(完整版)高中常见数学模型案例

1、高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部 2003 年 4 月制定的普通高中数学课程标准中明确指出：“数 学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学 习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的 价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问 题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能 力。”教材中常见模型有如下几种:一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在 处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变

2、量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形 式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题， 这些都属于函数模型的范畴。1、正比例、反比例函数问题例 1：某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让 利销售后仍可获得售价 25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是_。分析：欲求货物数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、 新价之间的关系。若设新价为 b，则售价为 b（120%），因为原价为 a，所以进价为 a（125）解 ： 依 题 意 ， 有b (1 -0

3、.2) -a (1 -0.25) =b (1 -0.2) 0.25化 简 得b =54a， 所 以y =0.2bx =5 aa 0.2 x，即 y = x, x n 4 4+2、一次函数问题例 2：某人开汽车以 60km/h 的速度从 a 地到 150km 远处的 b 地，在 b 地停留 1h 后， 再以 50km/h 的速度返回 a 地，把汽车离开 a 地的路 x（km）表示为时间 t（h）的函数， 并画出函数的图像。分析：根据路程速度时间，可得出路程 x 和时间 t 得函数关系式 x（t）；同样，可 列出 v(t)的关系式。要注意 v(t)是一个矢量，从 b 地返回时速度为负值，重点应注意

4、如何画 这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。解 ： 汽 车 离 开 a 地 的 距 离 x km 与 时 间 t h 之 间 的 关 系 式 是 ：60 t , t 0,2.5x =150, t (2.5,3.5150 -50( t -3.5), t (3.5,6.5，图略。60, t 0,2.5) 速度 vkm/h 与时间 t h 的函数关系式是： v =0,t 2.5,3.5)，图略。-50, t 3.5,6.5)3、二次函数问题例 3：有 l 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全 等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗

5、所通过的光线最多，并具体标出 窗框面积的最大值。解：设小矩形长为 x，宽为 y，则由图形条件可得： 9 y =l -(11 +p ) x要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：11x +px +9 y =lpx 2 p 2 44 +p 2 l 2 l 2 s = +6 xy = x 2 + lx -(11 +p) x 2 =- ( x - ) 2 +2 2 3 6 44 +p 3(44 +p)当x =2l44 +p时，y =l -(11 +p) x (22 -p) l=9 9(44 +p)即：x 18=y 22 -p此时窗框面积 s 有最大值s =m ax2 l 23 (44 +p)。可

6、见，一般的设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根据问题已知条件， 运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学 问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。二、数列模型数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问 题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。例 4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果 贷款 10000 元，两年还清，月利率为 0.4575，那么每月应还多少钱呢？分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷 款两年（即 24

7、 个月）付清时，10000 元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通 过填表来回答：10000 元贷款的本金（元）与它的利息之和1 个月后2 个月后3 个月后 23 个月后24 个月后通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同 到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。x +1.004575 x +l+1.00457523x =10000 1.00457524可以发现，上述等式是一个关于 x 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为 1，公 比为 1.004575 的等比数列的前 24 项的和，于是：( )m-1(

8、 )m-2n即x =1 -1.004575 24x =10000 1.0045751 -1.00457510000 1.004575 24 (1 -1.004575)1 -1.004575 2424解之得x 440.91提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款 a 元，m 个月将款全部付清，月利率为 r，那么 每月付款款额的计算公式是什么？显然问题转化为建立关于 x 的方程。设采用分期付款方式贷 a 元，m 个月将款全部付清，月利率为 r，每月付款 x 元，那么：a (1 +r ) m =x 1 +rx + 1 +r +.1+x(+r)2+x(1+r)+x把右边求和，得a(1 +r ) m =x

9、(1 +r ) m -1r，所以：x =ar (1 +r ) m (1 +r ) m -1万元。三、初等概率模型古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际 问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率 来解决。例 5：将 n 个球随机地放入 n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。分析与求解：因为每一个球都可以放进 n 个盒子中的任一个盒子，共有 n 种不同的放法， n 个球放进 n 个盒子就有 nnn= n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为nn个。现在来求每个盒子恰有一个球时

10、，球的不同放法的种数。第一个球可以放进 n 个盒子之一，有 n 种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒 子之一，有（n-1）种放法，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以 n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有n!种不同的放法，因而所求得概率为：p ( a) =a nn n。几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域 可以是一维、二维甚至 n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某 一个可度量的子集 a 的可能性与 a 的几何测度成正比，而与 a 的形状及位置无关。如下面 的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。例 7：两位网友相约见面，约定在下午 4:00 到 5:00 之间在某一街角相会，他们约好当 其中一人先到后，一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相 遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内） 解：以 x、y 分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：xy20，两 人到达时刻的所有可能结果可用边长为 60 的正方形区域上的任意点（x，y）表示，该正方形上的所有点的集合构成了样本空间。如下图的阴影部分（满足不等式xy20 的点的集合）表示“两人能相遇”这一事 件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积