高中必修第一册数学《2.2 基本不等式》课时练习_第1页
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文档简介

1、xxy122.2 基本不等式【本节明细表】知识点、方法基本不等式直接应用利用基本不等式求最值利用基本不等式解决实际问题基础巩固题号1,2,3,57,8,9,10,114,12,131若a2n 0 ,则 n +9n的最小值为( )b4 c6 d8【答案】c【解析】n +9n2 9 =6(当且仅当 n3 时等号成立)故选:c2已知 ,y (0,+),x+y=1,则 的最大值为( )a1b12c13d14【答案】d【解析】因为 x ,y (0,+),x+y=1,所以有1 =x +y 2 xy xy ( )22=14,当且仅当x =y =12时取等号,故本题选 d.3若实数 x , y 满足xy=1,

2、则 x2+4 y2的最小值为_【答案】4【解析】因为xy=1,所以 x2+4 y2=x2+(2y)2x 2 y =4 xy =4 ,当x =2 y时取“ =”,所以 x2+4 y2的最小值为 4,故答案为 4.4用篱笆围一个面积为100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆 是( )a30【答案】cb36 c40 d50【解析】设矩形的长为x ( m),则宽为100x( m),设所用篱笆的长为y ( m ),所以有y =2 x +2 100x,根据1aba( )( )x , y基本不等式可知: y =2 x +2 100 1002 2 x 2 =40 x

3、x,(当且仅当2 x =2 100x时,等号成立,即x =10时,取等号)故本题选 c.5已知正实数 a ,b满足a +4 1=1 ,则b a+b的最小值为( )a4【答案】cb6c9 d10【解析】a 0,b 0 , a +4 1 4 1 =1 , +b =a+ +b b 4 4=5 +ab + 5 +2 ab =9 ab ab,当且仅当 4ab = , 1 ab a = , 时,即 3 时取“ =”.故答案选 c 4a + =1 b =6 b6若a 0, b 0,则“a +b 4 ”是 “ ab 4 ”的_条件【答案】充分不必要【解析】当a 0, b 0时,由基本不等式,可得 a +b 2

4、 ab ,当a +b 4时,有 2 ab a +b 4 ,解得ab 4,充分性是成立的;例如:当a =1, b =4时,满足 ab 4 ,但此时 a+b =54,必要性不成立,综上所述,“a +b 4 ”是“ ab 4 ”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.7已知 x -1,则3 x +3x +1的最小值是_.【答案】3【解析】因为 x -1,所以x +1 0,所以 3 x +3 3 3 =3 x +1 + -3 2 3 x +1 x +1 x +1 x +1-3 =3(当且仅当x =0时,等号成立).8已知正实数 满足 【答案】6x+ y+ 3 = xy,则 x +y 的最小值为_2

5、2 + 7 3 + 6m( x +y )【解析】由题得 x+ y+ 3 = xy 42,所以(x +y ) 2 -4( x +y) -12 0,所以(x +y -6)( x +y +2) 0,所以 x+y6 或 x+y-2(舍去),所以 x+y 的最小值为 6. 当且仅当 x=y=3 时取等.故答案为:69(i)证明: 2 + 7 3+ 6 ;(ii)正数 a ,b满足 a +4b =1,求1 1+a b的最小值.9【答案】()见解析()【解析】()证明:要证 2 + 7 3 + 6 ,只需证( )2( )2,即证 9 +2 14 9 +2 18 .由于 14 18 ,所以 9 +2 149

6、+2 18 成立, 即 2 + 7 0, y 0,且2 1+ =1x y,x +2 y m 2 +7 m恒成立,则实数 的取值范围是()ac( -8,1)( -,-1)(8, +)bd( -,-8) (1,+) ( -1,8)【答案】a3() (ma , b6 +400【解析】由基本不等式得x +2 y =2 1 4 y x 4 y x+ x +2 y = + +4 2 +4 =8 x y x y x y,当且仅当4 y x= x , y 0 x y),即当x =2 y时,等号成立,所以,x +2 y的最小值为8.由题意可得m2+7 m (x+2y)min=8,即 m2+7 m -8 0 ,解

7、得m 1 .因此,实数 的取值范围是(-,-8)u(1,+),故选:b.11下列命题中:若 a2 +b 2 =2 ,则 a +b的最大值为 2 ;当a 0, b 0时,1a+1b+2 ab 4;y =x +4x -1a b的最小值为 5 ; 当且仅当 均为正数时, + 2b a恒成立.其中是真命题的是_(填上所有真命题的序号) 【答案】【解析】若 a 2 +b 2 =2 ,则 a +b的最大值为 2a2+b2=2 2 ab ( a +b )2=a2+b2+2 ab 4 a +b 2,正确当a 0, b 0时,1a+1b+2 ab 41 1 1+ +2 ab 2 +2 ab 4 a b ab,a

8、 =b =1时等号成立,正确y =x +4x -1的最小值为5,取x =0, y =-4错误当且仅当 a , b 均为正数时,ab+ba2恒成立a , b均为负数时也成立.故答案为 12已知 a、b 两地的距离是 100km,按交通法规定,a、b 两地之间的公路车速 x 应限制在 60120km/h,假 x 2 设汽油的价格是 7 元/l,汽车的耗油率为 l / h,司机每小时的工资是 70 元(设汽车为匀速行驶),那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用是多少?4s =6 x + yy =6 x +y =720 x +【答案】80,280【解析】设总费用为w则w =100

9、 x 2 100 4200 7 x 7000 11200 7 x6 + 7 +70 = + + = + (60 x 120) x 400 x x 4 x x 4w =11200 7 x+ 280(60 x 120) x 4当11200 7 x= x =80 x 4时等号成立,满足条件故最经济的车速是80km / h,总费用为 280.素养达成13某单位修建一个长方形无盖蓄水池,其容积为1875立方米,深度为3米,池底每平方米的造价为100元,池壁每平方米的造价为120 元,设池底长方形的长为 x 米.(1)用含 x 的表达式表示池壁面积 s;(2)当 x 为多少米时,水池的总造价最低,最低造价是多少?【答案】(1) 625x;(2)当 x =25 米时,最低造价是 98500 元.【解析】(1)由题意得:池底面积为1875 625 =625 平方米,池底长方形的宽为 米3 x 625 s =2 x + 3 =6 x + x 6

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