H926-向量问题-向量系数4均值不等式及辅助圆补充-007

1、向量系数3均值不等式及辅助圆一.选择题（共24小题）1.如图所示，在ZXABC中，AD=DB, F在线段CD上，设忑=；,AC=b，AF=xyb， 则丄+鱼的最小值为（）x yA6+2近B9、/C9 D6+牛应2.在矩形 ABCD 中，AB=V5 BC=V3, P 为矩形内一点，且 2=, AP=XAB-pAD2（入，|1WR）,则岳+屈1的最大值为（）A. 0, y0, A、B、P三点共线且向量丽=x5I+y55,则丄+空的最小值（）x yA. 4 B 2 C 9 D 105. A, B, C为圆O上三点，且直线OC与直线AB交于圆外一点，若OC=mOA+nOB，则m+n的范围是（）A（0,

2、 1） B（1, +8） C.0） D（ 8,- i）6. 已知在AABC内有一点P,满足包+餵瓦二，过点P作直线I分别交AB、AC171、N,若O=mAB， AJl=nAC （m0, nAO）,则 m+n 的最小值为（）A. 2 B. C 2 D 33 3第页（共22贞）7.如图，矩形ABCD, AB=2, AD=1, P是对角线AC上一点，疋丄正，过P的5直线分别交DA的延长线，AB, DC于E, N,若而二五，丽二五，则2m+3n的最小值是（）8.在ZXABC中，点D满足五今衣，点E是线段AD上的一个动点，若则t= （A - 1） 2+X的最小值是（A.警氏嚳.和書9如图所示，在AABC

3、中，D为AB的中点，F在线段CD上，设工AC=b，AF=x aryb则丄+Z的最小值为（）A. 8+2血B8 C6 D6+2后10.己知C是半径为1、圆心角为60。的圆弧上的动点，如图，若云二x玉+y5E，11.已知 M 是AABC 内一点，且AB-AC=2V3 Zbac=so，若mbc, Amca,AMAB的面积分别为牛，X, y，则xy的最大值是（）第2页（共22贞）A丄B丄C丄D丄1416182012.如图，直线MN过ZiABC的重心G （重心是三角形三条中线的交点），AC=b，AN=nb（其中 m0, n0）,则 mn 的最小值是（）929313.如图所示，Zxoy=60,石，E，分别

4、是与x轴、y轴正方向相同的单位向 量，若ir=xg+yE，记ir= （x, y）,设a= （p, q）,若3的模长为1，则p+q的最314已知RtAABC中，ZC=90. AC=3, BC=4, P为线段 AB上的点，且页+一西，则xy的最大值为（）|CA| |CB|A3 B2 C1 D415. 已知|二二2, AB - AC=2V3平面区域D山所有满足AP=X AB-b AC(1W入Wa, lWpiWb)的点P构成，其面积为8,则4a+b的最小值为()A. 13 B. 12 C 7V2D. 6216. (文)已知向量3= (- 1), b= (1, 1 )t c= (VScosa, Vasi

5、na) (aGR),实数m, n满足m anb=2c,则（m4）却卍的最大值为（）A4 B20+8近C32 D3617. 已知RtAABC, AB=3, BCM, CA=5, P为ZiABC外接圆上的一动点，且 第3页（共22页）AP=xAB+yAC?则时y的最大值是()A.色 B. A C. 2/lZ_D.色4 36318. A, B, C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D, OC=AOA+pOB(XGR, uR),则入+卩的取值范围是()A. (1, +8) B. (0, 1) C. (1, V2 D.( 1, 0)19. 已知平面向量玉、丽、65满足：I玉上0Bl= 0Cl=

6、l, 0A*0B=O.若农=x5S+y丽,(x, yWR),则x+y的最大值是()A.芈_ B. 1 C.丽 D. 2220. P是正六边形ABCDEF某一边上一点，AP=xAByAF，则x+y的最大值为()A4 B5 C6 D721. 在平面出角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=l Jt相异三点.若存在正实数入，U，使得疋入玉+u丽，则(X-2) 2+以的取值范圉是()A.(丄,+8) B( 8, 2) C. (2, +8) D.(8,丄)2 222. 给定两个长度为1的平面向量玉和丽，它们的夹角为120。如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧IE上变动.OC=xOA-yOB,其中x,

