高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义汇编

1、dx( )00学习-好资料第三章 导数及其应用一、变化率与导数1、定义：设y = f (x)在x=x处取得一个增量dx(dx0).0dy函数值也得到一个增量dy, 称 为从x 到x +dx0 0的平均变化率.若当时dx 0时，有极限存在， 则称此极限值为函数y在x =x 处的瞬时变化率，0dy f (x +dx)-f(x)记为 lim =lim 0 0 ，也称为函 dx 0 dx dx 0 dx数y在x =x 处的导数，记作f (x)或y 0 0f (x +dx)-f(x)即f x =lim 0 0 . dx 0 dxx =x,说明：导数即为函数 y = f(x)在x =x 处的瞬时变化率 .

2、 02、几何意义 :dx 0时，q沿f (x)图像无限趋近于点p时，切线pt的斜率 .即 f(x0)=kpt.3、导函数（简称为导数）y = f(x)称为导函数，记作y，即f(x)=y=limdx 0dydx=limdx 0f (x+dx)-f(x) dx.二、常见函数的导数公式1 若 f ( x) =c(c 为常数)，则 f(x) =0；2 若f ( x) =xa,则f(x) =axa-1;3 若 f ( x ) =sin x ,则 f4 若 f ( x ) =cos x ,则 f(x) =cos x(x) =-sin x;5 若f ( x) =ax,则f(x) =a x ln a6 若f

3、( x ) =ex,则f(x) =ex更多精品文档学习-好资料7 若 f ( x ) =logxa,则 f(x) =1x ln a8 若 f ( x) =ln x,则 f(x) =1x三、导数的运算法则1. f ( x ) g ( x)=f(x) g(x)2. f ( x ) g ( x)=f(x) g ( x ) + f ( x) g(x)3.f ( x) f (x) g ( x) -f ( x) g =g ( x) g ( x)2(x)四、复合函数求导y = f (u ) 和 u =g ( x ),称则 y可以表示成为 x 的函数,即 y = f ( g ( x )为一个复合函数，则y=f

4、(g( x ) g(x)五、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间 ( a , b )内，如果 f(x) 0，那么函数 y = f ( x )在这个区间单调递增；如果 f(x) 0,则f(x)仍为增函数.例如：f (x)=x3在r上有f (0)=0，其余恒有f (x)0,，f(x)=x3仍为r上的增函数， 其函数图像为：更多精品文档学习-好资料（2）求单调区间的步骤：求f(x)的定义域；求导f(x)；3 令f4 令f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间. (x)0，解集在定义域内的部分为减区间.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用 “ u”、“或” 相连，

5、应该用“，”隔开或用“ 和”.（3）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用“ 若f (x)单调递增，则f 则f (x)0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！(x)0；若f(x)单调递减，2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：若对x 附近的所有的点，都有f (x)f(x)0 0 且f (x)=0，则称f (x)是函数f (x)的一个极0 0小值.称x 是极小值点.0说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：1 确定定义区间，求导f (x)；2 求方程f (x)=0的解x；0检查x 左右两边 f (x

6、)的符号：0i、如果在x 附近的左侧f (x)0,那么f (x)是极大值;0 0ii、如果在 x 附近的左侧f (x)0,右侧f(x)0,那么f (x)是极小值;0 0iii、如果在 x 左右两侧导函数不改变符号，那么 f (x)在x处无极值.0 0更多精品文档学习-好资料说明：在解答过程中通常用列表：3、4、 函数的最值与导数求函数 y = f ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤1 求函数 y = f ( x)2 将函数 y = f ( x)在 ( a , b)内的极值；的各极值与端点处的函数值 f ( a )， f ( b )比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明

7、：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.5、6、 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：更多精品文档/ / =/() () () / x n学习-好资料扩展：常见的导函数构造函数型： 1、关系式为“ 加”型(1)f/(x)+f(x)0构造 e x f (x)=exf/(x)+f(x)(2)xf/(x)+ f(x)0构造 xf(x)=xf/(x)+ f(x)(3)xf/(x)+nf(x)0构造 xn f (x)=xnf/ (x)+nxn-1f(x)=xn -1 xf /(x)+nf(x)(注意对x 的符号进行讨论2、关系式为“ 减”型)(1)f/(x)-f(x)0构造f (x) f / (x)ex-f(x)ex f / (x)-f(x) (ex)2 (ex)2 e x f (x)xf / (x)-f(x)2 xf