假设法解决问题

1、v1.0 可编辑可修改第五讲：数学思维训练之假设法解决数学问题一、鸡兔同笼问题1、知识介绍：大约在 1500 多年前， 我国的大数学家孙子在 孙子算经 中记载了这样的一道题： “今 有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问雏兔各几何”这四句的意思就是： 有若干只 鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有 几只鸡和兔这就是“鸡兔同笼”问题，它是我国古代著名趣题之一。同学们，你会解答这个 问题吗你道古人是怎样解决的吗今天我们将会用怎样的方法去解决呢这就是这专题学习的 一个重点， 巧用假设法去解此类问题是非常简单的， 也很好理解。 在日常生活有关鸡兔同笼

2、的问题很多， 如运输打坏玻璃如何赔偿、 两种钱放在一起如何分开， 考试中答错答对问题等 等这些问题，用假设方法去解答，能化难为易。2、探索题目：小梅数她家的鸡与兔，数头有 8 个，数脚有 26 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只 解法一：（古人解法）提足法：我 们先了解古人在解决此类问题的方法。 原来，孙子在解决时大胆的设想， 先让每只鸡 提起一只脚，每只兔提起两只脚。这样，每只鸡则变成了“独脚金鸡”了，而每只兔则变成 了“双脚怪兔”了。这样，现在脚的总数只有原来的一半了。我们再让它们提一次脚，让每 只鸡和每只兔都提起一只脚来， 现在每只鸡则变成 “无脚鸡”，而每只兔则变成了“独脚兔” 了。这样

3、，它们又提起了 8 只脚，所剩下的脚就只有兔子的脚了，从而求出了兔的只数来， 再求鸡的只数就非常简单了。 解答 兔的只数：鸡的只数：解法二：画图法（画头添足法）根据画图的过程列出算式： 解答 兔的只数：v1.0 可编辑可修改鸡的只数：解法三：假设法因为有 8 头，说明鸡和兔的总只数为 8 只，我们不妨假设笼子里全部者是兔子，1 只兔子有 4 只脚，所以共有 32 只脚，而实际只有 26 只脚，从中多出了 6 只脚来，为何多出 6 只脚呢是因为我们把笼子里的鸡当成了兔子造成的。 而我们每只鸡只有 2 只脚， 从而多算了 2 个脚来，由此可求出鸡的只数来，再求出兔子的只数，问题就解决了。当然还可假

4、设笼子 里全都是鸡来解决，请小朋友去完成吧。 解答 假设 8 只全都是兔子。鸡的只数：兔的只数：2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得 10 分，错一题扣 5分，小明共得了 70 分，他做对了几道题？分析：假设他做对了 10道题，那么应得 1010 100 （分） ，而实际只得 70 分，少 30分，这是因 为每做错一题，不但得不到 10分，反而倒扣 5分，这样做错一题就会少 10515 （ 分）， 看 30 分里面有几个 15 分，就错了几题。解：（ 10 1070 ） （ 10 5 ）30152 （ 道） 错题1028 （ 道）答：他做对了 8 道题。3、有面值 5元和 1

5、0元的钞票共 100张，总值为 800元。 5元和 10元的钞票各是多少张？ 分析：假设 100 张钞票全是 5 元的，那么总值就是 5100 500 （ 元 ） ，与实际相差 800500300 元差的 300元，是因为将 10元 1张的算作了 5元的，每张少计算 1055 （ 元），差的 300 元里面有多少个 5 元，就是多少张 10 元的钞票。v1.0 可编辑可修改解：（ 800 510 ） （ 10 5 ）300560 （ 张） 10 元面值1006040 （ 张）答：有 10元的钞票 60张， 5元的钞票 40 张。4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共 21 只，共 140条腿和 23

6、对翅膀，三种动物各多少只 （ 蜘 蛛 8 条腿，蜻蜓 6 条腿 2 对翅膀，蝉 6 条腿 1 对翅膀 ） 分析：假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是 6 条腿，那么总腿数是 621 126 （ 条） ，比实际少 140126 14（ 条） ，这是因为一只蜘蛛是 8 条腿，把它算作 6条腿，每只蜘蛛少计算了 862 （条）， 少算的 14条里面有几个 2条，就是几只蜘蛛，即 142 7 （只） 。从总只数里减 7只蜘蛛， 就得 21714 （只）是蜻蜓和蝉的和。 再假设这 14只全是蜻蜓，那么翅膀应是 214 28 （对） 比实际多 28235 （ 对），这是因为蝉是 1 对翅膀，把它算成 2对了，每只蝉多算