7、 yWR,则x+y的最大23已知A, B, C为圆O上三点，线段CO的延长线与线段AB有交点，若OC=mOA+nOB，则 m+n 的范围是()A. (0, 1) B(1, +8) C-0) D. ( - 8,- i)24.在平面直角坐标系xoy中，A、B、C是圆x2+y2=l上相异三点，若存在正实数入，小 使得住二入东+卩爲，则入2+ (- 3) 2的取值范围是()A. 0, +8) B. (2, +8) C. 2, +8) D. (8, +)第4页(共22贞)第5页（共22贞）向量系数3均值不等式及辅助圆参考答案与试題解析一选择题（共24小题）1. （20160.丄+（2x+y）（丄）=6+

8、工启；6+2电二6+牛应,当且仅当y=2近x=2 x yx y x y | x y伍时取等号.故选：D.2.（2016*杭州模拟）在矩形ABCD中,AB=舫,BC=並,P为矩形内一点，且AP&,2若AP=XAB+rAD （A, her）,则五+Jju的最大值为（）A. B.亟C.込 D.屈必2244【解答】解：如图，设p（X, y）, B （妬，0）, C （肩,貞），D （0,並）,ad-52丄 2 5- X +y 二孑r0x0,y0,A、B、P三点共线且向量丽=x5I+y丽, 则丄+鱼的最小值（）x yA4 B2 C9 D10【解答】解：TA、B、P三点共线且向量丽=x3J+y西，/. x

9、+y=l,Vx0, y0,丄+ （丄+?） （x+y） =5+ 5+2 11. ,_L=9,x y x yx yV x y当且仅当丫仝，即y=2x时，取等号，x y丄+2的最小值为9.x y故选c.5. （2016春丽水期中）A, B, C为圆O上三点，且直线OC与直线AB交于圆外一点，若OOmOA+nOB，则m+n的范圉是（）A. (0, 1) B(1, +8) c.( 1, 0) D. ( - 8,- i)【解答】解：如图，设直线OC与直线AB交于D,贝叭OD=kOC,且 kl；乂 OC=mOA+nOB:/.OD=kmOA+knOB,且 A, B, D 三点共线;/. km+k n=l；i

10、THm二召 k1;k/.0m+n0, n0）,贝lj m+n 的最小值为（ ）A. A B旦 C2 D333【解答】解：山在aabc内有一点p,满足餵瓦+疋=6得知p为三角形的重 心，且 AP=y （AB+AC）MP二 AP -AM吉（AB+AC） -m AB=（ | 一 口）AB+-AC*S=AN-M=nAC-inAE,1 1因为M, P, N共线，所以上，所以丄丄=3,m nm n所以 m+n= （m+n）（丄J-） = （2+卫）丄（2+2） =A,3m n 3 m n 33当且仅当m=n时等号成立；故m+n的最小值为仝.3故选A.7. （2016秋绵阳月考）如图，矩形ABCD, AB=

11、2, AD=1, P是对角线AC上一点， AP=-AC过P的直线分别交DA的延长线，AB, DC于M, E, N,若5第13页（共22贞）DM=mDA, DN=nDC 则 2m+3n 的最小值是（）第15贞（共22页）A.色 B鉴C.丝D.坐5 555【解答】解：矩形ABCD, AB=2, AD=1, P是对角线AC上一点，鬲二正,5 可得：AP=|衍，PC=|V由梅涅劳斯定理，丽二寂，丽屈，= 2m+3 n=5m n,2m+3n 2l 6inn，解的:当且仅当2m=3n时取等号,A2m+3n=5mnf故选c.8. （2015*岳阳模拟）在ZABC中，点D满足亦今衣，点E是线段AD 的一个 动

