平面向量综合试题(含答案)

1、a p b p c a p cac =ac abbc =ba bc（a）（b）222mlr rr r rr r平面向量一.选择题: 1. 在平面上，已知点 a(2，1)，b(0，2)，c(2，1)，o(0，0)给出下面的结论：ab -ca =bc oa +oc =obac =ob -2oa其中正确结论的个数是 （ ）a1 个b2 个 c3 个d0 个2 下列命题正确的是 （ ）a向量 ab 的长度与向量 ba 的长度相等b两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同c若非零向量 ab 与 cd 是共线向量，则 a、b、c、d 四点共线d若 ，则3. 若向量 = (1,1), = (1,1), =

2、(1,2),则等于( )a. + b. c. d. +4 若，且与也互相垂直，则实数 的值为( )ab.6 c.d.35已知 =(2,3) , =( ,7) ,则 在上的正射影的数量为（ ）a.b. c. d.6 己知(2,1) . (0,5) 且点 p 在的延长线上,则 p 点坐标为( )a.(2,11) b.( c.(,3) d.(2,7)7设a，b是非零向量，若函数f ( x) =( xa +b) g( a -xb)的图象是一条直线，则必有（ ）aa bba bc| a |=|b |d| a |b |8已知 d 点与 abc 三点构成平行四边形，且 a（2,1），b（1,3），c（3,4

3、），则 d 点坐标为（ ）a. （2,2） b.（4,6）c. （6,0）d.（2,2）或（6,0）或（4,6）9.在直角 dabc 中， cd 是斜边 ab 上的高，则下列等式不成立的是uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 2（c）uuur uuur uuur ab =ac cd（d）uuurcd =uuur uuur uuur uuur ( ac ab ) ( ba bc )uuurabr10 设两个向量 a =(l+2,l2-cos2a)r和 b =( m,r r+sin a), 其中 l,m, a为实数.若 a =2b, 则 的取值范 2 m围是 ( ) a.

4、-6,1b. 4,8c. ( -,1d. -1,610已知 pa|a(1,0)m(0,1)，mr，qb|b(1,1)n(1,1)，nr是两个向量集合，则 pq 等 于( )a(1,1) b(1,1) c(1,0) d(0,1)二. 填空题:11若向量 a，b 的夹角为 60 o， a = b =1 ，则 a g(a-b)= 12向量a = (2，4)，b=(11，)若向量b(a + lb )，则实数 l 的值是a13向量ra、rb满足 a = b =1， 3a -2b =3，则 3 a +b=bd c14 如图，在 dabc 中， bac =120,ab =2, ac =1, d 是边 bc

5、上一点， dc =2 bd,则1 21 21 21 21 2 1 22 22 54rrrr r52 2 13uuur uuurad gbc = _.15如图，在 abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线 ab，ac于不同的两点m ，n，若uuur uuuur uuur uuur ab =mam ， ac =nan，则m +n的值为a三. 解答题：n16.设两个非零向量 e 、e 不共线.如果 ab =e +e , bc =2e +8e , cd =3(e -e ) 求证:a、b、d 共线; 试确定实数 k,使 ke +e 和 e +ke 共线.bocm17. 已知abc 中,a(2,

6、4),b(-1,-2),c(4,3),bc 边上的高为 ad.求证:abac;求点 d 与向量 ad 的坐标. 3sin( )cos( ) 5 317(10 分)已知 sin( ) ，(0，)(1)求 的值；(2)求 cos(2 )的值sin()cos(3)18已知矩形相邻的两个顶点是 a（1，3），b（2，4），若它的对角线交点在 x 轴上，求另两个顶点 的坐标19. 已知abc顶点的直角坐标分别为a(3,4)、b (0,0)、c ( c ,0).（1）若c =5，求 sina的值;（2）若a是钝角，求c的取值范围.20已知向量ra =(sinrq,1), b =(1,cosq), -p p

7、q2 2r r(1)若 a b ，求 q ； (2)求 a +b 的最大值r r21.设向量 a =(sin x,cos x ), b =(cos x,cos x ), x r ，函数 f ( x ) =a (a +b ) .（）求函数f ( x)的最大值与最小正周期； （）求使不等式f ( x) 32成立的x的集合.2 522(12 分)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab| 5(1)求 cos()的值； (2)若 0 ， 0，且 sin ，求 sin 平面向量参考答案一、选择题：1-5:babbc 6.a 7. a 【解析】f ( x ) =( xa +b

8、) g( a -xb) =-agbx 2 +(| a |2 -| b | 2 ) x +a gb,若函数f ( x )的图象是一条直线，即其二次项系数为 0， a gb =0， a b.22 2 22 -k2( )1 12281121212221 21 2 1 2d( ,2 5 5 5cos sin 3，sin sin 2 ，cos 2 .cos(2 ) cos 2 sin 2 .8.d 9. c.【分析】：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ac =ac ab ac (ac -ab ) =0 ac bc =0，a 是正确的，同理 b 也正确，对于

