完整版,二次根式知识点总结及常见题型

1、二次根式知识点总结及常见题型资料编号：20190802一、二次根式的定义形如.a( a 0)的式子叫做二次根式其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数(1 )二次根式有意义的条件是被开方数为非负数据此可以确定字母的取值范围；(2 )判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断： 是否含有二次根号“、，”； 被开方数是否为非负数若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式(3) 形如m、.a ( a 0)的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是m 一 a m a ( a 0);(4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式A B与.BA都有意义，则有A B

2、.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：(1) 双重非负性:a 0，a 0；(主要用于字母的求值)(2) 回归性：、a2 a ( a 0);(主要用于二次根式的计算)(3) 转化性：a2a a(a 0).(主要用于二次根式的化简)a(a 0)重要结论：(1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若 A B2 C 0,则 A 0，B0，C0.应用与书写规范： A B2 C 0,A 0, B2 0,、C 0 A 0, B 0,C0.该性质常与配方法结合求字母的值.(2).A2BA BAB A；主要用于二次根式的化简V1 1BA ABA. B,A2 B A0(3),其中B 0;A2 B A

3、0该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简：可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内，以达到化简的目的(4)A B 彳A2 B,其中 B 0.该结论主要用于二次根式的计算例1.式子在实数范围内有意义,则X的取值范围是分析:本题考查二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，注意分母不能为0.第21页解：由二次根式有意义的条件可知:x 10 , x 1.例2.若x, y为实数，且y x 1. 1 x 1，化简：一-2 y 1分析：本题考查二次根式有意义的条件 ，且有重要结论：若二次根式 A B与. B A都有意义,则有AB.解：/ x 1 0,1x 0 x 1,x w 1 x 11

4、1 , y 0 0122 y 1 1y1y 1 y1习题1.如果J3a 5有意义，则实数a的取值范围是 习题2.若y 飞 73 x 2,则xy 习题3.要使代数式V1 2x有意义，则x的最大值是 .J1 2x习题4.若函数y ，则自变量x的取值范围是 x习题 5.已知 b J3a 120, b 2 0 a 10,b 20 a 1,b 2 ab 1 22 选择【D .例4.无论x取任何实数，代数式站 6xm都有意义，则m的取值范围是 .分析：无论x取任何实数，代数式 x26x m都有意义，即被开方数x2 6x m 0恒成立,所以有如下两种解法解法-由题意可知:x2 6xm 0/ x26x m x

5、 3 2 m9 0 x23 9 mT x23 0 9m 9.解法二1 :设 y x2 6x m无论x取任何实数，代数式- x2 6x m都有意义 y x2 6x m 0恒成立即抛物线y x2 6x m与x轴最多有一个交点26 4m 36 4m 9.例5.已知a,b,c是厶ABC的三边长，并且满足-a 6 8 b c2 100 20c,试判断 ABC的形状分析：非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值解:/ . a 68 b c2100 20c.a6b8c220c1000 .a6b8c10 20 2、a 6 0, b 8 0, c 10 0 a 6 0,b 8 0, c 10 0 a 6,b 8

6、,c 10 a2 b26282100,c2102100 2 ,2 2a b c ABC为直角三角形习题6.已知实数x, y满足x 4,y 80 ,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长为(A) 20 或 16(C) 16(B) 20(D )以上答案均不对习题7.当x 时，丁9x 11取得最小值，这个最小值为 Jx24 J4 x2习题8.已知y ，则xy的值为x 2习题9.已知非零实数a,b满足、.a2 8a 16 b 3. a 5 b2 14 a,求 ab 1的值.提示：由a 5 b221 0,且 b 10可得：a 5 0, a 5.例6计算:2(1) .6 ;(2)2x(3)3II分析:

7、本题考查二次根式的性质.、aa ( a 0) 该性质主要用于二次根式的计算L 2解: (1) ,66;(2) 22x 32x 3;(3)注意:AB 2A2B,其中B 0.该结论主要用于二次根式的计算例7.化简:(1)、252 ;(2)2107(3) 、x2 6x 9 x 3 .分析:本题考查二次根式的性质2.aaa(a 0)该性质主要用于二次根式的化简a(a 0)解: (1) . 25225 25；(2)2107107107(3)6x 9原式 3B .该结论主要用于二次根式和绝对值的化B例8.当*有意义时，化简:|x 解：二次根式、x 3有意义二 x5x2 22, 1 xx5| |x21 xx

