高中数学常见不等式典型例题解析汇编

1、-2, -2aaaa学习-好资料概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a b ,c d ，则 a +c b +d（若a b, c b -d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0, c d 0，则ac bd（若a b 0,0 c c d）；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b 0 ，则 a n b n 或na nb；4若ab 0，a b，则1 1 1 1 ；若 ab b ，则 a b a b。如（1）对于实数a

2、, b, c中，给出下列命题：若a b , 则ac2bc2； 若ac2bc 2 , 则a b；若a b ab b2； 1 1若a b 0, 则 a b；b a若a b a b； 若a b b；若c a b 0, 则a b 1 1 ； 若a b, ，则 a 0, b b c ，且 a +b +c =0,则ca的取值范围是_（答：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3 分析法；4 平方法；5 分子（或分母）有理化；6 利用函数的单调性；7 寻找中间量或放缩法 ；8 图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方

3、法。如 1 ）（1）设a 0且a 1, t 0，比较12log t和 log aat +12的大小1 t +1（ 答 ： 当 a 1 时 ， log t log2 2（ t =1 时 取 等 号 ）； 当0 a 2，p =a +1a -2，q =2-a2+4a -2，试比较p , q的大小（答：p q）；（3）比较 1+ log 3 与 2 log 2( x 0且 x 1)x x更多精品文档的大小xx ab +学习-好资料（答：当0 x 4 4时， 1+ log 3 2log 2 ；当 1 x 0)( x 0)的最大值是的最小值是2 -4 32 -4 3（答：c）；（2）若x +2 y =1，

4、则2x +4 y的最小值是_（答：2 2）；（3）正数 x, y 满足 x +2 y =1，则1 1+x y的最小值为_（答：3 +2 2）；4.常用不等式有：（1）a 2 +b 2 a +b 2 2 2 1 1a b(根据目标不等式左右的运算结构选用 ) ；（2）a 、b、cr ，a2+b2+c2ab +bc +ca（当且仅当a =b =c时，取等号）；（3）若 a b 0, m 0 ，则b b +ma a +m（糖水的浓度问题）。如如果正数 a 、 b 满足 ab =a +b +3 ，则 ab 的取值范围是_（答：9, +)）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步

5、骤是：作差（商） 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：1 1 1 1 1 1 1 - = = -n n +1 n ( n +1) n 2 n ( n -1) n -1 n1 1 1k +1 - k = b c，求证：a 2 b +b 2 c +c 2 a ab 2 +bc 2 +ca 2；(2) 已知a, b, c r，求证：a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 abc ( a +b +c )；（3）已知a , b, x , y r+，且1 1 , x y a b，求证：x yx +a y +b；(4)若 a、b、c是

6、不全相等的正数，求证：lga +b b +c c +a+lg +lg lg a +lg b +lg c 2 2 2；（5）已知a, b, c r ，求证： a2b2+b 2 c2+c2 a2abc ( a +b +c )；(6)若 n n * ，求证：( n +1)2+1 -( n +1) n2+1 -n；更多精品文档学习-好资料(7)已知| a |b |，求证：| a | -| b | | a | +| b | a -b | | a +b |；（8）求证：1 +1 1 1 + + + 222 32 n2。六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积， 并使每

7、一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如f ( x )（1）解不等式( x -1)(x +2)20。（答：x | x 1 或 x =-2）；（2）不等式( x -2) x2-2 x -3 0的解集是_（答：x | x 3或x =-1）；（3 ） 设函数f ( x )、g ( x)的定义域都是 r ，且f ( x ) 0的解集为x |1 x 0的解集为_（答：( -,1)2, +)）；（4）要使满足关于x的不等式2 x 2 -9 x +a 0（解集非空）的

8、每一个x的值至少满足不等式x 2 -4 x +3 0和x 2 -6 x +8 0中的一个，则实数a的取值范围是_.（答：817, )8）七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不 等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式x25 -x -2 x -30的解集为(1,+)，则关于x的不等式ax +bx -20的解集为_（答：( -,-1) (2, +)）.八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2 -3 1 x | 2

9、- | x + |4 2（答：x r）；（2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；如解不等式| x | +| x -1| 3（答：( -,-1)(2, +)）（4）两边平方：如若不等式| 3x +2 |2 x +a |对x r恒成立，则实数a的取值范围为_。（答：4 3）九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关 键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按 参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若loga231或0 a x ( a r )（答：a =0时，x | x 0时，x | x 1 1或

10、x 0 ；a 0 时，x | x 0 a a或 x 0的解集为( -,1)，则不等式x -2ax +b0的解集为_（答：（1,2）十一含绝对值不等式的性质：a、b 同号或有 0 | a +b |=|a | +| b | a | -| b |=|a -b | ；a、b 异号或有 0 | a -b |=|a | +| b | a | -| b |=|a +b |.如设f ( x) =x2-x +13 ，实数 a 满足 | x -a |1 ，求证： | f ( x) - f ( a) |a在区间d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f (x)amin若不等式f (x)b在区间d上恒成立,则等价于在区间d上f (x)a对一切实数 x恒成立，求实数 a的取值范围_（答：a m( x2-1)对满足m 2的所有m都成立，则x的取值范围_（答：（7 -1 3 +1 , ）；2 2（4）若不等式( -1) n a 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m -12）更多精品文档学习-好资料2). 能成立问题若 在 区 间d上 存 在 实 数 x 使 不 等 式f (x)a成 立 , 则 等 价 于 在 区 间d上f(x)a；max若 在 区 间d上 存 在 实 数