判别式二次方程根的检测器

1、第二讲 判别式次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使 用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数 根，根的符号特点等我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应 用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题【例题求解 】【例 1】 已知关于 x的一元二次方程 (1 2k)x2

2、2 k 1x 1 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ( 广西中考题 )思路点拨 利用判别式建立关于 k的不等式组，注意 1 2k、 k 1的隐含制约注：运用判别式解题，需要注意的是：(1) 解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约；(2) 在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、 不等式的知识【例 2】已知三个关于 y 的方程：y2y a0，(a1)y22y 10 和(a2)y22y 1 0 ，若其中至少有两个方程有实根，则实数 a 的取值范围是 ( )11A a 2B a 或1 x 2C a 1 D a 144(山

3、东省竞赛题)思路点拨 “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择例 3】 已知关于 x 的方程 x2 (k 2)x 2k 0 ，(1) 求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形 ABC 的一边长 a 1，另两边长 b、c 恰好是这个方程的两个根，求 ABC 的周长(湖北省荆门市中考题 )思路点拨 对于(1)只需证明 0；对于(2)由于未指明底与腰， 须分 b c或b 、c中有一个与 c相等两种情 况讨论，运用判别式、根的定义求出b、 c 的值注：( 1)涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个

4、这类题均有多 解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍( 2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上 )是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法例 4】 设 方程x2 ax 4 ， 只 有 3 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 求 a 的 值 和 相 应 的 3 个根 (重庆市竞赛题 )思路点拨 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有 3 个不相等的实数根，则其中 一个判别式大于零，另一个判别式等于零【例 5】已知：如图，矩形 ABCD 中，AD a ，DCb，在 AB 上 使 E 点与 C、D

5、的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE x，找一点 E， 问：这样的这样的点 E 有几个 ?请说明理由(云南省中考题 )点 E 是否存在 ?若存在，思路点拨 要使 RtADE、RtBEC、RtECD 彼此相似，点 E 必须满足 AED+BEC90，为此， 可设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 Rt ADE RtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式 讨论点 E 的存在与否及存在的个数注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3) 确定主元构造学力训练1已知 a 4 b 1

6、 0，若方程 kx2 ax b 0有两个相等的实数根，则 k= 2若关于 x的方程 x2 2 kx 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(辽宁省中考题 )3已知关于 x 方程 x2 2k 4x k 0有两个不相等的实数解，化简 k 2 k2 4k 44若关于 x 的一元二次方程 (m 2)2x2 (2m 1)x 1 0 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是 (AB m 34Cm 43且m 2 Dm 34且 m 2(山西省中考题 )5已知一直角三角形的三边为a 、b、 c， B90，那么关于 x的方程 a(x2 1) 2cx b(x2 1) 0的根的情况为 ( )B 没有实数根D

7、无法确定A 有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根(河南省中考题 )226如果关于 x 的方程 (m 2)x2 2(m 1)x m 0只有一个实数根，那么方程mx2 (m 2)x (4 m) 0 的根的情况是 ( )A 没有实数根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D 只有一个实数根(2003 年河南省中考题 )7在等腰三角形 ABC 中， A、 B、 C的对边分别为 a、b、c，已知 a 3，b和c是关于 x的21方程 x2 mx 2 m 0 的两个实数根，求 ABC 的周长2(济南市中考题 )28已知关于 x 的方程 x 2 2(2 m)x 3 6m 0(1)求证：无论 m 取什么

8、实数，方程总有实数根； (2)如果方程的两实根分别为 x1、 x2，满足 x1 =3 x2 ，求实数 m的值(盐城市中考题 )9 a 、 b为实数，关于 x 的方程 x2 ax b 2 有三个不等的实数根(1) 求证： a2 4b 8 0 ；(2) 若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60；(3) 若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 a和 b 的值( 江苏省苏州市中考题 )10关于的两个方程 x2 4mx 2m 3 0， x2 (2m 1)x m2 0中至少有一个方程有实根，则 m的取值范围是 (2002 年四川省竞赛题 )11当 a=

