初中数学最值问题

1、最值问题“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1） 归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这 一模型。（2） 归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一 模型。一、利用函数模型求最值例 1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃 abcd，设 ab=x 米，由于实 际需要矩形的宽只能在 4m 和 7m 之间。设花圃面积为 y 平方米求 y 与 x

2、 之间的函数关系式和 y 的最值。例 2、如图（1），平行四边形 abcd 中，ab=4,bc=3, bad=120，e 为 bc 上一动点（不与 b 重合），作efab 于 f，设 be=x，def 的面积为 s 当e运动到何处时，s 有最大值，最大值为多少？a dfbe c二、利用几何模型求最值例3、如图所示，已知 ab 是o 中一条长为4的弦，p 是o 上一动点，且 cosapb 的最大值？13， apb 的面积例4、如图，已知 abcrtdef c=f=30，ab=de=a 。当两三角形沿着直线 fc 移动时，求图中 阴影部分的面积的最大值。1 / 42三、归入“两点之间的连线中，线段

3、最短”思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”， 而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。例 5、(1)如图所示，正方形 abcd 的面积为 12，abe 是等边三角形，点 e 在正方形abcd 内，在对角线 ac 上有一点 p，使 pd+pe 的和最小，则这个最小值为（ ）a.23b.26c.3 d.6(2)如图，ab、cd 是半径为 5 的o 的两条弦，ab=8，cd=6，mn 是直径，ab mn 于点 e，cdmn 于点 f，p为 ef 上的任意一点，则pa+pc 的最小值为_例 6、几何模型：条件：如下左图，a、b是

4、直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点p，使pa +pb的值最小方法：作点 a 关于直线 l 的对称点 a，连结ab交l 于点 p ，则 pa +pb =ab 模型应用：的值最小（不必证明）（1）如图 1，正方形abcd的边长为 2，e为ab的中点，p是ac上一动点连结bd，由正方形对称性可知，b与d关于直线ac对称连结ed交ac于p，则pb +pe的最小值是_ （2）如图 2， o 的半径为 2，点 求 pa +pc 的最小值_a、b、c 在 o 上， oa ob ， aoc =60，p 是 ob 上一动点，（3）如图 3，aob =45，p是aob内一点，po =10，q 、r分别是

5、oa、ob上的动点，求pqr周长的最小值_apbl aepbcaopcbrbpad图 1图 2oq图 3a例 7、如图，锐角abc 的边 ab=4 ，bac=45，bac 的平分线交 bc 于点 d，m，n 分别是 ad 和 ab 上的动点，则 bm+mn 的最小值是_四、归于“三角形两边之差小于第三边”例 8、如图（1），直线y =- 3 x +2与x轴交于点 c，与y轴交于点 b，点 a 为y轴正半轴上的一点，a经过点 b 和点o，直线 bc 交a 于点 d。（1） 求点 d 的坐标；（2） 过 o ，c，d 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 p ，使线段 po 与 pd 之差

6、的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 p 的坐标。若不存在，请说明理由。ybadocx2 / 41五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的 a 点爬到桶内的 b 点处寻找食物，已知点 a 到桶口的距离 ac 为 12cm，点 b 到桶口的距离 bd 为 8cm，cd 的长为 15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是_ 2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，a 和 b 是这个台阶的两 个相对的端点，a 点上有一只蚂蚁，想到 b 点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 a 点出发，沿着台 阶面爬到 b 点，最

7、短线路是_ 3. 如图是一块长、宽、高分别是 4cm、2cm 和 1cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点 a 出发，沿长方体的 表面爬到 c 处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是_4. 如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 abc，粮堆母线 ac 的中点 p 处有一只老 鼠正在偷吃粮食此时，小猫正在 b 处，它要沿圆锥侧面到达 p 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 _ 米（结果不取近似值）六、综合提高1.如图，（1），在abc 中，ac=bc=2,acb=90，p 为 bc 边上一定点，（不与点 b，c 重合），q为 ab 边上一动点，设 bp 的长为 a（0a

8、2），请写出 cq+pq 最小值，并说明理由。a3 / 4q2.如图（1）所示，在一笔直的公路 mn 的同一旁有两个新开发区 a、b，已知 ab=10 千米，直线 ab 与公 路 mn 的夹角aon=30 新开发区 b 到公路 mn 的距离 bc=3 千米。（1） 求新开发区 a 到公路 mn 的距离，（2） 现从 mn 上某点 p 处向新开发区 a、b 修两条公路 pa、pb，使点 p 到新开发区 a、b 距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点 p 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时 pa+pb的值。anbc om3.已知：抛物线的对称轴为 x=-1，与 x 轴交于 a，b 两点，与 y 轴交于点 c，其中 a（-3，0）、c（0，-2） （1）求这条抛物线的函数表达式（2） 已知在对称轴上存在一点 p，使得pbc 的周长最小请求出点 p 的坐标（3） 若点 d 是线段