傅里叶变换和拉普拉斯变换

1、傅里叶变换和拉普拉斯变换一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数 f t 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，里叶变换。即F j f te j tdt(5.1)f t 1 F j ej t d2即存在一对傅(正变换)(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号 U t ，斜变信号 tU t ， 单边正弦信号 sin tU t 等，从而对这些信号就难以 从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号eatU t a 0 等，则根本就不存在傅里叶变换。 另外，在求傅里叶反变换时， 需要求 从 到 区 间的广义积分。求这

2、个积分往往是十分困难的， 甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函 数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响 应，而不能求系统的零输入响应。 在需要求零输 入响应时，还得利用别的方法， 例如时域经典法。 由于上述几个原因， 从而使傅里叶变换在工程应 用上受到了一定的限制。 所以，当今在研究线性 系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号 f t 总是在某一确定的时刻接入 系统的。若把信号 f t 接入系统的时刻作为 t 0的时刻（称为起始时刻 ），那么，在 t0，意即 只有在 t0 时 f t 才有定义，即ej t dt(5-4a)或用单位阶跃函数 U t 加以限制而写成下式，即e

3、j td U t(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数 f t 不满足绝对可积条件时， 可采取给 f t 乘以因子 e （t 为任意实常数 ）的办法，这样即 得到一个新的时间函数 f t e t。今若能根据函数 f t 的具体性质，恰当地选取 的值，从而使当 t 时，函数 f t e t 0，即满足条件lim f t e t 0t则函数 f t e t 即满足绝对可积条件了， 因而它 的傅里叶变换一定存在。 可见因子 e t 起着使函数 f t 收敛的作用，故称 e t为收敛因子。设函数 f t e t 满足狄里赫利条件且绝对可积 （这可 通过恰当地选取的值来达到 ），则根据式 （5

4、-3）F j 0 f te tej tdt 0 f te j tdt在上式中， j 是以 j 的形式出现的。令 s j ，1 s为一复数变量， 称为复频率。 的单位为 s ， 的单位为 rad / s。这样，上式即变为F j 0 ftestdt由于上式中的积分变量为 t ，故积分结果必为复 变量 s 的函数，故应将 F j 改写为 Fs ，Fs0 f te stdt复变量函数 F s 称为时间函数 f t 的单边拉普拉斯变换。F s 称为 f t 的像函数， f t 称为 F s 的原函数 一般记为F s L f t符号 L 1 ? 为一算子，表示对括号内的时间函数 f t 进行拉普拉斯变换。

5、利用式 (5-4)可推导出求 F s 反变换的公式，即f t e t 21 F s e j t d对上式等号两边同乘以 e t ，并考虑到 e t不是 的函 数而可置于积分号内。于是得F s e tej tdtdF sestd(5-6)由于式 (5-6)中被积函数是 F s ，而积分变量却是实变量 。所以欲进行积分， 必须进行变量代换。 因sj故 ds djd (因 为任意实常数 )故1d dsj且当 时， s j ；当 时， s j 。将以上这些关系代入式 (5-6)即得ft2jF sest ds jt0写(5-7a)ft12jstF sestds U t j(5-7b) 式(5-7b)称为

6、拉普拉斯反变换，可从已知的像函 数 F s 求 与 之 对 应 的 原 函 数 f t 。 一 般 记 为 f t L 1 F s 符号 L 1 ? 也为一算子，表示对括号内的 像函数 F s 进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式 (5-7)构成了拉普拉斯变换对， 一般记f t F s 或F s f t若 f t 不是因果信号，则拉普拉斯变换式 (5-5)F s f testdt的积分下限应改写为 ( )，即(5-8)式 (5-8)称为双边拉普拉斯变换。 因为一般常用信 号均为因果信号 (即有始信号 ) ，故本书主要讨论 和应用单边拉普拉斯变换。 以后提到拉普拉斯变 换，均指单边拉普拉斯变换而

7、言。由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即 f t F j 而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即 f t F s .三、复频率平面以复频率 s j 的实部 和虚部 j 为相互垂 直的坐标轴而构成的平面， 称为复频率平面， 简 称 s平面，如图 5-1 所示。复频率平面 （即 s 平面） 上有三个区域： j 轴以左的区域为左半开平面； j 轴以右的区域为右半开平面； j 轴本身也是一 个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界 轴。将 s 平面划分为这样三个区域，对以后研究 问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数 f

8、t 乘以收敛因子 e t 后，所得新的时间函数 f t e t 便有可能满足绝对可 积条件。但是否一定满足， 则还要视 f t 的性质与值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因F s 0 f testdt 0 fte tejtdt由此式可见，欲使 F s 存在，则必须使 f t e t满足条件 ltimfte t 0 0收敛域左 半开 平面右半开平面收敛坐标式(5-9)中的 0值指出了函数 f t e t 的收敛条件。 0 的值由函数 f t 的性质确定。根据 0 的值，可将 s 平面(复频率平面 )分为两个区域，如图 5-2所示。通过 0 点的垂直于 轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴

9、， 0 称为收敛坐标。收敛轴以右 的区域 （不包括收敛轴在内 ）即为收敛域，收敛轴 以左的区域 （包括收敛轴在内 ）则为非收敛域。可 见 f t 或 F s 的收敛域就是在 s 平面上能使式 （5-9） 满足的 的取值范围，意即 只有在收敛域内取 值， f t 的拉普拉斯变换 F s 才能存在，且一定存 在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域 （即 s 域）中的推广，因而也具有与傅里叶变换的 性质相应的一些性质。 这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系， 利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表 5-1 中列 出。对