7、了 1 对 翅膀多出的这 5 对翅膀里面有几个 1 对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。解：（ 140 621 ） （ 8 6 ）1427 （ 只） 蜘蛛21714 （ 只）（ 2 14 23 ） （ 2 1 ）515 （ 只） 蝉1459 （ 只） 蜻蜓答：蜘蛛 7只，蜻蜓 9 只，蝉 5只。小试牛刀：1）、大油瓶每瓶装 4千克，小油瓶每瓶装 2千克，现有 200千克油装了共 60 个瓶子。问大 小油瓶各多少个v1.0 可编辑可修改2）、龟鹤共有 100 个头,350 只脚.龟, 鹤各多少只3）、学校有象棋 ,跳棋共 26副,恰好可供 120个学生同时进行活动 .象棋 2人下一副棋 ,跳棋6

8、 人下一副 . 象棋和跳棋各有几副4）、松鼠妈妈采松籽 ,晴天每天可以采 20 个,雨天每天只能采 12 个. 它一连几天采了 112 个松籽 ,平均每天采 14 个. 问这几天当中有几天有雨5）、某小学举行一次数学竞赛考试，共15 道题，每做对一题得 8 分，每做错一道题倒扣 4分，小明得了 72 分，他做对了多少道题6）、有 50 元人民币和 100 元人民币共 43 张， 共 3400 元， 问 50 元人民币和 100 元人民币各 多少张附：练习题1、盒子里有大、小两种钢珠共 30 个，共重 266 克，已知大钢珠每个 11 克，小钢珠每个 7 克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个2、一个

9、集邮爱好者买了 10 分和 20 分的邮票共 100 张，总值 18 元 8 角。 这个集邮爱好者买v1.0 可编辑可修改这两种邮票各多少张3、学校买来 3 个排球和 2 个足球，共花去 111 元。每个足球比每个排球贵 和每个足球各多少元3 元。每个排球4、 鸡兔同笼，头共 20 个，足共 62 只，求鸡与兔各有多少只5、在一个停车场上， 停了汽车和摩托车一共 32 辆。其中汽车有 4 个轮子，子，这些车一共有 108 个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆摩托车有 3 个轮6、全班 46人去划船，共乘 12 只船，其中大船每只坐 5人，小船每只坐船各有多少只3 人，求大船和小7、东风小学有 3

10、名同学去参加数学竞赛，一份试卷共 10 道题，答对一题得 道不但不得分，还要扣去 3 分，这 3 名同学都回答了所有的题目，小明得 分，小红得 87 分，他们三人共答对多少题8、在知识竞赛中，有 10 道判断题，评分规定：每答对一题得2 分，答错小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了 14 分，请问，他答错了几题510 分，答错一74 分，小华得 22题要倒扣一分。v1.0 可编辑可修改9、某运输队为超市运送暖瓶 500 箱，每箱装有 6 个暖瓶。已知每 10 个暖瓶的运费为 5 元， 损坏一个的话不但不给运费还要陪成本 10元，运后结算时， 运输队共得 1350元的运费。问、 共损坏了多少

11、只暖瓶10、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫16 只，共有 110 条腿和 14 对翅膀。问，每种小鸟各几只11、螃蟹有 10条腿，螳螂有 6 条腿和 1对翅膀，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀。现在这三种动 物 37 只，共有 250 条腿和 52 对翅膀。每种动物各有多少只12. 12 张乒乓球台上共有 34 人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张16. 鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80只，问鸡与兔各多少只17. 大院里养了三种动物，每只小山羊戴着 3 个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅 不戴铃铛小明数了

12、数，一共 9个脑袋、 28条腿、 11个铃铛，三种动物各有多少只18. 动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每v1.0 可编辑可修改次喂肉每头三斤，狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤该动物园共有这两类动物 100 头，每次需喂肉 100 斤，问大、小动物各多少20、昆虫笼里有蜘蛛、蜻蜓、蜜蜂共19、. 在很久很久以前，传说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟。有一次这两种鸟栖 息在树林里，一位猎人经过此地数了数， 这两种鸟头共 268 个，尾 332 个， 那么有九头鸟和 九尾鸟各多少只62只，下有脚 400 只，上有翅膀 76 对，问蜘蛛、蜻 蜓、蜜蜂各多少只21、犀牛，羚羊，孔雀三种动物共有头26 个，脚 80 只，犄角 20 只。已知犀牛有四只脚 1只犄角，羚羊有 4 支脚 2 只犄角 孔雀有 2 支脚，