9、， b= 时，方程 x2 2(1 a)x (3a2 4ab 4b2 2) 0有实数根(全国初中数学联赛试题 )12若方程 x2 5x a 有且只有相异二实根，则 a 的取值范围是13如果关于 x的方程 mx2 2(m 2)x m 5 0没有实数根，那么关于 x 的方程 (m 5)x2 2(m 2)x m 0的 实根的个数 ( )A 2B1C0 D 不能确定14已知一元二次方程 x2 bx c 0，且 b、c可在 1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方 程共有 ( )A12 个B10 个 C 7 个 D5 个(河南省中考题 )15已知 ABC 的三边长为 a、b、c，且满足方程 a

10、x2 (c2 a2 b2)x b2 0 ，则方程根的情况是 ( ) A 有两相等实根B有两相异实根C无实根D不能确定(河北省竞赛题 )16若 a、b、c、 d0，1 x22c dx ab 02根证明 ：在方 程 1x22a bx cd 0 ； 1x2 2b cx ad 0 ；2212 x2 2d ax bc 0 中 ， 至 少 有 两 个 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数(湖北省黄冈市竞赛题 )317已知三个实数 a、b、c 满足 a b c 0 ， abc 1，求证： a、b、c 中至少有一个大于 218关于 x 的方程 kx2 (k 1)x 1 0 有有理根，求整数是的值(山东省

11、竞赛题 )19考虑方程 (x2 10x a)2 b (1)若 a =24，求一个实数 b ，使得恰有 3个不同的实数 x满足式(2)若a 25，是否存在实数 b ，使得恰有 3个不同的实数 x满足式 ?说明你的结论(国家理科实验班招生试题 )20如图，已知边长为 a 的正方形 ABCD 内接于边长为 b 的正方形参考答案判别式二次方程的粮的检测器【例麵求解】例I 由0且】一祕得一瘟*0.40*山 卅I些也时4 c扌馬，故a 不能为慨.制4 方程導价于如下两个方程*4一4-0F+d+4=0两方程无相同妁报.由于原方思R有3牛不相等的实極.故必脊且只有衣程或冇质报，“+16鼻(,心=/一“ 沁ti

12、l于心4； 故只可能处应壊符厅秤根为一2+-22#2,22ftj 5 由-生=L * 鴨理，得 F虹十=0*心=6： 4a： 仿+2口)厲 24) j a1) *-0.即& 2a0-即仃如时A0.方程冇购个不棚等实觀山“ 生2爭土都韓合題意.即岸在两牛点脚足希件.【学力训练】1. -42.居 303. 44, C S. A . C 7, A ABC?的周长为普或了&加0 或 -49. (1)原方程即为,+ar十6二士2、二疋一 +84=小一 458因为原方程有三个不尊的实数根所以b .4中必有 个大于0另一个等于0,显然即一4680(2)设方程才十心十6=2的根为厂、比方程x2+ar + 6-

13、2的根为珀则町+曲+血=180又二+孔=一幺才,= a 12060 迈专亠则(号)./ a 4 2+ ( 2 (二 )1解得 6 = 760=0(舍去.*5 = 6211. A=-4(l-a), + (a + 2Z),0,又一4(1一门：+ (a + 2O订=0.得 4匕1 一aF +(a + 20. a = 】=一*12. a = 0或a年当a = 0时方稈有相异二实根$当a0时有F乂一“ = 0(1)一5才+ a二0严25 + 4a&25 44a 则、0 且 At4)当加5时后一个方悝为一次方6h当m4时且m#5时$014. A 15. C16. Ai 2a+&2 Vcd= 26+ c2 /4=2c*+d2=20厶 +厶一(石一/J十 g/S7?) +6十017. a.Ke必有一个为正不妨设Q0则a + b-cgb + g、b可看作方程广+ * = 0购实根 = J-4 X ( * )0 18(门当女 0时才一1方程有有理根 (2)当AH0时肉方程有有理根故若决是整数.則=一 1F 4* =，一6冷+1必为完全平方数即存在非负整数处使*2-6*+l=m配方得(*-3)2-mf=8.即(点一3 +加)(点3加=8.而殳一 1 +加与怡一 3 m奇偶性相冋”一 3十加m：_3 加一:或女_：“加_解得点=6或& = 0(舍去). 一 3加=23加=-4 19.若有