《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析汇报

1、二次根式及一元二次方程一、选择题1 估算的值（）A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间2 要使二有意义，则x应满足（）A. 厶w xW 3B. xw 3 且 x 工二 C.厶vxV 3D.厶v xw 32 2 2 23. 已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A. ab B. C. a+b D. a- bb4. 已知a, b, c分别是三角形的三边，则方程（a+b） x2+2cx+ （a+b） =0的根的情况是 （ ）A.没有实数根B .可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5 .武汉市2

2、016年国内生产总值（GDP比2015年增长了 12%由于受到国际金融危机 的影响，预计今年比2016年增长7%若这两年GDP年平均增长率为x%则x%满足的关 系是（）A. 12%+7%=x%B.( 1+12%( 1+7% =2 (1+x%(1+x%C. 12%+7%=2x% D.( 1+12%( 1+7%6. l(av 1)F列各式计算正确的是（）D.7. 关于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有实数根，则a满足（）A. a1B. a 1 且 a 5C. a1 且 a5D. a58. 设a，b是方程x2+x- 2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为(A. 2014 B.

3、2017 C. 2015D. 20169 方程（x - 3）（ x+1） =x- 3 的解是（）A. x=0 B . x=3 C. x=3 或 x= - 1D. x=3 或 x=010方程x2- 9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D.不能确定11 .定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a 0）满足a+b+c=0,那么我们称这个方程 为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0 （a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根， 则下列结论正确的是（）A. a=c B . a=b C. b=c D . a=b=c

4、12.如图，已知双曲线y=（kv0）经过直角三角形OAB斜边0A的中点D,且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（-6, 4）,则厶AOC勺面积为（）A. 12 B. 9 C. 6 D. 4二、填空题13 .化简二：、卜，二 1=.14.计算的结果是_.15 .计算：+ 一=.16 .如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数 a的取值范围是.17 .设X1，X2是一元二次方程x2- 3x- 2=0的两个实数根，则xj+3x1X2+X22的值为18 .已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0勺一个根，贝U吊+2mn+A的值为.19 .请你写出一个有一根为1的一元二次方程： .（答案不

5、唯一）20 .关于x的一元二次方程x2- mx+2n-仁0的两个实数根分别是X2，且X12+X22=7,则（X1 - X2）2的值是.21 .若把代数式x2 - 2x- 3化为（x- m） 2+k的形式，其中m k为常数，则m+k 23若正方形OABC勺顶点B和正方形ADEF勺顶点E都在函数、，-二匸；T的图象上若 x正方形OABC勺面积为1,则k的值为 ；点E的坐标为三、解答题24计算：.：二：三p25.用配方法解方程：2x2+仁3x.26 .已知 关于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k- 3=0.(1) 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 当Rt A

6、BC的斜边长a=，=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时, 求厶ABC勺周长.27. 已知一元二次方程 x2 - 2x+m=0(1) 若方程有两个实数根，求 m的范围；(2) 若方程的两个实数根为X1, X2,且Xt+3x2=3，求m的值.28. 已知关于x的一元二次方程x2=2 (1 - m) x - m的两实数根为X1，X2(1) 求m的取值范围；(2) 设y=X1+X2,当y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值.二次根式及一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1 估算：的值（）A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间【考点】估算无理数的大小.

7、【专题】应用题.【分析】首先利用平方根的定义估算 31前后的两个完全平方数25和36,从而判断 的范围，再估算的范围即可.【解答】解：5V = V 6二 3 讨： V 4故选C.【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小， 解题关键是估算 的 整数部分和小数部分.2 要使：+有意义，则x应满足（）A.x 3 B. x 3 且 x C. =VxV 3 D.右 x 3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解.【解答】解：由题意得，身;芒2），解不等式得，x 3，解不等式的，x所以，三V x 0. v 0.该方程没有

8、实数根.故选A.【点评】本题是方程与几何的综合题.主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对(2c)-4 (a+b)( a+b)进行因式分解.5 .武汉市2016年国内生产总值(GDP比2015年增长了 12%由于受到国际金融危机 的影响，预计今年比2016年增长7%若这两年GDP年平均增长率为x%则x%满足的关 系是()A. 12%+7%=x%B.( 1+12%( 1+7% =2( 1+x%C. 12%+7%=2x% D.( 1+12%(1+7% = (1+x% 2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】增长率问题.【分析】增长率问题，一般用增长后的量 =增长

