2020-2021学年数学新教材人教B版选择性必修第三册课时分层作业：6.3 利用导数解决实际问题 Word版含解析

1、课时分层作业(十八)利用导数解决实际问题(建议用时：40分钟)一、选择题1将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()a2和6b4和4c3和5d以上都不对b设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小2某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()a32,16b30,15c40,20d36,18a要使材料最省，则要求新砌的墙

2、壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长l2x(x0)，则l2.令l0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使l最短3某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入r与年产量x的关系是r(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()a100b150c200d300d由题意，得总成本函数为c(x)20 000100x，总利润p(x)r(x)c(x)所以p(x)令p(x)0，得x300，易知x300时，总利润p(x)最大4某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为q件，则销售量q与零售价p有如下关系

3、：q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()a30元b60元c28 000元d23 000元d设毛利润为l(p)，由题意知l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以l(p)3p2300p11 700.令l(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，l(30)23 000.因为在p30附近的左侧l(p)0，右侧l(p)0，所以l(30)是极大值，根据实际问题的意义知，l(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元5用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容

4、器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为()a8 cmb9 cmc10 cmd12 cmc设容器的高为x cm，容器的体积为v(x)cm3，则v(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24)，所以v(x)12x2552x4 320，由v(x)0，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，v(x)0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米7已知矩形的两个顶点a、d位于x

5、轴上，另两个顶点b、c位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大为_由题意，设矩形边长ad2x，则ab4x2，矩形面积为s2x(4x2)8x2x3(0x2)s86x2.令s0，解得x1 ，x2 (舍去)当0x0；当 x2时，s0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小三、解答题9统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以多少千米

6、/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数单调递增故当x80时，y取得最小值10.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边a处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的b处，乙厂到海岸的垂足d与a相距50 km.两厂要在此岸边a，d之间合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站c建在何处才能使水管费用最省？解设c点距d点x km，则ac50x(km)，所以bc(km

7、)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()a0.016 2b0.032 4c0.024 3d0.048 6b由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2(0x0.048 6)令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，

8、y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益12(多选题)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，若长方体的宽为x m，则()a长方体的体积v(x)(9x26x3)m3b长方体的最大体积v3c长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 md长方体的体积最大时，高为1.5 mbcd设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h3x(m) ，故长方体的体积为v(x)2x29x26x3，故a错误；从而v(x)18x18x218x(1x)，令v(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，v(x)0)，则水桶的高为，

9、所以sr22rr2(r0)求导数，得s2r，令s0，解得r3.当0r3时，s3时，s0.所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省14.(一题两空)为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从a孔流入，经沉淀后从b孔流出，设箱体的长为a米，高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(a，b孔的面积忽略不计)63设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)，得b(0a3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为v，由题意知vr2lr3，又v，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r,03，所以c20.当r30时，