二次根式复习讲义

1、二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式， 其中 叫被开方数， 只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】【例 1】下列各式（ 1） 15,2） 5,3） x2 2,4） 4,5） （ 31）2 ,6） 1 a,7） a2 2a 1， 其中是二次根式的是 （填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、 a B 、 10 C 、 a 1 D、 a2 12、在 a、 a2b、 x 1、 1 x2 、 3中是二次根式的个数有 个【例 2】 若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是x3举一反三：1、使代数式 x 3 有意义的 x

2、的取值范围是（ ）x4A、x3B、x3C、 x4D 、 x3 且 x42、使代数式 x2 2x 1有意义的 x 的取值范围是3、如果代数式 m 1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m ，n）的位 mn置在（ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】 若 y= x 5+ 5 x +2009 ，则 x+y=x50解题思路：式 子 a (a0)，, x 5 ，y=2009 ，则 x+y=20145x0举一反三：1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 xy 的值为()A 1B1C2D32、若 x、y 都是实数，且 y= 2x 3 3 2x 4，求 xy 的值3、当 a 取什么

3、值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。4、已知 a 是 5 整数部分， b 是 5 的小数部分，求 a 1 的值。b25、若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b 。x 2 16、若 17 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 x y 的值 .知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a(a 0) 是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. ( a)2 a(a 0) 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非 负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a) 2(a 0)3. a2 |a| a(aa(a 0)

4、0)注意：(1)字母不一定是正数2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式 a2 |a|与 ( a)2 aa( 0) 的区别与联系a(a 0)( 1) a2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数(2)( a)2表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数(3) a2 和 ( a)2的运算结果都是非负的典型例题】例 4】 若 a 2 b 3 c 4 0，则 a b c 举一反三：1、若 m 3 (n 1)2 0 ，则 m n的值为2、已知 x, y为实数，且 x 1 3 y

5、 2 2 0，则 x y的值为( )A3B3 C1D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足 x24 y2 5y 6 0，则第三 边长为 .20054、若 a b 1与 a 2b 4 互为相反数，则 a b 。公式 ( a)2 a(a 0) 的运用)例 5】 化简： a 1 ( a 3)2 的结果为()A、42aB 、0C、2a 4D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式 : x2 3=；m4 4m2 4 =2、 化简： 3 3 1 33、已知直角三角形的两直角边分别为2 和 5 ，则斜边长为公式 a2 a a(a 0) 的应用)a(a 0)例 6】已知 x 2,则化简 x2 4x 4

6、的结果是A、 x 2B 、 x 2C、 x 2D、 2 x举一反三：1、根式 （ 3）2 的值是（）A-3B3 或-3C3D92、已知 a0，那么 a 2a可化简为（ ）A aB aC 3aD 3a3、若2 a 3，则 2 a 2 a 3 7、已知 a 0 ，化简求值：a a 例 7】如果表示 a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示， + （a b）2 的结果等于（ ）等于（ ）A. 5 2aB. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 14、若 a30，则化简 a 6a 9 （a ） 4 （a ） a的结果是（ ）(A) 1(B) 1 (C) 2a 725、 化简 4x2 4x 1 2x

7、 3 得( )(D) 7 2a（A） 2 （B） 4x 4 （C）2（D） 4x 4a2 2a 12那么化简abA2bB2bC 2aD2a6、当 a0 时， b x ； （a 1） 1x 1 a知识点三：最简二次根式和同类二次根式知识要点】1、最简二次根式：1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2、同类二次根式(可合并根式)几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式 就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。典型例题】例 11 】在根式 1) a2 b2 ;2) x;3) x2 xy;4) 27abc ，最简

8、二次根式是(A1) 2)B3) 4)C1) 3)D1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：45a, 30, 21, 40b2 , 54, 17(a2 b2)2的最简二次根式2、下列根式中，不是最简二次根式的是(B 3CD 23、下列根式不是最简二次根式的是(A. a2 1B. 2x 12b C.4D. 0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1) 3a b3ab(2) 2 (3) x y(4) a b(a b)(5) 5(6) 8xy5、把下列各式化为最简二次根式：(1) 12(2) 45a2b2x(3)例 12】下列根式中能与 3 是合并的是 ( )A.