10、于这些性质， 由于读者在工程数学课中已 学习过了， 所以不再进行证明， 读者可复习有关 的工程数学书籍。表 5-1 拉 普拉斯变换的基本性质序 号性 质 名 称f t U tFs1唯性ftFs2齐 次 性Af tAF s3叠 加 性f1 t f2 tF1 s F2 s4线 性A1 f1 t A2 f2 tA1F1 s A2F2 s5尺 度 性f (at)， a 01F s aa6时 移 性f t t0 U t t0 ， t0 0t0sF s e 07时 域 微 分at fteF s a8复 频 微 积 分ftsF s f 0ft2s2F s sf 0 f 0fntn n 1 n 2 n 1 s

11、 F s s f 0 s f 0 f09复tf t11dFs ds频 移 性tf(n) tn dnF s1 dsn10时 域 积 分tfd0Fs s11复 频 域 积 分ft tFs s12时 域 卷 积f1 t f2 tF1 sF2 s13复 频 域 卷 积f1 t f2 t1F1 s F2 s214初f t cos 0t121 F s j 0 F(s j 0)值 定 理f t sin 0t11 F s j 0 F(s j 0)215终 值 定 理f0lim f t lim sF s t 0 t16调 制 定 理flim f t lim sF s t t 0利用式 (5-5)和拉普拉斯变换的

12、性质， 可以求出和导出一些常用时间常数 f tUt 的拉普拉斯变换式，如表 5-2 中所列。利用此表可以方便地查出 待求的像函数 Fs或原函数 f t表 5-2拉普拉斯变换表序号f tU tFs1t12ntn s3Ut1 s4t12 s5tnn!n1 s6at e1 sa7atte12 sa8t ne atn!n1 sa9ejt1 sj10sin t22 s11cos ts22 s12ate sin t22 sa13e at cos tsa22 sa14tsin t2s2 2 2 s15tcos t22 s2 2 2 s16sh t22 s17ch ts2218(t nT)n011 e sT1

13、9f (t nT)n0F0(s) sT 1e20U(t nT) U(t nT ) n 0 ,Ts1esTs1 e七、拉普拉斯反变换从已知的像函数 F s 求与之对应的原函数f t ，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法 。1 部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数 F s 通常都是复变量 s 的两个有理多项式之比，亦即是 s的一个有理分式，即Fsm m 1N s bmsm bm 1sm 1b1s b0Dn n1 s s an 1sa1s a0(5-10)式中， a0, a1, , an 1 和 b1, b2, , bm等均为实系 数； m 和 n 均为正整数。故可将像函数 F s 展开 成部分

14、分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得 对应的原函数 f t 。欲将 F s 展开成部分分式，首先应将式 (5-10)化成真分式。即当 m n时，应先用除法将 F sN0 s表示成一个 s的多项式与一个余式 D s 之和，即FsNsDsBsm nmnB1s B0N0 sD s ，这样余式N0 sD s 已为一真分式。对应于多项式QsmnB1s B0 各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激函数F s N s 本身。所以，在下面的分析中， 均按 F s D s 已是 真分式的情况讨论。分两种情况研究：(1) 分母多项式 D s sn an1sn1a1s a0 0 的根为 n 个单根 p1p2 pi

15、 pn。由于 D s 0时即有 F s ， 故称 D s 0的根 pi (i=1,2, ,n)为 F(s)的极点。此时 可将 D(s)进行因式分解，而将式 (5-10)写成如下 的形式，并展开成部分分式。即N sbmsm bm 1sm 1b1s bFsD s s p1 s p2 s pi s pnK1 K 2K iK ns p1 s p2s pis pn(5-11)式中， K i(i=1,2,n)为待定常数可见，只要将待定常数 K i求出，则F s的原函数 f t即可通过查表 5-2 中序号 6 的公式而求得t K1ep1t K 2ep2t pitKienK nepntK iepitU ti1

16、待定常数 K1 按下式求得，即Ki DN ss s piDss pi(5-12)现对式 (5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以spi，即有FsspiK1ss p1K2piss p2piKiKns pi s pn由于此式为恒等式，故可取s pi 代入之，并考虑到 p1 p2 p2 pi pn pi ，故得：F s s pis pi00Ki于是得KiFsspis piNssDspis pi证毕*2 留数法 (Residue Method) 根据 式(5-7)知， 拉普 拉斯反 变换 式为stf tF sestds2 j j t 0 这是一个复变函数的线积分，其积分路径是 s 平面内平

17、行于 j 轴的c1 0的直线 AB( 亦即直线 AB 必须在收敛轴以右)，如图 5-4 所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知， 可将求此线积分的问题， 转 化为求 F s 的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和。 这种方法称为留数法， 也称围 线积分法。闭合回线确定的原则是： 必须把 F s 的 全部极点都包围在此闭合回线的内部。 因此，从 普遍性考虑， 此闭合回线应是由直线 AB 与直线 AB 左侧半径 R 的圆 CR所组成，如图 54 所示。 这样，求拉普拉斯反变换的运算， 就转化为求被 积函数 F sest在F s的全部极点上留数的代数和， 即12jj F sestds 21j ABF sestds 21j CRF sestds12jF s est ds AB CRRe s pii1式中ABF sestdsstf t F s est dsjF s est ds 0CRpi i 1,2, 为 F s 的极点，亦即 D s 0的根； Res pi 为极点 pi 的留数。以下分两种情况介绍留数的具体求法。(1) 若 pi为 D s 0的单根即为 F s 的一阶极点，则其留数为Res pi F s est s pis pi(