二次根式的化简与计算的策略与方法.

1、二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： 先将式中的二次根式适当化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. 运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧， 会收到事半功倍的效果，下面通

2、过具体的实例 进行分类解析.1 .公式法【例1】【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 观察特征法例 2】计算：宀；.-【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以_73(2 + V2-76)_【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.(1)，即得分子，于是可以简解如下:【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：=(妇 _ 亦)二_ 卑)=

3、1+1【解】原式_ :_- - :At的系【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简但是，不难发现式分子中 数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，可以解答如下：=1十 R【解】原式-t/x -11 - fx- )(7x + i + 7x -+1 -3 运用配方法例 4】化简I -”【解】原式宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 平方法例 5】化简 7【解】=6-濟+ 2棉-岡禺心隐=12 + 2#-35 =. 二一丄二 【解后评注】对于这类共轭根式-；与-；-的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5恒等变形公式法【例6】化简上二d【方法导引】若直

4、接展开，计算较繁，如利用公式応：“?,则使运算简化.【解】原式= +（72-76）f + 73-（72-76）f=2（凋2 + 価-屈=2x（3 + 8-4a/3）=22-虻6 常值换元法例 7】化简-I /. L1. 丄一】-】【解】令卜二一一：，则：原式=J（, + 3住沪匚光匸2）+ =+1（/ + 3 j +1=花? +% + f= ?+3d+l=1998J+3x1998+1 39979997 裂项法1 1 1 A 1 + A +【例8】化简 - -.【解】原式各项分母有理化得原式一厂 / I 匸 肓 .1，=【例9】化简2+ 2烦4 + 2価 + 価炉廁*+側術+兀加岳）【方法导引】

5、 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：1111+ + +7+710 2 + V7 a/13 + a/w 4 + a/13価-历+尼屈-履亠4-历3 33= l(0-A/7 + 77-2 + 7i3-# + 4-) = |8 构造对偶式法旳 + 2 + J/ -4 * 旳 + 2 + J, -4【例10】化简 宀-* 丨宀【解】构造对偶式，于是没a = ?s +2 + 7 -4 , b =幷 + 2-J* _4则.? ：丨，二：，：:, - : : Tda b=一 + 原式 1 一：abab2=+2-2=9 由里向外，逐层

6、化简J1998 Jl 997 陌?Jl 995 * 1993 +1 +1 +1719943 =1994而二.J19 丽 995)1 = /199坯加991卩1 = 1996原式 1,11:1|-【解后评注对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理.io .由右到左，逐项化简【例ii化简【方法导引原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.【解原式=如0 J2 + J2 + 【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.返回二次根式大小比较的常用方

7、法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用.1 根式变形法【例1】比较二与二的大小【解】将两个二次根式作变形得久芳二疗石F陌，5石二T?对F厉；尸：丁 即- 7- .3【解后评注】本解法依据是：当.:|，.【时，?，则 f 卍；若.；-：，2 平方法【例2】比较的大小【解】J - ：，- ?-|：【解后评注】本法的依据是：当|，i -时，如果一 -1，则，如果，3 分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2 【例3】比较一

8、- 1与7的大小73 + 122（遐+ 1）【解】柘-1 3 -1（a/3 +1）1_-72+1於i仮t（血+1）= 72+1又匸 I:.7 14 分子有理化法利用分母的大小来判断在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化,其倒数的大小.【例4】比较陌庶与価-厉的大小715-/14解阿血+何_ 1715+./14+斥7w-./13 =: _后丽 714+/13 .而 715-,/140与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当-，i 时，则：彳lea&巴1 台a ：【例8】比较-与匸匸的大小.解:/11 .二:：I解后评注得上所述，含有根式的无

9、理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解有时 还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析， 以求用最佳的方法解岀正确的结果.二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： 先将式中的二次根式适当化简 二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式八：（_；,二） 对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. 运算结果一般要化成最简二次根式.化

10、简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容， 对于二次根式的化简，除了掌握基本概念 和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧， 会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例 进行分类解析.1 .公式法ab -b2【例1 计算【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 观察特征法2屈十翻-3屈例 2】计算：宀；-；，即得分子，于是可以简解如下:【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以一屈2十庞-屈一厲【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.