9、8B. 27C.2 5 D.举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是(D 、 a 1和 a 1A 、 3和 18B 、 3和 1 C、 a2b和 ab22、在二次根式： 12； 23 ； 32 ； 27 中，能与 3 合并的二次根式是。3 、如果最简二次根式3a 8 与 17 2a 能够合并为一个二次根式 , 则a=.知识点四：二次根式计算分母有理化知识要点】1分母有理化定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两 个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式： 利用 a a a来确定，如：

10、 a与 a， a b与 a b ， a b与 a b等分别互为有理化因式。两项二次根式： 利用平方差公式来确定。 如 a b 与 a b ， a b与 a b ， a x b y与a x b y分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式典型例题】例 13 】 把下列各式分母有理化1)484337例 14 】把下列各式分母有理化1)2x8x3y3） x x3b2a2例 15 】把下列各式分母有理化：1)2212)5353333 2 2 3举一反三：1、已知 x 2 3

11、， y 2 3 ，求下列各式的值：2 3 2 31)x y（2） x2 3xy y2 xy2、把下列各式分母有理化：1)abababb a2 b2b a2 b2小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；?与； 与； ? 与知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的ab = a b （a0，b0） 2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算 术平方根。ab ab （a0，b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根ba = ba （a0，b0）4二

12、次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术 平方根。注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变 形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二 次根式【典型例题】【例 16 】化简(1) 9 16(2) 16 81(3) 5 2 15(4) 9x2y2 ( x 0, y 0 )(5) 1 6 2 3例 17 】计算（1）? ( 2)? ( 3)? （4）5 ) ?7 ) ?8）例 18 】化简：(1)(2)(a 0,b 0)64b29a2(3) 694xy2(x 0,y 0)(4) 1659xy2(x 0,y 0)例 19】计

13、算：（1） 132例 20】能使等式 x 2 x 2 成立的的1(3)4644) 684A、 x 2B、 x 0C、x 的取值范围是（0 x 2D 、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减知识要点】需要先把二次根式化简， 然后把被开方数相同的二次根式 （即同类二次根式） 的系数相加减，被开方数不变。注意： 对于二次根式的加减， 关键是合并同类二次根式， 通常是先化成最简 二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方 数应不含分母，不含能开得尽的因数 典型例题】例 20】计算（ 1） 32 21 75 2 0.5 3 217 ；2） 10 51 23 20543） 32

14、81 15 7554 73 245 ；4)21 63 31 27 23 28 34 48 72 147例 21】 （1） 3 x y 4 x yx y 4x 4y3） 1 27a3 a233 3a a a 108a （ 4）34（ 2） a b a b a b a b1 4b a a25） 81a3 5a a 3 4a5a6)xxxy y知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值y y x 2xy知识要点】1、确定运算顺序；2 、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；典型习题】1、2 ab5b（ 3 a3b）2

15、4、 ( 72) 3 7 6236、 (3 2 5)2 (4 5)(4 5)3、 31 x2y(-4 yx2 )61 x2y5、(2 3 3 2 6)(2 3 3 2 6 )7、 (2 6 5)10(2 6 5)118、13m 9m (10m 2m5 2m2 m1 ) (m 0)例 21 】 1已知：，求 的值2已知，求 的值3已知：，求 的值4求的值5已知 、 是实数，且 ，求 的值知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当a 0,b 0时，如果 a b，则 a b ；如果 a b，则a b 。2、平方法当 a 0,b 0时，如果 a2 b2，则a b；如果 a2 b2，则 a b

16、。3 、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6 、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值， 利用传递性进行比较7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： a b 0 a b ；8、求商比较法 它运用如下性质：当 a0b0 时，则： b典型例题】例 22】 比较 3 5与 5 3的大小。（用两种方法解答）例 23 】比较32 1与 21 1的大小例 24】比较 15 14 与 14 13 的大小。例 25】比较 7 6 与 6 5 的大小 例 26】比较 7 3 与 87 3的大小二次根式典型习题集

17、一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式： 2、33、1 、 x（x0）、 0、x4 2 、 - 2 、 1 、 x y （ x 0，y? 0） xy（二）最简二次根式1把二次根式 x （ y0）化为最简二次根式结果是（）A x （y0） B xy （y0） C xy （y0） D 以上 yy都不对2化简 x4 x2y2 =（ x 0）3a aa21 化简二次根式号后的结果是 4. 已知 xy 0，化简二次根式 x 2y 的正确结果为 （三）同类二次根式1以下二次根式： 12 ； 22 ； 2 ； 27 中，与 3 是同类二次根式 的是（ ）A 和 B 和 C 和 D 和2在 8、1 75a 、2 9a、 125、2 3a3 、3 0.2 、-2