9、d 答案可变形为uuur uuur uuur uuur cd ab = ac bc2，通过等积变换判断为正确.r10. a【分析】由 a =(l+2,l2-cos2a),rb =( m,m2+sinr r a), a =2b,可得l+2 =2 ml2 -cos 2 a =m +2sin al，设 =km代入方程组可得km +2 =2 m k 2 m 2 -cos 2a=m +2sina消去 m 化简得 2 k 22-cos 2 a = +2sin a ，再化简得2 -k4 2 12 + -cos 2 a + -2sin a =0 再令 =t k -2 k -2 k -2代入上式得 (sin 2

10、 a -1)2 +(16t 2 +18t +2) =0可得-(16t2+18t +2) 0, 41 1 1解不等式得 t -1, - 因而 -1 - 解得 -6 k 1 .故选 a 10. a8 k -2 8二、填空题： 11.12r r r r r r r r r【解析】 a g a -b =a -a b=a -a b cos60 =1- = 。2 212.-3 . 解 析 ： 已 知 向 量r ra = (2，4)，b=(11，) 向 量ar r r r r a +lb=(2 +l,4 +l)，b ( a + lb )，则 2+4+=0，实数 l = 3bdc13.uuur uuur uu

11、ur14. - 【分析】根据向量的加减法法则有: bc =ac -ab3uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurad =ab +bd =ab + ( ac -ab ) = ac + ab ,此时3 3 3uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur adbc =( ac + ab )( ac -ab ) = ac + acab - ab3 3 3 3 32baonc1 8 1 8 = - - =-3 3 3 3.m15. 解析：由 mn 的任意性可用特殊位置法：当 mn 与 bc 重合时知 m=1，n=

12、1，故 m+n=2，填 2uuur uuur uuur三、解答题：16. bd =bc +cd =5e +5e = 5 ab , ab / bd 又有公共点 b,a、b、d 共线 设存在实数 使 ke +e =(e +ke ) k= 且 k=1 k= 117.由 ab ac =0 可知 ab ac 即 abac设 d（x,y）, ad =( x -2, y -4), bc =(5,5), bd =( x +1, y +2) ad bc5(x-2)+5(y-4)=0 bd / bc5(x+1)5(y+2)=0 7x = 25y = 27 5 3 3 ) ad =( , - )2 2 2 2 5

13、5 2 517解 (1)sin( ) ，(0，)cos ，(0，)sin . 3sin( )cos( )2 2 1 .sin()cos(3) sin cos (2)cos 5 2 5 4 3 3 2 2 2 5 5 5 5 4 2 2 1018解：因为矩形对角线交点在 x 轴上，故设交点为 m（x，0），由 |ma|=|mb|得：1 12 2uuur uuurrrrrp rr r rr r5 5552 2 5513 135 13 5 13 65( x +1)2+32= ( x +2)2+42解得：x=5，交点为 m（5，0）又设矩形另两个顶点为 c（x ，y ）、d（x ，y ）m 是 ac

14、的中点，由中点坐标公式得-1+x1 =-5 23 +y1 =0 2 x =-91y =-31同理可求得：x =-8, y =-4 2 2故所求两个顶点的坐标为（9，3），（8，4）。19. 解：(1)uuurab =( -3, -4),uuurac =( c -3, -4)当c=5时，uuurac =(2, -4)-6+16 1cosa=cos= =52 5 5进而 sin a = 1 -cos 2 a =2 5525 25(2)若a为钝角，则abac= -3(c-3)+( -4)2 3 显然ab和ac不共线，故c的取值范围为 3 ，+ )p p p20解：（）若 a b ，则 sin q-c

15、os q=0 ，由此得： tan q=-1,( - q ) ，所以， q=- 2 2 4（）由ra =(sinrq,1), b =(1,cosq), 得：ra +b = (sinq+1)2+(1+cosq)2= 3 +2(sinq+cospq) = 3 +2 2 sin(q+ )4p当 sin(q+421. 解：（）r r) =1 时， a +b 取得最大值，即当q= 时， a +b 的最大值为 2 +1 4r rf ( x ) =a (a +b ) =a a+a b=sin 2 x +cos 2 x +sin x cos x +cos 2 x1 1 3 2 p=1 + sin 2 x + (cos 2 x +1) = + sin(2 x + ) f ( x) 2 2 2 2 4的最大值为3 2+ ，最小正周期是 p 2 2（）要使f ( x) 32成立，当且仅当3 2 p 3 + sin(2 x + ) 2 2 4 2，即 sin(2 x +p4) 0 2kp2 x +p p 3p2 k p+p k p- x k p+ , k z 4 8 8,即f