11、罷:壬Jx + 1 + 2斗-(1) J 八一 1 (2)，7(；)【方法导引】式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【方法导引】式可以直接有理化分母，再化简但是，不难发现式分子中1的系 数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:【解】原式- Jx-1)(J 兀+1)(/兀亠 i _也二冷+肝3 运用配方法【例4】化简I - .匚”【解】原式九汀丿，寸宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 平方法付6_后+ J6十辰解】丿

12、6后+ 2址6-后（6+侮）+ 6+ 愿= 12 + 2-35 = 14. . - - : 【解后评注】对于这类共轭根式-；与，二的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5恒等变形公式法【例6】化简上二工【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式-汀 .Iv- * ，则使运算简化.【解】原式=鸽+ 9-刷+炉佢-屈f=2 + 価-同=2x(3 + 8-473)= 22-86 常值换元法【例 7】化简-I /. L1. 丄一】-】【解】令I1.-.，则：原式=J牡+ 2)+1=4轻 +3)+1=花 2 +% + lf二/+%+1 二 1998：+3x1998+1-39979997 裂项法【例 8

13、】化简二 叮-丫 .4 : JJ【解】原式各项分母有理化得原式一厂丨下匸 肓 .1， 丁【例9】化简2 + 2 + 7104 + 2/13 + 10（乐怖你側+质用+岳）个分数的分子【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：电+ V7）十（仍代）亠丽+屈二R +曾）【解】原式1111=+7+710 2 + 7? 辰価 4 + /13TW-a/7 历-2 a/13-,/10 4-713=+3 333= （710-+77-2 + 713-# + 4/13）= |8 构造对偶式法w +2 + C -4 ?i +2 + 朋 -4【例1

14、0】化简一亠- J -;【解】构造对偶式，于是没a =幷 +2 + J, , b 二丹+则一一 _.丨一一；, -原式=丹+2_2=舟9 由里向外，逐层化简J1998 J1997 阪?J1995 瓦 1993 + 1 + “ 1 + 1解】.匚丁心： ：.7199? = 1994J199云1995+1 = J19 药可。99&-1卩1 =#9 = 1996原式|1:1-【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理.io.由右到左，逐项化简【例11】化简【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.【解】原式=+忑2 + 如的 23-(a/

15、2 +=J2+7TJ2-厉=占一紡=衍=i.【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去, 逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式） 的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有 很大的帮助和促进作用.i根式变形法【解】将两个二次根式作变形得二眄5血=7?对s厉7545，.历亦即3石5历则2 平方法例 2】比较3-丄与二1的大小【解皿仁珞，】7J .L巧A则一；.，如果.

16、/ -.1,【解后评注】本法的依据是：当fl0, 60 时，如果.则.； ： 3 分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2 【例3】比较；与一芒1的大小73 + 122（過+ 1）柘-1 （朽 _（朽 +）-72 +1（72-1（72+）4 分子有理化法利用分母的大小来判断在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化,其倒数的大小.【例4】比较715-,/14与価-厉的大小解715-./14 =何血剧715+/M7w-./13 =丽-柜3+屁+7131W+V13又/5 -H .,/、 p 亠1 1八厉 + 佰 Tm+a/13 而 J15-./M 714

17、-/135 等式的基本性质法【解法1【例5比较的大小.7 I.7 : ./I-.776-75 + (/6 + 75) = 76+76又.：仏 +同=12 + 27 = 12 + 2 履j7-j608 .求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当:II， 訂时，则：-t -0, &0 时，如果:，则，如果；则3 分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2 1【例3】比较-一 1与-的大小73 + 122(遐+ 1)柘-1 3 -J3 +1)1 72+172-1 p2-ij72+l)4 分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，

18、我们通常要将其进行分子有理化,其倒数的大小.利用分母的大小来判断【例4】比较,：，1 -1-与 U的大小解715-./14 =何血剧715+/147w-./13 =+7131 1血丽 TU+a/13 .而 715-./14714-/135 等式的基本性质法【例5比较的大小【解法1.7 I.7 : ./I-.776-75 +(./6+ 75) = 76+76仏 +同=12 + 26x6=22 + 236j7-j67e-75【解后评注】本解法利用了下面两个性质：都加上同一个数后，两数的大小关系不变 非负底数和它们的二次幕的大小关系一致.【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得（77-76）（77+）（76+75） = 76+75茁-苗+屈広+厉卜后廳又门厂-左-卜“- /-【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 利用媒介值传递法【例6】比较rm【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的