12、点，若AB+I1 AC，则t= （X- 1） 2+评的最小值是（）A.亜B.區.2 D.坐104108【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得西二k!5, 0k0.1+Z（2x+y）（丄犀）=4+乂伴4+2血d&当且仅当y=2x=lW取等号. X yX y x y V X y2第贞（共22页）丄+Z的最小值为& x y故选：B.10. （20152xy：x応寺；根据题意x0, y0；Cx+y ） $二 1+x応寻； x+y/3; |AB I | AC |=4：:屁 llAC IsinSQ0 二 1 寺齢y；旳=寺；x-0, y 0 寺二 x+y弭石； 当 x=y=寺时取=-164故

13、选：B.12. （2015*昌平区三模）如图，直线MN iiAABC的重心G （重心是三角形三条 中线的交点），设蔽3, AC=b，fiO=ma, I5=nb（其中 m0, n0）,则 mn 的最小值是（ ）A. Z B丄 C仝 DZ9293【解答】解：根据题意G为三角形的重心， 1 .烬丄(AB+AC),3. . 0 1 & . & 1* *1山 J MG二 AG-AI=g (AB+AC)-mAB= ( m 酣壬b， * * GN= AN-AGnb ( a+b ) = a4-(n-) b因为G, M, N三点共线，根据共线向量基本定理知，存在实数儿使得MG = XGM，1 1 .消去入得 m

14、+n - 3mn=0 m, n0Am+n=3mn2A/nn，所以mnA.所以mn的最小值为2故选：C.轴、y轴正若打的模长A. 1 B.也3C.D. A323【解答】解：二（p, q）, G的模长为1,I s I= p 巳一q 巳 2 =1/ l=p2+2pqcos60+q2=p2+pq+q2/. （p+q ） 2 - pq=l,即（p+q） 2“+pq+（耳9）2，则（p+q）20, y0|CA| IBC I 3 4半且仅当专w时,等号成立.13.（2015宿州一模）如图所示，Zxoy=60 包 分别是与x 方向相同的单位向量，若n=x石+y?，记ir=（X, y）,设a= （p, q）,

15、为4则p+q的最大值是（）则xy的最大值为3.故选:A.15. （2015秋大庆校级期末）已知|7b |= | AC|=2, AB p AC=2V3,平面区域D山 所有满足AP=X AB+ll ACClXa, lWpWb）的点P构成，其面积为8,则4a+b的最小值为（）A. 13 B. 12 C 7a/2D. 6V2【解答】解：胡耳|二扳|二2,丽云讣, cosZBAC=ABAC 二2仍_岛|AB p| AC I 2X2 2设 P (x, y),第22贞（共22页）平面区域D山所有满足AP=X AB +li!6（lWAWa, lWyWb）的点P构成,平面区域 D 的面积 S=2 (a 1) X

16、2 (b - 1) XsinZBAC=2ab (a+b) +1=8,*.ab - (a+b) =3,:一(&+b) -解得 a+b$6 或 a+bW 2 (舍)，ab=3+ (a+b) $9, /.4ab36, 4a+b 4ab=12.故4a+b的最小值为12.故选：B.16. (2017 春下期中)(文)已知向量于(1, - 1), b= (1, 1), c=(V2cosa, V2sina) (aWR),实数 m, n 满足 marnb=2c 则(m - 4) ?+“ 的最大值为()A. 4 B 20+82 c. 32 D 36【解答】解：ma+nb=2c，则 m (1, - 1) +n (

17、1 1) =2 (Vcosa, Vasina)， ill (m4) 2+n2=m2+n2 8m+16=2 (cosa - sina) 2+2 (cosa+sina) - 8f2 (cosarirH-n=2V2cos-irrt-n=2V2sinCt0-sin aC+sinCl-sina) +16,yr=2 (l2sinacosa) +2 (l+2sinacosa) +16sin (a-) +16,4TT=16sin (a - ) +20,4由 lWsin (a=)Wl,4TT4W16sin (a -) +20W36,4：4W (m - 4) 2+n236,(m - 4) 2+r?的最大值 36,