9、前的量X( 1+增长率)，然后用平均增 长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即X%满足的关系式.【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y,则根据实际增长率和平均增长率分别得到 2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y (1+x% 或y (1+12%，所以 1+x%=1+12%今年的国内生产总值：y (1+x% 2或y (1+12%(1+7%，所以(1+x% 2= (1+12%(1+7% .故选D.【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程.6. 下列各式计算正确的是()A.B.C. :-7【考点】二次根式的

10、混合运算；立方根.【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了;C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了.B、_一1，本答案错误;【解答】解：A、-.1-:： （av 1）,本答案正确;C、：二.厂：，匚，本答案错误;D_=4工2,本答案错误.故选B.【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结 算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键.7. 关于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有实数根，则a满足

11、（）A. a1B. a 1 且 a 5C. a1 且 a5D. a5【考点】根的判别式.【专题】判别式法.【分析】由于x的方程（a- 5） x2 - 4x- 1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a- 5=0时，方程一定有实数根；（2）当a-5工0时，方程成为一元二次方程，利用判别式 即可求出a的取值范围.【解答】解：分类讨论： 当a- 5=0即a=5时，方程变为-4x-仁0,此时方程一定有实数根； 当a - 5工0即a 5时，关于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有实数根16+4 （a-5）0， a1. a的取值范围为a1.故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+

12、c=0 （aM 0）的根的判别式 =b2- 4ac:当 0,方程有两个不相等的实数根；当厶=0,方程有两个相等的实数根；当 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；(3)Av 0?方程没有实数根.12.如图，已知双曲线y= (kv0)经过直角三角形OAE斜边OA的中点D,且与直角边(-6, 4),则厶AOC勺面积为()【考点】反比例函数系数k的几何意义.【专题】压轴题.【分析】 AOC勺面积= AOB勺面积- BOC勺面积，由点A的坐标为(-6, 4),根 据三角形的面积公式，可知 AOB勺面积=12,由反比例函数的比例系数k的几何意义， 可知 BOC勺面积=k|

13、.只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可.【解答】解：OA的中点是D,点A的坐标为(-6, 4),-D(-3, 2),双曲线、= 经过点D,k= 3 X 2= 6, BOC勺面积=|k|=3 .又 AOB勺面积=.：X6X4=12, AOC勺面积= AOB勺面积- BOC勺面积=12-3=9.故选B.【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k与其图象上的 点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系，即二、填空题13.化简.1-；二：=0【考点】二次根式有意义的条件.【分析】由1 - x0, x - 1 0,得出x-仁0,从而得出结果.【

14、解答】解：1 - x0, x - 10,x- 1=0,J .卜二亠=0.【点评】二次根式的意义和性质.概念：式子（a 0）叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.14.计算；：的结果是 4.【考点】算术平方根.【专题】常规题型.【分析】根据算术平方根的定义解答即可.【解答】解：一=4.故答案为：4.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理.15.计算：+ .乙 3 .二.【考点】二次根式的加减法.【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.【解答】解：原式=2 _+ _=3 .【点评】同类二次根式是指几

15、个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次 根式.二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.16.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数 a的取值范围是 av 1且a0【考点】根的判别式.【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：(1) 二次项系数不为零；(2) 在有不相等的实数根下必须满足 =b2- 4ac0.【解答】解：根据题意列出不等式组解之得av 1且a0.故答案为：av 1且a0.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一

16、元二次方程二次 项系数不为零这一隐含条件.17.设xi, X2是一元二次方程x2- 3x- 2=0的两个实数根，则xj+3xiX2+x2的值为 7.【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系，可求出X1+X2以及X1X2的值，然后根据X12+3X1X2+X22=(X汁X2) 2+X1X2进一步代值求解.【解答】解：由题意，得：X1+X2=3, X1X2= - 2;原式=(X1+X2) 2+X1X2=9- 2=7.故答案为：7.【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键.18.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0勺一个根，贝U吊+2mn+n的值为 1.【考点】一元二次

17、方程的解；完全平方公式.【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0然后把m+2mn+A利 用完全平方公式分解因式即可求出结果.【解答】解： x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，二 m+n+1=0 m+n=- 1， m+2mn+n= (m+n 2= (- 1) 2=1.故答案为：1.【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题.19.请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 .(答案不唯一)【考点】一元二次方程的解.【专题】开放型.【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可.【解答】解：根据题意x=

