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文档简介
1、2016 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编10、计数问题、概率与统计部分2018a 3、将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行,记为 a, b, c , d , e, f ,则 abc +def 是偶数的概率为答案:910解析:先考虑 abc +def 为奇数时, abc , def 一奇一偶,若 abc 为奇数,则 a , b, c 为1,3,5 的排列,进而 d , e, f 为 2,4,6 的排列,这样共有 6 6 =36 种;若 abc 为偶数,由对称性得,也有 6 6 =36 种,从而 abc +def 为奇数的概率为72 1 1 9 = ,故所求为1 - =6! 1
2、0 10 102018b 3、将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行,记为 a, b, c, d , e, f ,则 abc +def 是奇数的概率为答案:110解析:由 abc +def 为奇数时, abc , def 一奇一偶,若 abc 为奇数,则 a , b, c 为 1,3,5的排列,进而 d , e, f 为 2,4,6 的排列,这样共有 6 6 =36 种;若 abc 为偶数,由对称性得,也有 6 6 =36 种,从而 abc +def 为奇数的概率为72 1= 。6! 102017a 6、在平面直角坐标系 xoy 中,点集 k =(x,y ) | x, y =-1,0,1,在
3、k 中随机取出三 个点,则这三个点中存在两点距离为 5 的概率为答案:47解析: 由题意得 k 有 9 个点,故从中取出三个点共有 c 3 =84 种。9将 k 中的点按右图标记为 a , a , l , a , o ,其中有 8 对点之间的距1 2 8离为 5 ,由对称性,考虑取 a , a 两点的情况,则余下的一个点有1 47 种取法,这样有 7 8 =56 个三点组(不考虑顺序)。对每个 a ( i =1,2, l ,8 ), k 中恰i有 a , a i +3 i +5两点与之的距离为 5 (这里下标按模 8 可以理解),因而恰有 a, a , ai i +3 i +5这 8 个三点组
4、被计了两次,从而满足条件的三点组个数为 56 -8 =48 ,进而所求的概率为48 4= 。84 72017b 6、在平面直角坐标系 xoy 中,点集 k =(x,y ) | x, y =-1,0,1,在k 中随机取出三 个点,则这三个点两两之间距离不超过 2 的概率为5答案:14解析: 注意 k 中共有 9 个点,故在 k 中随机取出三个点的方式数为 c39=84 种,当取出的三点两两之间距离不超过 2 时,有如下三种情况:(1) 三点在一横线或一纵线上,有 6 种情况,(2) 三点是边长为 1,1, 2 的等腰直角三角形的顶点,有 4 4 =16 种情况,(3) 三点是边长为 2, 2,
5、2 的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于 (0,0) 的有 4 个,直角顶点位于 ( 1,0) , (0, 1) 的各有一个,共有 8 种情况.综上可知,选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 6 +16 +8 =30 ,进而所求概率为 30 5= .84 142016a 4、袋子 a 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 b 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币,现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 a 中剩下的纸币面值之和大于 b 中 剩下的纸币面值之和的概率为答案:935解析:一种取法符合要求,等价于从 a 中取走的两张纸币的总面值 a 小于从
6、b 中取走 的两张纸币的总面值 b ,从而 a a =2 ,即从 b 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币,相应有 c 2 -c 2 =18 种取法因此,所求的概率为 7 33 18 54 9 = = c 2 c 2 10 21 35 5 72016b 5、将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子 a, b, c , d , e 中,恰有两个球放ijijijij在同一盒子的概率为12答案:25解析:样本空间中有53=125个元素而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为c 2 p 2 =60. 3 5过所求的概率为60 12p = = .125 252015a 5、在正方体中随机取 3
7、条棱,他们两两异面的概率为答案:255解析: 设正方体为 abcd-efgh,它共有 12 条棱,从中任意取出 3 条棱的方法共有c312=220 种下面考虑使 3 条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定 3 个互不平行的方向(即 ab、ad、ae 的方向),具有相同方向的 4 条棱两两共面,因此取出的 3 条棱必 属于 3 个不同的方向可先取定 ab 方向的棱,这有 4 种取法不妨设取的棱就是 ab, 则 ad 方向只能取棱 eh 或棱 fg,共 2 种可能当 ad 方向取棱是 eh 或 fg 时,ae 方向取棱分别只能是 cg 或 dh由上可知,3 条棱两两异面的取法数为 42=8,故所8 2求概率为 = 220 552015b 8、正 2015 边形 a a a1 2 2015则 oa +oa 1 的概率为 i j内接于单位圆 o ,任取它的两个不同顶点 a , a ,i j答案:6711007解析: 因为 | oa |=|oa |=1 ,所以i j| oa +oa |2 =|oa |2 +| oa |2 +2oa oa =2(1+cos ) i j i j i j i j1故 oa +oa 1 的充分必要条件是 cos - ,即向量 oa , oa 的夹角不
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