微分的概念性质及应用,

1、海量资源，欢迎共阅 第二章第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用 微分作近似计算教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容：1. 微分的定义图 2-1计算函数增量 y f x0 x f x0 是我们非常关心的。一般说来函 数的增量的计算是比较复杂的， 我们希望寻 求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属 薄片受温度变化的影响，其边长由 x0 变到 x0 x（图 2-1 ），问此薄片的面积改变了多 少？设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A是 x的函数： A x2。薄片 受温度变化的影响

2、时面积的改变量，可以看成是当自变量 x 自x0取得 增量 x 时，函数 A相应的增量 A，即2 2 2A x0 x 2 x02 2x0 x x 2 。从上式可以看出， A分成两部分，第一部分 2x0 A 是 A的线性函 数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和， 而第二部分 x 2 在图中是 带有交叉斜线的小正方形的面积， 当 x 0时，第二部分 x 2 是比 x 高阶的无穷小，即 x 2 0 x 。由此可见，如果边长改变很微小，即 x 很小时，面积的改变量 A 可近似地用第一部分来代替。般地，如果函数 y f x 满足一定条件， 则函数的增量 y可表示海量资源，欢迎共阅y A x 0 x ，其中

3、 A是不依赖于 x的常数，因此 A x是 x的线性函数，且它与 y之 差y A x 0 x ，是比 x高阶的无穷小。所以，当 A 0，且 x 很小时，我们就可近似 地用 A x 来代替 y 。定义设函数 y f x 在某区间内有定义， x0 x及 x 0在这区间内， 如果函数的增量可表示为 y A x 0 x ，其中 A是不依赖于 x的常数，而 0 x 是比 x 高阶的无穷小，那么称 函数 y f x 在点 x0是可微的，而 A x叫做函数 y f x 在点 x0 相应于 自变量增量 x 的微分，记作 dy ，即 dy A x 。定理 1 函数 f x 在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f

4、 x 在点 x0 可 导，且当 f x 在点 x0 可微时，其微分一定是dy f x0 x 。设函数 y f x 在点 x0 可微，则按定义有式成立。 式两边除以x ，得 y A 0 x 。xx于是，当 x 0 时，由上式就得到A lixm0 xy f x0 。因此，如果函数 f x 在点 x0可微，则 f x 在点 x0也一定可导 （即 f x0 存在），且 A f x 0 。海量资源，欢迎共阅反之，如果 y f x 在点 x0 可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成f x0x其中0 (当 x 0 )。由此又有y f x 0 x x 。因 x 0 x ，且不依赖于 x ，故上式相

5、当于式， 所以 f x 在点 x0 也 是可微的。由此可见，函数 f x 在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f x 在点 x0可导，且当 f x 在点 x0 可微时，其微分一定是dy f x0 x 。例 1 设y excosx，求 dy解： dy ex cos x e x sin xdx微分在近似计算中的应用： 在 f x 0 0 的条件下， 以微分 dy f x0 x 近似代替增量 y f x0 x f x0 时，相对误差当 x 0 时趋于零。 因此，在 x 很小时，有精确度较好的近似等式y dy 。即 f x 0 x f x0 f x0 x或 f (x) f (x0) f (x0 )

6、x特别地，当 x0 0, x 很小时，有 f (x) f (0) f (0)x (3) (3)式是计算零点附近的函数值当 x 很小时，有下列近似计算公式：海量资源，欢迎共阅1 例证明： n 1 x 1 1 x 。(当 x 很小时)令 f (x) n 1 x因为 f (0) 11 1 1f (0) 1 (1 x)n |x 0 1 nn由 f (x) f (0) f (0)x故，当 x 很小时， n 1 x 1 1 x例 2 一个充好气的气体， r 4m ，升空后，因外面气压降低，气 球半径 r 增大了 10cm ，求体积增加了多少？解：因为 V 4 r 33所以 V dv (4 r 3) x 4

7、 r 2 x3例 3 求 4 .2 的近似值解 设 f (x) x ,取 x0 4, x 0.2 ，则所以 4.2 f (4) f (4)( 4.2 4) 2.05或者：2. 微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数 y f x 的图形是一条曲线。对于某一固定变量 x 有微小增量 x 时，就得到曲线上另一图 2-2的 x0 值，曲线上有一个确定点 M x0， y0 当自点 N x0 x，y0 y . 从图 2-2 可知：MQ x ，QNy 。过 M点作曲线的切线 , 它的倾角为 ，则海量资源，欢迎共阅QP MQ tan x f x 0 ，即 dy

8、 QP 。由此可见，当 y 是曲线 y f x 上的 M点的纵坐标的增量时， dy 就 是曲线的切线上 M点的纵坐标的相应增量。当 x 很小时， y dy 比 x 小得多。因此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线 段。3. 微分运算法则及微分公式表由 dy f x dx ，很容易得到微分的运算法则及微分公式表 （当 u、 v 都可导）：d u v du dv ，d Cu Cdu ，d u v vdu udv ，u vdu udvd 2 。vv微分公式表：d x x 1dx ，d sin x cos xdx ，d cos x sin xdx ，2d tan x sec xdx ，2d

9、 cot xcsc 2 xdx ，d secx secx tan xdx ，d csc x csc x cot xdx ，d a x a x ln adx ，海量资源，欢迎共阅d e x e xdx ，1d loga x dx ， xln a1d ln x dx ，x1d arcsin x 2 dx ，1 x 21d arccos x 2 dx ，1 x 21 d arctanx2 dx ，1x1 d arc cot x2 dx 。1 x2注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式 要从右向左背。例如：1dx 2 d x ，x112 dx d ， x2x1dx d ax b

10、， ax 1 x axdxdax 。ln a4. 复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设 y f u 及u x 都可导，则复合函数 y f x 的微分为dy yxdx f u x dx 。由于 x dx du ，所以，复合函数 y f x 的微分公式也可以写dy f u du 或 dy y udu 。由此可见，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形海量资源，欢迎共阅 式 dy f u du 保持不变。这一性质称为微分形式不变性。 这性质表示， 当变换自变量时（即设 u 为另一变量的任一可微函数时） ，微分形式 dy f u du 并不改变。例 4 求 y esin x的微分sin xsin xsin x解dy d（e ） e dsin x