于A，AOC=45，则A到直线OC的距离是_，AOC的余弦值是_6、在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为_三、解答题7、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D8、正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD9、如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；（2

3、）AC平面MNP，BD平面MNP10、四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且，BDC=90，求证：BD平面ACD11、如图，PABC所在平面外一点，PA=PB，CB平面PAB，M是PC中点，N是AB上的点，AN=3NB，（1）求证：MNAB；（2）当PAB=90，BC=2，AB=4时，求MN的长12、如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形13、如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（）求证：MN平面PAD

4、；（）求证：MNCD14、如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，ASC=ASB=45，BSC=60，SAB=90，求证：ABSC答案与评分标准一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1、如图BC是RtABC的斜边，过A作ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作ADBC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（）A、4个B、6个C、7个D、8个考点：三垂线定理；棱锥的结构特征。分析：利用AP面ABC，RtABC，AD是PD在面ABC内的射影，故由ADBC可得PDBC解答：解：BC是RtABC的斜边，A作ABC所在平面a垂线AP，ADBC于D，图中直角三角形有：A

5、BC，PAB，PAD，PAC，ADB，ADC，PDB，PDC 共8个，故选D点评：本题考查三垂线定理的应用，以及棱锥的结构特征，体现数形结合的数学思想2、直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（）A、没有B、有一条C、有无数条D、a内所有直线考点：空间中直线与平面之间的位置关系。专题：数形结合。分析：画出图形，结合图形举例说明即可解答：解：如图过点B作BC，则AB在平面内的射影是AC然后过点A作AC的垂线，而在平面内与AC平行的直线有若干条，如图中的直线c故选：C点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，结合数形结合的数学思想，属于基础题之列3、已知直线a、b和平面M、N

6、，且aM，那么（）A、bMbaB、babMC、NMaND、aNMN考点：直线与平面垂直的性质。专题：证明题。分析：本题要求学生要熟练运用直线与平面垂直的性质，数形结合，考虑多种情况解答：解：对于A，如图A所示：过直线b作平面N与平面M相交于直线l，由直线与平面平行的性质定理可知：bl，又因为aM，lM，所以al，所以ba，则A正确；选项B、C均少考虑了直线在面内的情况，分别如图B、C所示，均错误；对于D、用排除法，如图D所示，MN，D错误；故选A点评：这种题型属于易错题，其实难度不大，经常考虑不到的情况就是平行里面要注意排除的“直线在面内”的情况，学生可充分利用数形结合去解答二、填空题（共3小

7、题，每小题5分，满分15分）4、边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PAa，PA=a，则P到CD的距离为2a，P到BC的距离为a考点：点、线、面间的距离计算。专题：计算题。分析：先证明PC垂直于CD，然后在直角三角形PAC中利用勾股定理求出PC即可；同理先证明PQ垂直于BC，然后在直角三角形PAQ中利用勾股定理求出PQ即可求出所求解答：解：连接AC，CDACPA平面a，CD平面aPACD，而PAAC=ACD平面PAC，则PCCD在直角三角形PAC中，AC=，PA=a，根据勾股定理可知PC=2a即P到CD的距离为2a；过点A作BC的垂线交BC的延长线于点Q，连接PQ在直角三角形PAQ中，A

8、Q=，PA=a根据勾股定理可知PQ=P到BC的距离为故答案为：2a，点评：本题主要考查了空间点到直线的距离，以及线面垂直的判定和性质，同时考查了空间想象能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题5、AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60角，OCa，AAa于A，AOC=45，则A到直线OC的距离是a，AOC的余弦值是考点：点、线、面间的距离计算；三垂线定理。专题：计算题。分析：如图可知cosAOA=cosAOC=cosAOC，进而求得cosAOC，利用直角三角形AOC求得A到直线OC的距离，求得答案解答：解：cosAOAcosAOC=cosAOC，=cosAOCcosAOC=sinAO

9、C=，AC=AOsinAOC=a=a故答案为：a；点评：本题主要考查了点到直线的距离计算在立体几何中，求点到直线的距离是一个常见的题型，属于基础题6、在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为平行四边形考点：空间中直线与直线之间的位置关系。分析：要证明四边形EBFD1的形状为平行四边形，只需证明两条对边D1E与BF，BE与FD1分别平行即可解答：解：因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1DD1与平面BB1C1CP平行，而经过对角线BD1的平面分别与这两个相交于D1E与BF，根据面面平行的性质定理，故

10、D1EBF，同理可证BEFD1，所以四边形EBFD1的形状为平行四边形，故答案为平行四边形点评：本题考查平行四边形的判定定理，由本题给出的条件，用平行四边形的定义解决；在空间中，在同一个平面内，平面几何的定理，性质仍然成立三、解答题（共8小题，满分0分）7、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D考点：直线与平面垂直的判定。专题：证明题。分析：建立如图的坐标系，令正方体的棱长为1，给出相应点的坐标，利用向量法证明线面垂直，解答：解：如图，以DA所在直线为横轴，以DC所在直线为Y轴，以DD所在直线为Z轴，建立坐标系，不妨令正方体的棱长为1则A1（1，0，1），C（0，1，0）

