余姚中学2014年自主招生

1、浙江省余姚中学2014年自主招生数学模拟试卷CA . a+b B . -a-b.a-b+2c D . -a+b-2c2有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到 分。每队的4项比赛得分之和算作总分， 如果已知各队的总分不相同，项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（5、 3、 2、 1并且其中一队获得了三A . 7B. 8C. 93. 已知a是方程x3 3x-0的一个实数根，则直线A .第一象限B .第二象限C4. 有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，y二ax 1 - a不经过（ .第三象限宽3.4米，5米，横截面的外圆直径为 0.8米的圆柱形钢管，

2、最多能运（A . 20 根B. 21 根C. 24 根5. 将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球,率是（）228）D .第四象限 用这样的集装箱运长为）根。D . 25 根3个空格相连的概A.5285566 .用 x表示不大于x的最大整数,则方程3 D56x2 -2x】-3 = 0的解的个数是（A. 17.对每个x, y 是 y12, y3.33x 12三个值中的最小值,2则当x变化时,函数y的最大值是（4877题,2每题5分，共35 分）二、填空题（共1 _8.已知一 b -c = （a b）（c a），且 a丰0,贝U4a9 . G是厶ABC的重心，过 G的直线交 AB

3、于M，交AC于N, 则 BM CNAM AN10. 已知a、b、c都是实数，且满足 abc,a+b+c=O.那么，c的取值范围是。a11. 在厶ABC中，AB=AC，且过 ABC某一顶点的直线可将 ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为 。12对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2 _（n - 2）x _2n2 =0的两个根记an bi(n 2), 则心2-2)血-2)心3-2)-2)+(a2007 -2)( b2007 - 2)513.设抛物线y =x2 （2a 1）x 2a（a为常数）的图象与x轴只有一个交4则 a18 323a-图呦图 2(b)满足 AE=DF连接CF交

4、BD于则线段DH长度的最小值是14.如图，E, F是正方形 ABCD勺边AD上两个动点, 点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为 2,三、解答题（本题有 4小题，共60分）15. （10 分）试求实数 k （ k 工一 1）,使得方程（k2-1）x2-6（3k-1）x 72 = 0的两根都是正整数。16.（12分）如图1,矩形铁片ABCD的长为2a,宽为a ;为了要让铁片能穿过直径为a10的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）;（1）如图2, M、N P、Q分别是AD AB BC CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉 ，只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是

5、,给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；（2）如图3,过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BGAD于点E、F（不与端点重合）,沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；1 当BE=DF=ia时,判断直角梯形铁片 EBAF能否穿过圆孔,并说明理由；5 为了能使直角梯形铁片 EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段 BE的长度的取值范围AD图217.（ 14分）喜欢钻研的小亮对 75角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75 的正弦值呢？经研究，他发现：sin75 =sin（45 +30 ）=sin45 cos

6、30 +cos45 sin30 ,于是他大胆猜想：sin（ : + : ）=sin cos L：,+cos sin : （ :和 F；为锐角）。将图 1（ a）等积变形为图1（ b）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2（ a）和图2（ b）。如图,锐角为:-的直角三角形斜边为 m，锐角为1的直角三角形斜边为 n,请你借助图2（a）和图2 （b）证明上述结论能成立。圈 a)11说明理由C.GB3BDDC的延长线于点等边 AEF两边分别交边 DC、CBN，试判断DM的中点.求证：菱形 ABCD对角线CB上移动.记等边2. 猜想 AEF的外心3, 当厶AEF面积最小时18. (14分

7、)已知菱形 ABCD的边长为1.Z ADC=60 于占J 八、(1)AC、(2) 猜想验证 拓展运用E、F.特殊发现：如图 1,若点E、F分别是边DC、CB BD交点0即为等边 AEF的外心； 若点E、F始终分别在边DC如图如图 AEF的外心为点P.P落在哪一直线上，并加以证明；,过点P任作一直线分别交边 DA于点M ,交边DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请模拟答卷班级姓名学号16.、选择题（每小题5分，共35 分）题号1234567答案二、填空题（每小题6分，共35分）& 9 . 10_11.12.1314. 三、解答题（第15题10分，第16题12分，第17、18每题14分，共

8、50 分）15.AD图1图217.BDB18.参考答案一、选择题1. C 2. B 3. D 4.B5. A 6. C 7. B二、填空题c 18.2; 9.1;10. -2a ,故沿着与ab垂直的方向无法穿过圆孔,10过点A作EF的平行线RS,故只需计算直线 RS与EF之间的距离即可,BE 二 AK = 1 a,EK 二 AB5KF 二 AF 一 AK 二 8a,EF5二 a, AF 二 AD - DF 二 9a,589a58 2(a)25vZ AHFhEKF=90，/ AFHhEFKah. AHFA EKF 二EKAFAH EF9、89 a89梯形铁片不能穿过圆孔;AHCB E89a，.该

9、直角100 - BE ： 39 _3 89 a或：39 3 89 玄：be :：: 2a17.6464图 2(b)图 2(a)如图2(a)，原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m, n为相邻两边，其夹角为a+ 3,得它的面积是 mnsin( a+ 3)(其中m、n分别是相邻两个直角三角形斜边的长度).如图2(b),原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是 msin a ncos 3+ mcosansin 3-与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有 mnsin( a+ 3) = msin a ncos 3+ mcos a nsin 3, 化简得 sin( a+ 3 = sin acos 3+ sin acos 318 ( 1)证明：如图1,连接OE、OF,四边形ABCD是菱形， ACL BD BD平分/ ADC AD=DC=BC1 / COD/ COB AOD=90 ADOADC = 30 ,又 t E、F 分别为 DC CB 中点，2111.OE 二 CD,OF= BC,AO 二 AD,. OE=OF=OA,二点 O 即为 AEF 的外心; 222猜想：外心P一定落在直线DB上.理由如下：如图2 ,分别连接PE、PA,过点P分别作PI丄CD于I , PJ丄AD于J , / PIE=/ PJD=90