四面体外接球的球心半径求法

1、四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点， 对于学生来说这是一个 难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手， 不知道球心 在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为 2 *以*2. a2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对角线长I即R= - 2其长度分别为1，6,3，【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直, 若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积DC解

2、：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为 AE的长即：4R2 =AB2 AC2 AD224R2 =12 32 .6 -16 所以 R =2球的表面积为S =4二R2 =16二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球0的球面上，AB BC且PA = 7，PB=5，PC 二 51，AC =10,求球 0 的体积。解：AB_BC 且 PA=7，PB=5，PC = . 51，AC =10,(2因为 72 51 =102所以知 AC PA2 PC2所以PA_PC 所以可

3、得图形为: 在Rt ABC中斜边为AC在Rt，PAC中斜边为AC取斜边的中点0 ,在 Rt. ABC 中 OA =0B =0C在 Rt： PAC 中 OP = OB = OC所以在几何体中OP =OB =OC =OA，即O为该四面体的外接球的球心1R AC = 52所以该外接球的体积为二眾二啦33【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。Cy三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解设球心坐标为O(x,y,z)贝U AO二BO二CO = DO ,由空间两点间距离公式知x2y2 z2 二(x _2)2 y2 z2x2 y2z2 = x2 y2 (z_2)2x2 y2

4、 z2 二(x -1)2 (y i：3)2 z2解得x =1z =1A二、3a2正四面体的体积Va_bcdAEa122、AB2 - BE2/3 2a12L a -a3丿23a12图113Sa r CD，3Va -BCD3丄a?126a12在 Rt BEO 中，BO2 二 BE 2 EO2，即 R2得 R 6a ,4所以半径为R-12 （ 3）2 122133【结论】：空间两点间距离公式：PQ - .（X1 - X2）2 （yi - y2）2 （乙- z?）2四、四面体是正四面体处理球的“内切” “外接”问题与球有关的组合体问题， 一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中 也是考查

5、的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键， 可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。解：如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为a .由图形的对称性知，点0也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为 R.正四面体的表面积0图2【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点， 即内切球的半径为 一（h为正四面体的高），且外

6、接球的半径 一，44从而可以通过截面图中 Rt OBE建立棱长与半径之间的关系。例2.设棱锥M - ABCD的底面是正方形， 且MA二MD , MA _ AB ,如果 AMD 的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径解： AB _ AD,AB _ MA,. AB _平面 MAD ,A由此，面MAD _面AC .记E是AD的中点，从而 ME _ AD . ME _ 平面 AC , ME _ EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球如图2,得截面图-MEF及内切圆O不妨设O 平面MEF，于是O是：MEF的内心.设球O的半径为2S MEF ，设 ad =EF =a, EF EM

7、 MFSAMD - 1 .EM =2,MF a,r 二2a _亠a当且仅当a =，即a二2时，等号成立a当AD =ME二穆2时，满足条件的球最大半径为,2 -1.练习：一个正四面体内切球的表面积为3二，求正四面体的棱长。（答案为： 2 ）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。、球与棱柱的组合体问题1.正方体的内切球:球与正方体的每个面都相 切，切点为每个面的中心，显然 球心为正方体的中心。设正方体 的棱长为a，球半径为R。D1图3C1图4图5如图3,截面图为正方形aEFGH的内切圆，得 R =;22.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的

8、中点，如图截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA/乍截面图 得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得例3.在球面上有四个点 P、A、B、C .如果PA、PB、PC两两互相垂直，且解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD -3a- S球表面积 a =3二 a2练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适33好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为V2a4a3)24.构造直三角形

9、，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处, 顶点构成的直角三角形便可得球半径。由球心、底面中心及底面一例4.已知三棱柱 ABC-ABjCj的六个顶点在球 01上，又知球02与此正三棱柱的 5个面都相切，求球01与球02的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心 0厂02是重合的,过正三棱柱的一条侧棱AAi和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ,73则R-a，正三棱柱的高为da,3Rt ADO中，得R2a2a25 2 a 12DiBi、O I0图6Ri =练习：正四棱柱ABCD - Ai BC1D1的各顶点都在半径为R的球面上,求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：4. 2R2）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清