八上培优5-半角模型

1、八上培优 5- 半角模型八上培优 5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现 90套 45的情况，或者 120套 60的情况。 还有 2 套 的情况。求证的结 论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短 构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全 等。截长法，补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第 49 页，新 观察在第 34 页，新观察培优也有涉及，在第 27 页 2 两个例题， 29 页有习题。这些题大同小异，只是 图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全 下面是新观察第 34 页 14 题1. 如图，四边形 ABCD 中，A=C=90，D=60 ，AB=BC ，E、F ，

2、分别在 AD、CD 上，且EBF=60 求证： EF=AE+CF , CA=CB=4, AE=3, BF=2, 求五边ACB=120 形 ABCDEBB2. 如图 2，在上题中，若 E、F 分别在 AD 、DC 的 延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF B=90 ， ECF=60 ， 的面积.4如图 1在四边形 ABCD 中AB=AD ， B+ D=180， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且BAD=2 EAF （1）求证： EF=BE+DF ； （2）在（1）问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转， 当点 E、F 分别运动到 BC 、CD 延长线上时，如图 2 所示，试探

3、究 EF、 BE 、DF 之间的数量关系3. 如图 3，在四边形 ABDC 中， B+C=180， DB=DC ，BDC=120，以 D 为顶点作一个 60 的角，角的两边分别交 AB 、AC 于 E、F 两点，连 接 EF，探索线段 BE、CF 、EF 之间的数量关系， 并加以证明勤学早第 40 页试题1. ( 1 ) 如 图 ， 已 知 AB= AC, BAC=90， MAN=45, 过点 C 作 NC AC 交AN 于点 N，过点 B 作 BM 垂直 AB 交 AM 于点 M ， 当MAN 在BAC 内部时，求证： BM+CN =MN;BMNAC证明: 延长 MB 到点 G，使 BG=C

4、N, 连接 AG，证 ABG ACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. L GAM= GAB + BAM= CAN+ BAM=45 = LMAN,证 AMN AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM 十 NC.证明二： (此证明方法见新观察培优第 27 页例 3)(2)如图 ,在(1)的条件下，当 AM 和 AN 在 AB 两侧 时， (1)的结论是否成立 ?请说明理由 .MBMBFNNA C A C 解 :不成立，结论是 :MN=CN 一 BM, 证明略.基本模型二 120套 602. 如图，ABC 中,CA=CB,ACB=120,E 为 AB 上一点， DCE=

5、60 ,DAE= 120， 求证:DE=BECBF证明:（补短法 ）延长 EB 至点 F,使 BF=AD, 连接 CF, 则 CBF CAD ，CEDCEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图, ABC 中,CA=CB, ACB=120 ，点 E 为 AB 上一点， DCE= DAE= 60， 求证:AD+DE= BE.CEFEB证明:（截长法 ）在 BE 上截取 BF=AD, 连接 CF，易证 CBF CAD ，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27 页例 4 如 图， ABC 是边长为 1 的等边三角形， BDC 是顶角，

6、BDC= 120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB 、AC 于 M 、N, 连结 MN, 试求 AMN 的周长 .A分析 :由于 MDN=60 , BDC=120 ，所以 BDM 十 CDN=60 ，注意到 DB=DC ，考虑运用 “旋转法”将 BDM 和 CDN 移到一起，寻找全 等三角形。另一方面 , AMN 的周长 AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN.猜想 MN= BM+CN,证三角形全等解决 .新观察培优 68 页 例 5 如图， 点 A、B(2,0)在 x 轴上原点两侧 , C 在 y 轴正半轴上 , OC 平分 ACB.(1) 求

7、 A 点坐标 ;(2) 如图 1, AQ 在CAB 内部， P 是 AQ 上一点， 满足ACB= AQB, AP=BQ. 试判断 CPQ 的形 状，并予以证明 ;(3)如 图 2. BD BC 交 y 轴 负 半 轴 于 D. BDO=60, F 为线段 AC 上一动点， E 在 CB 延长 线上，满足CFD+E=180. 当 F 在 AC 上移动 时，结论 : CE+CF 值不变; CE- CF 值不变， 其中只有一个正确结论， 请选出正确结论并求其值xG分析 :(1)由 A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由 ACP BCQ 得 CP=CQ.(3) 由 BDBC

8、,BDO=60 ，可证得等边 ABC. 由角平分线和 DB_BC 的条件 ,运用对称性知 DAAC, 连结 DA, 加上条件 CFD+ E=180，可 证得 ADF BDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2 套 4. (1)如图 1，在四边形 ABCD 中， AB=AD, B+ D=180, E,F 分别是 BC,CD 上的点，且 EAF= 12 BAD, 求证:EF= BE+ DF;(2)如图 2,在(1)的条件下 ,若将 AEF 绕点 A 逆时针 旋转，当点 E,F 分别运动到 BC,CD 延长线上时， 则 EF,BE,DF 之间的数量关系是 EF=BE- DF-