18、1得方程式x2=1 .故本题答案不唯一，如x2=1等.【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握可以用因 式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如(y- 1)( y+2) =0,后化为一般形式为y2+y - 2=0.20. 关于x的一元二次方程X2-mx+2n-仁0的两个实数根分别是Xi、X2，且x/+X22=7，则(xi- X2) 2的值是 13.【考点】根与系数的关系；根的判别式.【分析】首先根据根与系数的关系，得出 X1+X2和XiX2的值，然后根据Xi2+X22的值求出m(需注意m的值应符合此方程的根的判别式)；然后再代值求解.【解答】解：由题意，得：Xi

19、+X2=m XiX2=2m- 1;贝U：( Xi+X2) 2=xi2+X22+2xiX2，即 m=7+2 (2 m- 1)，解得 m=- 1， m=5当 m=5时，=吊-4 (2m- 1) =25- 4X 9v 0，不合题意；故 m=- 1，X1+X2= - 1，X1X2= - 3;2 2/( X1 - X2) = (X1+X2) - 4x1X2=1+12=13.【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识.本 题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的 m是否符合题意，以免 造成多解、错解.21. 若把代数式x2- 2x- 3化为(x - m) 2

20、+k的形式，其中m k为常数，则m+k= - 3.【考点】完全平方公式.【专题】配方法.【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2- 2x - 3=x2- 2x+1 - 4= (x - 1) 2 - 4，可知 m=1. k= - 4，贝U m+k=- 3.【解答】解：T x2- 2x- 3=x2 - 2x+1 - 4= (x - 1) 2 - 4，二 m=1 k= 4,m+k=- 3.故答案为：-3.【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式:( a b) 2=a22ab+b2.22.将二根号外面的因式移进根号后等于 _.【考点】二次根式的性质与化简.【专

21、题】计算题.【分析】先根据二次根式定义得到av0,然后根据二次根式的性质把-a转化为； 再利用乘法公式运算即可.【解答】解：- 0,a av 0,原式=(a) ? J 丄=_ 弓.三” =.=&：.故答案为-.【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：(a0)为二次根式；=|a| ；匚=.l? .1 (a0, b0)等.23.若正方形OABC勺顶点B和正方形ADEF勺顶点E都在函数的图象上.若x正方形OABC勺面积为1,则k的值为 1点E的坐标为【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】(1)根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC勺边长为1,得出B

22、点坐标，即可得出反比例函数的解析式；(2)由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC勺边长表示出来E点坐标，代 入y二一(x 0)求得a的值，即可得出D点坐标.【解答】解：正方形OAB(和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1. B点坐标为：(1,1),设反比例函数的解析式为y=; xy=k=1,设正方形ADEF勺边长为a,贝U E (1+a, a),代入反比例函数y= (x0)得：1= (1+a) a,又a0,解得：a迸-,点 E 的坐标为：(一二 + .- ,- )【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想, 利用

23、xy=k得出是解题关键.三、解答题24 计算：；：三【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕.【分析】本题涉及分数指数幕、负整数指数幕、乘方、二次根式化简四个考点在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答】原式=3+4-2二-2+ .1=5 - 2 二+2 二-2=3.【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题 目的关键是理解分数指数幕的意义，熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、二次根式、绝 对值等考点的运算.25.用配方法解方程：2x2+仁3x.【考点】解一元二次方程-配方法.【专题】计算题.【分析】首先把方程的二次项系数

24、变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半， 则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解.【解答】解：移项，得2x2- 3x=- 1,二次项系数化为1,得：-，配方”心w f由此可得.：，二 x1，亍【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握. 本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即 ax2+bx+c=0 (a 0)的形式，然后再配方求解.26 .已知 关于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k - 3=0.(1) 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 当

25、Rt ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时， 求厶ABC的周长.【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理.【专题】计算题.【分析】(1)根据 0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数 根；(2)根据勾股定理及根与系数的关系列出关于 b，c的方程，解出b，c即可得出答案.【解答】解：(1)关于x的一元二次方程x2 -(2k+1) x+4k- 3=0, =( 2k+1) 2-4( 4k- 3) =4k2- 12k+13=4+4 0 恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据勾股定理得：b2+c2=a2=31因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则 b+c=2k+1 ，bc=4k - 3，因为(b+c) 2 - 2bc=