18、故选D.17（2017香坊区校级二模）已知 RtAABC, AB=3, BC=4, CA=5, P ABC 外接圆上的一动点，且忑局，则时y的最大值是（）A. 3 B. A C.返Id. 14 363【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系, 则AABC外接圆的方程为x2+y2=2.52,设P的坐标为（5cos6 sinO）,2 2过点B作BD垂直x轴，T sinA旦，AB=35ABD=ABsinA=i2_, AD二ABcosA=X 3丄，5 55AOD=AO - AD=2.5 -旦5 10AB （丄旦），105VA （ 竺 0）, C （邑 0）2 2/. A

19、B=（2, -11）, AC=（5, 0）, AP= （5cos0+旦，-sin0）55222V AP=xAB-yAC/.(殳os8+工-sin0) =x (土 -i-) +y (5, 0) = (2x+5y, -i-x)2225555.5cose+5x+5y, sine=Ii-x,22 525/. y=icos0 - sin0+, x=2sin8,28224A x+y=ios0+sinO+i=-sin (0+4) +, 其中 sin4)=, cos4)=-i,232 6255l sin (8+4) =1时，x+y有最大值，最大值为5+丄=土6 2 318(2016石家庄一模)A, B, C是

20、圆0上不同的三点，线段CO与线段AB交 于点D,若OC=XOA+nOB (Xer, hr),则入+卩的取值范围是()A(1, +8) B(0, 1) C. (1,近 De ( - 1, 0)【解答】解：TA, B, C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D：如图所示，不妨取ZAOB=120, ZAOC=ZBOC=60,则四边形AOBC为菱形； /.OC=OA+OB；XOC=OA+iOB：r.X=n=l,入+u=2,可排除B, C, D选项.故选：A.B19 ( 2016春岳麓区校级月考)已知平面向量51、0B.云满足：0Al = l 0? = 0Cl=l, OA*0B=0.若云=x6S

21、+y6E，(x, yER),则 x+y 的最大值是 ( )A.卫2 B1. CVa D22【解答】解：由农I,可知0C 2= (xOA+yOB) 2=1,Ax2 OA!2+y2 OB 2+2xy0A*0B=l,/. x2+y2=l,、兀设 x=cos0t y=sin0,则:x+y=cos 8 +sin.9 =V2sin( 8 +由正弦函数及性质可知：x+y的最大值是近，故答案选：C.20. （2015池州二模）P是正六边形ABCDEF某一边上一点，AP二xAB+yAF，则x+y 的最大值为（）A4 B5 C6 D7【解答】解：设六边形边长为2,把向量I?和向量乔，沿着AD方向和垂直于AD 两个

22、方向分解.设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴如图：F4C rB0EF那么忑应=（-1, V3）, AF=OE=（ 1, 循）AP=xAByAF= （ - x - y, V3 （x - y） 所以，当丽的横坐标最小的时候，x+y最大. 那么，当P与D重合时，满足这一条件.此时 AP=4, x+y=4最大值为4；故选A.21. （2015秋随州期末）在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=l 上相异三点.若存在正实数入，口，使得农=入玉+卩西，则（入2） 2+的取值范 围是（）A.（丄，+8） B. （-8, 2） C. （2, +8） D. （-8, 1）2 2【解答】解：根据

23、题意,-l0A-0C0；（入2）2+l+X2 - 2A（X-2）2+l+ x 2-2X0A*0C （入2）2+l+X2+2A； X - 2） 2+1+入2 - 2入=2入2 - 6入+5丄;2 X - 2） 2+1+入2+2入=2入22入+5无最大值；（X - 2） 2+卩2的取值范围为（*, +CO）.故选A.22. （2015春雅安校级期中）给定两个长度为1的平面向fflOAfiJOB,它们的夹 角为120。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧15上变动.若农=x3J+y西，其中 x, yWR,则x+y的最大值是（）第28贞（共22页）2 2A.近 B. 2 C. V3 D. 3【解答】解：如图，以O为坐标原点，