9、 10 -GE解:(1)EF=BE+DF, 延长 FD 到点 G，使 DG=BE, 连 接 AG,证 ABE ADG (SAS), .AE = AG,BAE= DAG ， EAF= 1 BAD,2 GAF= DAG+ DAF= BAE+ DAF= BAD- EAF= EAF, EAF= GAF, 证 AEF GAF(SAS),. EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF ,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF .- 11 -外地试题：4探究：如图，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上， EAF=45 ，连结 EF，求证： EF=BE+DF 应用：如图，在四边

10、形 ABCD 中，点 E、F 分别 在 BC、CD 上，AB=AD ，B+ D=90，EAF= 1 BAD ，若 EF=3，BE=2，则 DF=5通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达 到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充 完整- 12 -原题：如图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC 、CD 上， EAF=45 ，连接 EF ，求证： EF=BE+DF （1）思路梳理AB=AD ，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG ，可使 AB 与 AD 重合 ADG= B=90 ， FDG= ADG+ ADC=180 ，则点 F、D、G 共线根 据 ， 易 证 AF

11、G ，从而得 EF=BE+DF ；（2）类比引申如图 2，四边形 ABCD 中， AB=AD ，BAD=90 点 E、F 分别在边 BC、CD 上， EAF=45 若 B、 D 都不是直角，但当 B 与 D 满足等量 关系 时，仍有 EF=BE+DF ，请给 出证明；（3）联想拓展如图 3，在 ABC 中， BAC=90 ，AB=AC ，点 D、E 均在边 BC 上，且 DAE=45 ，猜想 BD、 DE、 EC 应满足的等量关系，并写出推理过程- 13 -7（1）如图 1，在四边形 ABCD 中， AB=AD ， B=D=90，E、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且 AE=AF ， EA

12、F= 21 BAD 现有三种添加辅助线 的方式：延长 EB 至 G，使 BG=BE ，连接 AG； 延长 FD 至 G，使 DG=BE ，连接 AG ；过点 A 作 AG EF，垂足为 G；选择其中一种方法添加辅 助线，求证： EF=BE+FD ；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中， AB=AD ，若 B+D=180， EAF= 12 BAD ，证明（ 1）中结 论是否还成立？（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=AD ， B+ ADC=180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上 的点，且 EAF= 21 BAD ，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请写出

13、它们之 间的数量关系，并证明- 14 - 8（1）如图 1，在四边形 ABCD 中， AB=AD ， B=D=90，E、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且 EAF= 1 BAD 求证： EF=BE+FD 2（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD ， B+ D=180， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF= 12 BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请证明；若不成立，请写出线段 EF、BE 、 FD 它们之间的数量关系，并证明（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=AD ， B+ ADC=180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上 的点，且 E

14、AF= 21 BAD ，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立， 请证明；若不成立，请写出线段 EF、 BE、 FD 它们之间的数量关系，并证明- 15 -半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样 子？1如图 1，在平面直角坐标系中， AOB 为等腰（ 1）求 B 点坐标；（ 2）如图 2，若 C 为 x 正半轴上一动点， 以 AC 为 直角边作等腰直角 ACD ， ACD=90 ，连接 OD，求 AOD 的度数；（ 3）如图 3，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点， G 在 EF 的延长线上， 以 EG 为直角边作等腰 Rt EGH ，过 A 作 x 轴垂线

15、交 EH 于点 M ，连 FM ，等式 AM=FM+OF 是否成立？若 成立，请说明；若不成立，说明理由解：（1）如图所示，作 AOB 为等腰直角三 角形，且 AE OB， OE=EB=4 ，- 16 - OB=8 ，B（8，0）；（ 2）如图所示，作 AE OB 于 E，DFOB 于 F， ACD 为等腰直角三 角形， AC=DC ， ACD=90 即 ACF+ DCF=90， FDC+ DCF=90， ACF= FDC， 又 DFC= AEC=90 ， DFC CEA （AAS），EC=DF=4 ，FC=AE ， A（4，4）， AE=OE=4 ， FC=OE ， 即OF+EF=CE+EF

16、 ， OF=CE ， OF=DF ， DOF=45 ， AOB 为等腰直角三 角形， AOB=45 ， AOD= AOB+ DOF=90 ；3)AM=FM+OF 成立， 理由：如图所示， 在 AM- 17 -上截取 AN=OF ，连 EN AEN+ A（4，4），OEM=45 AE=OE=4 ，又 AEO=90 ，又 EAN= NEM=45 = EOF=90， AN=OF ，FEM， EAN EOF又 EM=EM ，（SAS）， NEM FEM OEF= AEN ，（SAS），EF=EN ， MN=MF ，又 EGH 为等腰直角三角形，AM-MF=AM-MN=AN ， GEH=45 ，即 AM

