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1、第八章空间问题的解答8-1设有任意形状的等截面杆，密度为,上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。试考察应力分量U =0,b、=0,b： =Qgz， =0. =0七=0是否能满足所有一切条件。【解咎】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7J）；满足相容方程，教材中式（8J3）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（75）。（1）h=f、=E=-pg,很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程d(yorYXgX+zx+fx = adx內&drxxd(yy込+y+fy = 0,dx9rdz.dr6 Jdjxz+z+fz = 0。dxav O = ax +

2、av+az=pgz应力分量也满足贝尔特拉米相容方程(l + )g+晋=0,(1 + )%+器=0,(1 + )7+罟=0,(*)%+謹0+“)+議“方 2(=)精品（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，Z =7V=Z=在 Z 平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为为任意的；在下 端面方向余弦分别为-1,=0）,应用一般的应力边界条件，将应力和面力分 量、方向余弦分别代入下式（/b,+g + %） =., （乓= （/艮+加.+8）=无。直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此，所给应力分量是本问题 的解。18-8扭杆的横截面为等边三角形Q4E,其高度为$ （题88图），取坐

3、标 轴如图所示，则4B,Q4,0万三边的方程分别为x-a=0,x-j3y = 0,x + 3y = 0o 试证应力函数能满足一切条件，并求出最大切应力及扭角。【解答】（1）扭杆无孔洞，应力函数显然满足侧面边界条件（）=0。由杆满足端部的边界条件，教材中式（848）得精品ab2py 一 ubG0对于边长为鸟的正方形截面杆，a=b,p = 0.20&Q =0.141o将这些数值代入上式，得“皿08 徐 K = 4.O92 孚max ab2p小ab3Gpxci4G(2) 根据教材中式(&27)和式(828)可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达 式max2MttcG对于面积为”/的圆截面杆，上式中a=bf=aTV将这些数值代入上式，得, 2M 2扳M_+F)M _ 2ttM一(3) 比较两杆的最大切应力和单位长度

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