11、，D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1）故=（1，1，1），=（1，1，0），=（0，1，1）=0，=0A1CBD，A1CC1D又BDC1D=D，A1C平面BC1D点评：本题考查线面垂直的证明，由于其所在的背景是正方体，方便建立空间坐标系，所以本题采用向量法证明线面垂直，向量法是解决此类问题的一个比较优秀的方法8、正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD考点：平面与平面平行的判定。专题：计算题；证明题。分析：（1）有B1BDD1B1D1BD平面A1BD平面B1CD（2）由AE

12、B1GB1EAG，再由AGDFB1EDF，B1EDFDF平面EB1D1解答：证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBD=D，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD点评：要证“面面平行”只要证“线面平行”，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行9、如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABC

13、D的边AB、BC、CD、DA的中点求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；（2）AC平面MNP，BD平面MNP考点：直线与平面平行的判定；平面的基本性质及推论。专题：证明题；综合题。分析：（1）M、N、P、Q是相应边的中点，由中位线定理易得MNAC，MN=ACPQCA，PQ=CA，从而知MNPQ是平行四边形，对角线互相平分；（2）由（1）知ACMN由线面平行的判定定理易证AC平面MNP，同理BDNP，由线面平行的判定定理易证BD平面MNP解答：解：证明：（1）M、N是AB、BC的中点，MNAC，MN=ACP、Q是CD、DA的中点，PQCA，PQ=CAMNQP，MN=QP，MNPQ是平行四边形

14、MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分（2）由（1），ACMN记平面MNP（即平面MNPQ）为显然AC否则，若AC，由A，M，得B；由A，Q，得D，则A、B、C、D，与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾又MN，AC，又AC，AC，即AC平面MNP又BDNP，BD平面MNP，NP平面MNPBD平面MNP点评：本题主要考查平行四边形中的平行关系和线面平行的判定宝理，同时培养学生空间和平面的转化化归能力10、四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且，BDC=90，求证：BD平面ACD考点：直线与平面垂直的判定。专题：证明题。分析：欲证BD平面ACD，根据直线与平面垂直的判定定

15、理可知只需证BD与平面ACD内两相交直线垂直，取CD的中点G，连接EG，FG，根据勾股定理可证得EGFG，又BDCD，ACCD=C，结论得证解答：证明：取CD的中点G，连接EG，FG，E，F分别为AD，BC的中点，EG；FGBD，又AC=BD，在EFG中，EGFG，BDAC，又BDC=90，即BDCD，ACCD=C，BD平面ACD点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题11、如图，PABC所在平面外一点，PA=PB，CB平面PAB，M是PC中点，N是AB上的点，AN=3NB，（1）求证：MNAB；（2）当PAB=90，BC=2，AB=4时，

16、求MN的长考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质。专题：计算题；证明题。分析：（1）取AB中点Q，连接PQ，CQ，根据线面垂直的判定定理可知PQ平面ABC，从而PQC=90，再根据M是PC中点，根据直角三角形的中线定理可知MB=PC，则MB=MQ，而N是BQ的中点，根据直角三角形的中线定理可的结论；（2）先在直角三角形PAB中求出PB，然后求出MB的长以及BN的长，最后在直角三角形MNB中求出MN即可解答：解：（1）证明：取AB中点Q，连接PQ，CQ，因为CB平面PAB，则PQBC，又PA=PB，所以PQAB，于是PQ平面ABC，所以PQC=90，因为M是PC中点，所以MQ=PC，

17、又因为CBP=90，所以MB=PC，所以MB=MQ；而N是BQ的中点，所以MNAB；（2）当APB=90，BC=2，AB=4时，有PB=2，PC=2，MB=PC=，所以MN=点评：本题主要考查了线线的位置关系，以及线段的度量，同时考查了空间想象能力、计算与推理的能力，属于基础题12、如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形考点：平面与平面平行的性质；平面的基本性质及推论。专题：证明题。分析：先说明A，B，C，D四点共面，再根据平面ABB1A1与平面CDD1C

18、1平行的性质定理可知平面ABCD与平面ABB1A1的交线AB，与平面CDD1C1的交线是CD，ABCD，ADBC，从而问题得证解答：证明：A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC四边形ABCD是平行四边形点评：本小题主要考查平面与平面平行的性质，以及平面的基本性质及推论，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题13、如图，已知PA矩形ABCD

19、所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；（）求证：MN平面PAD；（）求证：MNCD考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质。专题：证明题。分析：（）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知NECD且，AMCD且，则AMNE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AEMN，又因AE在平面PAD，MN在平面PAD，根据线面平行的判定定理可知A1C平面BDE，从而MN平面PAD（）根据PA矩形ABCD则PACD，又因四边形ABCD为矩形则ADCD，从而CD平面PAD，又因AE在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CDAE，根据AEMN，可知MNCD解答：证明：（）取的PD中点为E，并连接NEAEM、N分别为AB、PC的中点NECD且，AMCD且AMNE且AM=NE四边形A