17、-MF=OF ，OEF+ OEM=45 ，即 AM=FM+OF ；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判 定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应 用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等 三角形解决问题，属于中考常考题型2如图，直线 L 交 x 轴、y 轴分别于 A、B 两点，A（a，0）B（0，b），且（ a-b）2+|b-4|=0（ 1）求 A、B 两点坐标；- 18 -（ 2）C 为线段 AB 上一点， C 点的横坐标是 3，P 是 y 轴正半轴上一点，且满足 OCP=45 ，求 P 点坐标；（3）在（2）的条件下，过 B 作 BD OC，交 OC、 OA 分别于 F、D

18、 两点，E 为 OA 上一点，且 CEA= BDO ，试判断线段 OD 与 AE 的数量关系，并说 明理由A（4，0），B（0，4）；2）- 19 -3如图，已知 A（a，b），AB y 轴于 B，且满足 |a-2|+（b-2）2=0，（ 1）求 A 点坐标；（2）如图 1，分别以 AB ，AO 为边作等边三角形 ABC 和AOD ，试判定线段 AC 和 DC 的数量关 系和位置关系，并说明理由；（3）如图 2，过 A 作 AEx 轴于 E，点 F、G 分 别为线段 OE、AE 上两个动点， 满足 FBG=45 ，- 20 -求其2017-2018 江汉期中 如图点 P为 ABC的外角 BCD

19、的平分线上一点， PA=PB（ 1）求证： PAC=PBC；- 21 -（ 2）作 PE BC于 E，若 AC=5，BC=11，求 SPCE： SPBE；3）若 M、N分别是边 AC、BC上的点，且 MPN=12 APB，则线段 AM、MN、BN之间有何数量关系，并解：（ 1）如图 1，过点 P作 PE BC 于 E，PFAC 于 F，PC 平分 DCB，PE=PF，在 Rt PAF 和 Rt PEB 中，PFPE PE BC ， CP 是 BCD 的平分线， PE=PF ， PCF= PAC= PBC，PAPB，PCE， RtPAFRt PEB， PC=PC，- 22 -tPEB，AF=BE

20、 ，AF=AC+CF PCF PCE ， CF=CE ， 由（ 1）知， Rt PAF RE=BC-CE ， AC+CF=BC-CE ， 5+CF=11-CE ， CE=CF=3 ， PFC PEC ，S PFC =SPEC ， RtPAFRtPEB，SPAF=SPEB ，S PCE ： SPBE =S PFC ： SPFA12 CF PF： 12 AC PFCF：AC=3 ：（3+5）=3：8（ 3）如图 3，在 BC 上 截取 BQ=AM ， 在PMA 和PQB 中，PAPBPAM PBQMA BQ，PMA PQB ， PM=PQ ， MPA=QPB ， APM+ QPA= APQ+ QP

21、B ， 即： APB= MPQ ， MPN= 12APB， MPN= 1MPQ ，2 MPN= QPN， 在MPN 和QPC 中，PN PNMPN QPNMP QP，MPN QPC ， MN=QN ， BN=AM+MN 【点评】 此题是三角形- 23 -综合题，主要考查了全 等三角形的判定和性 质，角平分线定理和角 平分线的定义，解（ 1） 的关键是判断出 PE=PF，解（2）的关键 是 求 出 CE=CF=3 ， 解 （3）的关键是构造全等 三 角 形 判 断 出 APB= MPQ ，是一道中等难 度的中考常考题2）如图 2，点 E 为 BC 上一点， AE 交 BM 于点- 24 -201

22、5-2016 江 岸 八 上 期 末 已 知 在 ABC 中 ， AB=AC ，射线 BM 、BN 在 ABC 内部，分别交线 段 AC 于点 G、H （1）如图 1，若 ABC=60 、 MBN=30 ，作 AE BN 于点 D，分别交 BC、BM 于点 E、F求证： CE=AG ；若 BF=2AF ，连接 CF，求 CFE 的度数；ABC 为等边三角形， 根据等边三角形的性质得到 BAC= ACB=60 ， AB=CA ， 求 得 BFD= AFG=60 ，推出 EAC= GBA 证得 GBA EAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；如 图 1，取 BF 的中点 K 连接 AK ，由 BF=2AF ，推出 FAK 是等腰三角形， 根据等腰三角形的性质得到 FAK= FKA ，求得 AKF 12 BFD 30，根据全等三 角形的性质得到 AG=CE ， BG=AE ， AGB= AEC ，推出 GAK EFC ，根据全等三角形的性 质得到 CFE= AKF 即可得到结论； （2）如图 2，在 BF 上取 BK=AF ，连接 AK ，推出 EAC= FBA ，根据全等三角形的性质得到 SABK=S ACF， AKB= AFC ，证得 FAK 是等腰三角形， 根据等腰