第八章 立体的投影及直线、平面与立体相交

1、第八章 立体的投影及直线、平面与立体相交 基本形体可分为平面立体和曲面立体 平面立体：表面由平面围成的几何体 曲面立体： 表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体 平面平面 立体立体 曲面曲面 立体立体 8 81 1 平面立体的投影平面立体的投影 平面立体的表面由若干平面（多边形）围成，各平面间 的交线称为棱线或底边，它们间的交点称为顶点。工程 上最常见的平面立体为棱柱和棱锥。 一、棱柱体 2） 棱柱的三视图 1） 棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱面组成。 侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线， 侧棱线相互平行。 在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面，在平面图中反映 实形。前后两侧棱面是正平面， 其余四

2、个侧棱面是铅垂面，它们 的水平投影都积聚成直线，与六 边形的边重合。 点的可见性规定： 若点所在的平面的投影可 见，点的投影也可见；若平面 的投影积聚成直线，点的投影 也可见。 由于棱柱的表面都是 平面，所以在棱柱的表面 上取点与在平面上取点的 方法相同。 3） 棱柱表面上取点 a a a (b ) b b s s 二、棱锥体 2）棱锥的三视图 b a c a b c a(c) b 1） 棱锥的组成 由一个底面和几个侧 棱面组成。侧棱线交于有 限远的一点锥顶。 棱锥处于图示位置时，其 底面ABC是水平面，在平面 图上反映实形。侧棱面SAC为 侧垂面，另两个侧棱面为一般 位置平。 s ( ) s

3、 s 3）在棱锥面上取点 k k k b a c a b c a(c) b s n n n 同样采用平面上取点法。 截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。 截平面 截切物体的平面 截交线 截平面与物体表 面的交线 截断面 截交线所围成的图形 讨论的问题：截交线的分析和作图 S A B C P III III截断面 截平面 截交线 82 平面与平面立体相交 截交线的性质： 截交线是截平面与立体表面的交集，是共有线。截交线上 的点、线，属于两者的共有点、线。 截交线为封闭的平面图形。 求截交线的问题，实质上就是求平面与立体表面的共 有点、线的问题。可用求线面交点的方法，或用求两面交 线的

4、方法来解题。 解题步骤 1.形体分析 2.求六条棱线与截 切平面 的交点 3.整理图形，加深 图线 一、平面与棱柱相交一、平面与棱柱相交 求六棱柱截切后的侧面投影求六棱柱截切后的侧面投影 二、平面与棱锥相交二、平面与棱锥相交 补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影 解题步骤 1.形体分析 2.求棱线与截切平面的 交点 3.整理图形，加深 图线 y y y y 8 83 3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 平面与平面立体相交，其截交线为平面曲线。 一、平面与圆柱相交 截平面与圆柱的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线 的相对位置 垂直 圆椭圆 平行 矩形 倾

5、斜 P PV V P P P PV V P P P PV V P P 截交线的已知投影？ 求圆柱被截切后的侧面投影 找特殊点 补充中间点 光滑连接各点 分析轮廓素线的投影 截交线的侧面投影是 什么形状？ 截交线的截交线的 空间形状？空间形状？ 找特殊点 找中间点 光滑连接各点 分析轮廓素线的投影 求圆柱被截切后的侧面投影 椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。 4545 什么情况下什么情况下 投影为圆呢？投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴线 成45时。 解题步骤 1.图形分析 2.绘制圆柱轮 廓 3.求截交线 4.整理加深图 线 求圆柱开槽后的侧面投影求圆柱开槽后的侧面投影 求圆柱

6、截交线求圆柱截交线 解题步骤 1分析 截交线为 矩形、椭圆及圆 和直线的组合； 截交线的水平投 影为已知，侧面 投影为矩形、椭 圆和直线的组合； 2求出截交线上 的特殊点、 、 、； 3求一般点； 4 顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性； 5整理轮廓线。 3 3 1 1 2 2 4 4 5 5 3 2 5 14 二、平面与圆锥相交 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 截交线有五种形状。 过锥顶过锥顶 三角形三角形 P PV V 圆圆 P PV V = 90= 90 P PV V 椭圆椭圆 抛物线和抛物线和 直线段直线段 P PV V = 双曲线和双曲线和 直线段直线段 P PV

7、V = 0= 0 圆锥被正垂面截切，求截交线，并 完成三视图。 截交线的空 间形状？ 截交线的投 影特性？ 找特殊点 如何找椭圆另 一根轴的端点？ 补充中间点 光滑连接各点 分析轮廓线的 投影 圆锥被正垂面截切，求截交线，并 完成三视图。 解题步骤 1.图形分析 2.求截交线上的特 殊点 3.求截交线上的一 般点 4.加深图线 补全圆锥截切后的正面投影补全圆锥截切后的正面投影 分析并想象出圆锥穿孔后的投影分析并想象出圆锥穿孔后的投影 三、平面与圆球相交 平面与圆球相交，截交线的形状 都是圆，但根据截平面与投影面的 相对位置不同，其截交线的投影可 能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 求圆球截交线求圆

8、球截交线 解题步骤 1分析 截平面为 正垂面，截交线为 圆；截交线的水平 投影和侧面投影均 为椭圆； 2求出截交线上的 特殊点、 、 、 ； 3求出若干个一般 点A、B、C、D； 4光滑且顺次地连 接各点，作出截交 线，并且判别可见 性； 5整理轮廓线。 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 56 7 8 7 8 ab c d b a c d 2 1 34 56 7 8 ab cd 求半球体截切后的俯视图和左视图 水平面截圆球的截交线的投 影，在俯视图上为部分圆弧， 在侧视图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交线 的投影，在侧视图上为部分 圆弧，在俯视图上积聚为直 线。 求半球体截切后的俯视图和左视图 例：四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影 。 3 3 2 2 1 1 ( (4 4 ) ) 3 3 2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 4 4 1) 空间分析 1 1 2) 投影分析 3) 求截交线 4) 补全棱线的投影 检查:尤其注意检查 截交线投影的相仿性 s ss 我 们 采 用 的 是 哪 种 解 题 方 法？ 线面交点法 截平面与体的 几个棱面相交？ 截交线的形状？ 四边形 例：已知立体的V、W投影，试求其H投影。 单击立体模型区可观看三维动画 4 例：求例：求P P、Q Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥截交线的投影 1 解题步骤