徐海学院第二学期高数答案A

1、中国矿业大学徐海学院2007 2008学年第二学期高等数学试卷（A）卷答案一、填空题（每小题 3分，共15分）1. y= Cex22. （x,y）x _0,x y 03. （1 xy）exy,x 1y 2 z +14.32-14. （x 1） -2（ y -1）3（z 1） = 0 或 x - 2y 3z 6 = 02 / 515分）40分，要有必要的计算步骤）1.已知Z = UV,u = In（x2 y2）,；z.z；:u；z :：V解:；:x；:u.x.:v；:x二、选择题（每小题 3分，共1. C 2. C 3. D 4. D 5. D三、计算题（每小题 8分，共v = arctan ，

2、求一z 及。（ 8分）x ex cy（1分）zz：:y2xy= V LU 口y=arcta n x2xx2 y2-In （x2y2yy2-N:u:z-：v-：u 为:v.y（1分）（2分）（1分）2y 丄x八-v 2 2 u -22 （2 分 ）x y x yy 2 y22 x=arctan2 亍 In（x y ） 22 （1分）x x yx y2.求微分方程y ” 2y -3y =（3-4x）ex的通解。（8分）解：对应齐次方程的特征方程为：2r 2r -3 =0 （1 分）特征根为：a = _3, r2 =1（1分）（1分）所以对应的齐次方程通解为：C2ex因a=1是特征方程的单根，故令y

3、 = x(ax b)ex（1分）代人原方程，有(8ax 2a 4b)ex =(3-4x)ex（1分）1比较系数得a二-丄，b2（1分）故 y* =x（1 _ 1 x）e2（1分）原方程的通解为:“Ch 2朋（1分）3.计算二重积分口 x y2dxdy，其中 D =0 兰 x 兰 1,0 兰 y 兰1。（8 分）解：原式=(y22_x）dxdy 亠 i i（x _y ）dxdy（2 分）D1D21 1 20 x（y2 -x）dydxx20 （x - y ）dydx（2分)1 12-x x2）dx331 203x2dx（2 分）42 / 5（2 分）11304.计算曲线积分 (xy)2dS ,其中

4、L为由点(0, 0)到(0, 1)的直线段和y = P1 x2 上从点(0, 1)到点(1, 0)的圆弧组成。(8分)解：由题意，（1 分）2 2 2L（x -y） dS 二 （x -y） dS C（x -y） dS其中：OA勺方程为x=0 ( 0乞y乞1)（1 分）2OA（x-y） dS 二y2dy 二-3（1分）弧C的方程为y = #1x2( Ox兰1)，对应的参数方程为X= costn（O虫兰-）、y=si nt2 dS 二.x 2 y 2dt 二 dtn（3分）所以 C （x - y）2dS = （2（1 一sin2t）dtn 2从而原式=n2325.求曲面4z =3x解法一、曲面上任

5、一点d =x，y，z)到平面的距离1 2 2 2F x y - 4z -1 i 亠 j3x - 2xy 3y -4z 设 2Fx = x +y 4z -1 十 Aj(6x 2y )= 0Fy=x+y4z1+ Aj(6y -2x )= 0E = -4(x +y 4z -1 )一4丸=02 2F九=3x -2xy +3y 4z = 01x = y = 得: 41z =16驻点唯一dm,*解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n6x -2y,6y -织-4平面 x+y-4z=1 的法矢量 n 1 = ”1，1，-4：6x 2y 6y 2x 4/ n1时，即1-4得:11x = yz =4161)16点处

6、切平面平行已知平面点(416)到平面距离最短,d min(2 分)2-2xy - 3y至y平面x y _4z二1的最短距离7 / 5四、计算题(每小题 10分，共30分，要有必要的解题步骤)1.计算曲线积分 (exsiny + y+1)dx + (ex cos yx)dy，式中曲线 L 是以 A (1, 0)为起点，B ( 7, 0)为终点的，以 AB为直径的圆的下半圆周。(10分)(1 分)解：ex cosy 1Q x d e cos y -1.x连接BA使其与C构成一闭曲线，所围的区域为D,则由Green公式得(1 分)c BA(exsiny yx1)dx (e cosy - x)dy-9

7、 n(2 分)(2 分)因为xxBA(e sin y y 1)dx (e cosy _x)dy=-6(2 分)所以l (exsin y y 1 )dx (ex cos y _ x)dy 二 -9 n 6(2 分)2.求z =x2 y2 , z =8 - x2 - y2, z = 1曲面所围成的立体的体积。（10分）解：由题意得，所求体积为V二V|-V2,其中V1表示由曲面z = x2 y2与曲面z = 8-x2-y2围成立体的体积;V2表示由曲面z = x2 y2与平面z=1围成立体的体积； （2分）=.(8-2x2D1-2y2)dxdy =门 B(8-2r2)rdr =16 n(3 分)其中 D1 : x2 y2 _ 4222兀12nV2 = (1-x2-y2)dxdyd (1-r2)rdr (3 分)D22其中 D2 :x2 y2 131 n所以 V =V| _V2 (2 分)23.求幕级数送 也界x2n( X，vJ2)的和函数。(10分)n 12解：设和函数为