几何基础学习指导

1、几何基础学习指导 （7）第5章 二次曲线重难点解析1 二次曲线的概念教材中首先给出了二次曲线的代数法定义： 二次曲线：满足二次方程2 2 2a11x1 a22 x2 a33 x3 2a12 x1x2 2a13 x1 x3 2a23 x2 x3 03或写成 aij xixj 0,aij ajiij 1的全体点 x1,x2,x3 称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹 .二级曲线：满足二次方程 b1112b2222b33322b121 22b131 32b232 3 03或写成 bij i j 0,bij bji 的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的ij 1包络 .二阶曲线和二级曲线统称二次曲

2、线。两个不共心的射影线束 （两个不共底的射影点列） ，对应直线的交点 （对应点的连线） 的全体连同两个线束的中心（两个点列的底）组成一条二阶曲线（二级曲线） . 这实际上 给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义） ： 二阶曲线：两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。二级曲线：两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线 . 当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二 直线（二点） 。此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。一个由射影线束生成的二阶 （二级） 曲线，可以由其上任意二点 （二线） 为中心（底） 构成的

3、射影线束（点列）生成 . 由此定理推出两个重要的结论：1） 平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线），可决定唯一一条二阶曲线（二级曲线） .2） 二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线）与其上任意第五点所连四直线（任意第五条 直线相交）所得四线（四点）的交比不变 .利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。2巴斯卡（ Pascal ）定理和布利安香（ Brianchon ）定理这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点： （1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出，教材中已经给出这两个定理的证明。值得注意的是，巴斯卡定理的证明中，射影中心的选择

4、可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的两 点。( 2)这两个定理的逆定理也是成立的。(3)这两个定理的应用： 已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点(见典型例题) ；对偶地， 已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。 可利用他们证明三点共线问题(见典型例题) ；对偶地，也可用之证明三线共点问题。3二次曲线的极点与极线 极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的作 用。极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。1) 调和共轭点：如 果 两 点 P,Q被它 们连 线 与 二 阶曲

5、线 的交 点 M1,M2调 和 分 离，即 PQ,M1M21，则 称 P,Q关 于 是调和 共轭 的 .2) 不 在 上 两 点 P(p1,p2,p3)， Q(q1,q2, q3 )关 于 调 和 共 轭 当 且 仅 当 aij pi q j 0 。3) 一 定 点 P(p1,p2,p3) 关 于 二 阶 曲 线 ：aij xi xj 0的 调 和 共 轭 点Q(q1,q2,q3)的 轨迹 aij pixj 0是 一 条 直线 . 这 条 直 线 称 为 P(p1,p2,p3)点 的 极线， 而点 P(p1,p2,p3)称为 直线aij pixj 0的 极点 。4) 不 在 二 阶 曲线 上

6、两点 P(p1,p2,p3)， Q(q1,q2,q3)关于 调 和 共 轭 的 充 要 条 件 是aij piq j 0。4二阶曲线的切线 我们从讨论二阶曲线(二级曲线)与直线(点)的相关位置入手，推导出二阶曲线 (二级曲线)的切线(切点)的方程。设 两 点 P,Q 的坐 标 为 P(p1,p2,p3)， Q(q1,q2,q3)， 则 直线 PQ上 任意点 的 坐 标 可 以 写 成 x1,x2 ,x3 ， 其 中xi pi qi ( i 1,2,3)(1)3为了求直线 PQ与二阶曲线aijxixj 0（aji aij ）（2）i, j 1的交点，我们将（ 1）式代入（ 2）式，得3aij（p

7、iqi）（pjqj ） 0i,j 1展开并整理，得3 3 3 32（aijqiqj）（aijpiqjaijqipj ）aijpipj0（3）i,j 1 i,j 1 i,j 1i, j 1如果 Q 点不在二阶曲线上，则（ 3）式是关于 的二次方程， 有二值适合（ 3）式，这两个值或实、或虚、或重合，所以直线 PQ 与二阶曲线或相交，或相离，或相切。33由于aji aij ，所以aijpiqj aijqipj ，因此（ 3）式可以写成i, j 1 i, j 13 3 3（aijqiqj ） 22aij piqj aij pipj 0（4）i, j 1 i,j 1 i,j 1显然当3 3 32（ai