8、5 x2x 13x2例9.化简：,x2 23 x 2分析：.x22x 2,继续化简需要x的取值范围，而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件：、x 3的被开方数x 3为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知：一 x 3 0 x 3. x 3 彳.x 2x3x2x3x22x 5例10.已知0 a1石1石Va1 寸a1a%a1 0.A2 B A 01解:由二次根式有意义的条件可知：丄0a二 a 0 *；,2 a .选择【-习题23.化简2 a得.三、二次根式的乘法一般地，有:.a . b . ab ( a 0, b 0)(1 )以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的条件：a 0, b 0.即

9、参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数；(2) 二次根式的乘法公式用于二次根式的计算；(3) 两个带系数的二次根式的乘法为：a n】b mn_ab ( a 0,b 0);(4) 二次根式的乘法公式可逆用，即有：.ab 、a 、-b ( a 0, b 0)公式的逆用主要用于二次根式的化简注意公式逆用的条件不变例14.若、一 x - x 6.xx 6成立则【】(A) x 6( B) 0 w x w 6(C) x0( D) x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:a -.b . ab ( a 0,b 0)解:由题意可得解之得:x 6.选择【A .例15.若Jx21v x 1成立

10、,则x的取值范围是分析：本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件：、ab ,a ,b ( a 0,b 0)解:由题意可得解之得:x 1.例16.计算:2a(a0)解：.2aV212a -a8习题24.计算:需.27习题25.已知m2、21，则有(B) 4(A) 5(C)5 m 4(D)6 m 5习题26.化简J2的结果是四、二次根式的除法一般地，有:(1 )以上便是二次根式的除法公式，要特别注意公式成立的条件；(2) 二次根式的除法公式用于二次根式的计算；(3) 二次根式的除法公式可写为：一 a 、.b . a b ( a 0,b 0 )(4)二次根式的除法公式可逆用，即有:a- ab小(a 0

11、，b 0)公式的逆用主要用于二次根式的化简，注意公式逆用的条件不变五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式(1 )被开方数中不含有完全平方数或完全平方式(2 )被开方数中不含有分母或小数.注意：二次根式的计算结果要化为最简二次根式六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程 ，叫做分母有理化1如对进行分母有理化1，过程为：1 0,b 0 ) 解:由题意可得解之得:x 2 .例20.计算:解: (1)、2 3 47527525(2)201 .2012.5.5.5(3)解法1：、32、8、32、2 、2、16解法2:.264.16220 1二次根式的乘除混合运算 例21 计算:(2) 、12

12、.27、18.3016 2（2）原式罟18启恵2、2习题27.下列计算正确的是(A) J22,3(C) x3 x. x,32:2(D) 、x x习题28计算:J27 J8 J-. 3 2习题29计算：4丿6歹 2彳.V 3习题30.直线y J3x 1与x轴的交点坐标是 习题31.如果ab 0, a b 0 ,那么下面各式：其中正确的是 （填序号）习题32.若ab 0,则化简Jab2的结果是.习题33.计算：（1） J2丄 3岳i2- ;（2）-V18 82j4丄V 2 7436 M2例22.先化简再求值:3x 1x 1x2 4x 4 亠一,其中x 、.22x 1一32x4x4解:x1x1x 1

13、3x1 x 1x1x1x 1x22x2x2x1x1x22x2x2当x 、22时原式2一222 4 2.2 1.2 2 2V2习题34.先化简，再求值:.二 1 口 ,其中a 2a 1 a2 2a 1 a 11.2习题35.先化简,再求值：Xyx 1x2 2x y-22x 2xy y，其中x习题36.下列根式中是最简二次根式的是(B)3(C) 9(D)【 】12（3 ）检查结果第25页例23.观察下列各式11 、21 、2 1 、22 1；.32- 43;123232 i3 、231 3. 4、3-43 i44(1) 请利用上面的规律直接写出 的结果；v99 V100（3）计算11111, 20

14、17：1 .2、2.3,3.42016.2017分析:本题考查分母有理化.解:（ 1）199100、100, 9910 3、11;（）nb 1 E（3）原式2 1.3、2.4. 2017.20161.2017.20171 . 201712017 12016习题37. 化1 简：1112 1.32.98 七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同，那么它们是同类二次根式同类二次根式的判断方法：（1 ）先化简二次根式；（2）看被开方数是否相同；（3）定结果：若相同，则它们是同类二次根式；若不相同，则不是同类二次根式的合并方法：几个同类二次根式相加减，将它们的系数相加减，二次根式保持不变八、二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再合并同类二次根式二次根式加减运算的步骤 ：（1）化简参与运算的二次根式；（2）合并同类二次根式；例24.计算:(1) 、8 ,18