8、jpiqj ） （aijqiqj ）（aijpipj ）0（5）i,j 1 i,j 1i, j 1时，方程有二相等实根，即表示直线PQ 与二阶曲线相切。3若点 P（ p1, p2 , p3）在二阶曲线上，则切线方程为aijpixj =0，写成矩阵形式为i ,j 1x1p1 p2 p3 A x2 0x3此方程表示过二阶曲线上一点 P（p1,p2, p3 ）的二阶曲线的切线方程。其中 A为二阶曲线的系数矩阵。类似的方法，可以讨论二级曲线与点的位置关系，求出切点的方程和切点的坐标。在 此留给同学们自己讨论。5. 二次曲线的仿射性质 本教材主要是对非退化的二次曲线来讨论它的仿射性质的。由于仿射变换也是

9、射影变 换，它是使无穷远直线 x3 0变到它自身的射影变换，所以用射影观点研究仿射性质必然与无穷远直线有关。 例如中心是无穷远直线关于这二阶曲线的极点，直径是无穷远点 的极线等等。1） 二阶曲线的中心“无穷远直线关于二阶曲线的极点称为这个二阶曲线的中心” ，这个定义与解析几何二 次曲线的中心定义“平面上的一点，如果二次曲线的通过这点的弦都被这点平分时，这 点就称为二次曲线的中心”是完全一致的。如图，设无穷远直线 l 的极点为 C，过C任作直线与二阶曲线交于 P1,P2，与l 交于 P ，l现在只要证明平分弦 P1P2。因为 C 是 l 的极点，所以有（ P1P2，CP ） 1P由于 P 是无穷

10、远点，所以（ P1P2C） 1P2 即 C 是 P1P2 的中点。 反之，如果 C 平分经过它的任意弦 P1P2，则（ P1P2C） 1 即（ P1P2，C P ） 1当弦 P1P2 变动时，无穷远直线的极点为 C。（2）直径与共轭直径“无穷远点关于二阶曲线的极线称为这个二阶曲线的直径” ，直径是普通直线，非退 化二次曲线有无穷多条直径，且对有心二次曲线而言，其直径是以中心为心的线束，这 个定义与解析几何中的定义“过中心的直线叫直径”或“一组平行弦的中点的轨迹叫做 直径”都是一致的，因为1） 由配极原则可知，中心是无穷远直线的极点，故无穷远点的极线一定通过中心。2） 设一组平行弦的公共无穷远点

11、为 P ，则当且仅当 Q为其中某弦 AB 的中点时有（ABQ） 1即 （AB,QP ） 1 所以这组平行弦的中点轨迹恰为 P 的极线。共轭直径的定义“二阶曲线的一条直径与无穷远直线交点的极线”是对有心二次曲线而言的。它与解析几何中的定义“平分与一已知直径平行的平行弦的直径叫已知直径 的共轭直径过中心的直线叫直径”或“一组平行弦的重点的轨迹叫做直径”都是一致的。设与直径 AB 平行的平行弦的交点 P ，则 P 的极线必为另一直径 EF，且 EF 平分那组平行弦，又 EF 是直径 AB 与无穷远直线的交点 P 的极线，根据配极原则 EF 与无穷远 直线的交点 P 的极线是 AB，所以共轭直径是互相

12、的。又由图可看出，由于P 的极线是EF，所以 P F 与 P E 是二阶曲 线的切线，因此过一直线的两端点所作二次曲线的 切线是平行的。3渐近线渐近线的定义“二阶曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二阶曲 线的渐近线” ，所以，只有双曲线才有渐近线， 抛物线在无穷远点处的切线是无穷远直线， 所以抛物线没有渐近线，而椭圆与无穷远直线交于虚点，所以椭圆的渐近线是虚直线。渐近线有重要性质：二阶曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭 直径。5. 二次曲线的仿射分类由于仿射变换使无穷远直线保持不变，又由于仿射变换保持结合性，所以无穷远直线 与二阶曲线的相关位置经仿射变换后不变

13、，因此研究二阶曲线的性质就可以从二阶曲线 与无穷远直线的相关位置入手。利用二阶曲线与无穷远直线的相关位置，可以把二阶曲 线分为三种类型，在每一类型中又按照二阶曲线退化与否，实、虚情况分为各种不同情 况。3设二阶曲线 ：aij xi xj 0 ( aji aij )， Aij 是 aij 中 aij 的余子式。i,j 1(1) aij 0，即 (aij )的秩为 3中心 C 的齐次坐标为 A31, A32 , A33 。若 A33 0 ，则 C 是有限点，这时中心 C 的非齐次坐标为 曲线 称为有心的二次曲线，分为两种情况：A31A33当 A33 0时，二次曲线与无穷远直线 x3 0 有两个交点，满足方程：22a11x1 2a12 x1 x2 a22 x2 0，方程有两共轭复根（看成 x1 的方程），于是无穷远直线与二次曲线有两个虚交点，这时x2的二次曲线称为椭圆 .A33 0 时，方程有