2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课后提升训练：1.4.2　第2课时　利用向量求空间角

1、好好学习，天天向上第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1。4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时利用向量求空间角课后篇巩固提升基础达标练1。若平面的一个法向量为n1=（1,0,1），平面的一个法向量是n2=（3，1，3）,则平面与所成的角等于（)a.30b.45c。60d.90解析因为n1n2=（1,0,1）（-3,1,3）=0，所以，即平面与所成的角等于90。答案d2.已知a（0,1,1),b（2,1，0），c(3，5，7)，d(1，2,4)，则直线ab和直线cd所成角的余弦值为（）a.52266b.52266c。52222d.-52222解析ab=（2,-2,1）,cd=（-2

2、，-3,3）,而cosab,cd=abcd|ab|cd|=5322=52266，故直线ab和cd所成角的余弦值为52266.答案a3.如图,在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，aa1=3,ab=ac=bc=2,则aa1与平面ab1c1所成角的大小为()a。30b.45c。60d.90解析取ab的中点d，连接cd，分别以da,dc,de所在直线为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系,可得a(1,0,0)，a1(1,0,3）,故aa1=(0,0，3),而b1(1,0,3),c1(0，3，3),设平面ab1c1的法向量为m=(a,b,c),根据mab1=0,mac1=0，解得m=(3,-3

3、,2），cosm,aa1=maa1|m|aa1|=12.故aa1与平面ab1c1所成角的大小为30,故选a。答案a4。已知正方形abcd所在平面外一点p,pa平面abcd，若pa=pb，则平面pab与平面pcd的夹角为（）a.30b。45c.60d。90解析如图所示,建立空间直角坐标系。设pa=ab=1，则a（0,0,0)，d（0,1，0),p(0，0，1),ad=(0，1,0）。取pd的中点e,则e0,12,12,ae=0,12,12，易知ad是平面pab的一个法向量,ae是平面pcd的一个法向量,所以cos=22，故平面pab与平面pcd的夹角为45.答案b5。在正方体abcda1b1c1

4、d1中，m,n分别为ad，c1d1的中点,o为侧面bcc1b1的中心，则异面直线mn与od1所成角的余弦值为(）a.16b。14c。-16d。-14解析如图，以d为坐标原点,分别以da,dc,dd1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则m（1，0，0），n(0，1,2）,o(1,2，1）,d1（0，0,2)，mn=(1,1，2），od1=（1，2，1)。则cos=ean|ea|n|=499=49。直线ae与平面a1ed所成角的正弦值为49。答案497.在正方体abcd-a1b1c1d1中，点e为bb1的中点,则平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为。解析建立空间直角

5、坐标系如图，设正方体的棱长为2,则d（2,0，0），a1（0,0,2）,e（0，2，1）,则a1d=（2,0，-2)，a1e=（0,2，1).设平面a1ed的法向量为n=（x,y，z)，则na1d=0,na1e=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=（2，1，2).易知平面abcd的法向量为m=(0，0，1)，则cosn，m=nm|n|m|=23.设平面a1ed与平面abcd的夹角为,则cos=cos=23。答案238.在空间中,已知平面过点（3，0，0)和（0，4,0）及z轴上一点(0,0，a)(a0),如果平面与平面xoy的夹角为45,则a=。解析平面xo

6、y的一个法向量为n=（0,0，1）,设平面的一个法向量为m=（x,y,z)，则-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,则x=a3，y=a4,m=a3,a4,1.由题意得cosn,m=1a29+a216+1=22。又因为a0,所以a=125.答案1259.如图所示,四边形abcd是直角梯形,abc=bad=90,sa平面abcd,sa=ab=bc=2,ad=1.(1)求sc与平面asd所成角的余弦值;（2)求平面sab和平面scd夹角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，s（0,0,2）,c（2,2,0），d(1，0，0），sc=（2，2,2),ab平面sad

7、，故平面asd的一个法向量为ab=（0，2，0),设sc与平面asd所成的角为,则sin=cossc,ab=|scab|sc|ab|=33，故cos=63,即sc与平面asd所成角的余弦值为63.(2)平面sab的一个法向量为m=（1,0，0)，sc=(2,2,2)，sd=（1,0，-2)，设平面scd的一个法向量为n=(x，y，z）,由scn=0,sdn=0x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面scd的一个法向量为n=（2，1,1）,设平面sab和平面scd的夹角为，则cos=|mn|m|n|=63，即平面sab和平面scd夹角的余弦值为63。能力提升练1.(2020安徽黄山高二期末

8、)已知直四棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长相等，abc=60，则直线bc1与平面abb1a1所成角的余弦值等于（）a.64b.104c.22d.32解析直四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长相等,abc=60,取ab中点e,以a为原点,ae为x轴，ad为y轴,aa1为z轴，建立空间直角坐标系,设ab=2,则b(3,-1，0），c1(3,1，2),a（0，0,0),a1（0，0,2)，bc1=（0,2，2)，ab=(3,-1,0),aa1=(0，0,2),设平面abb1a1的法向量n=（x,y，z）,则nab=3x-y=0,naa1=2z=0,取x=1,得n=(1,3,0)，设直线b

9、c1与平面abb1a1所成角为,则sin=|bcn|bc|n|=2384=64,cos=1-642=104,直线bc1与平面abb1a1所成角的余弦值等于104,故选b.答案b2.如图,已知四棱锥p-abcd的底面abcd是等腰梯形,abcd,且acbd,ac与bd交于o,po底面abcd，po=2,ab=22,e,f分别是ab,ap的中点。则平面foe与平面oea夹角的余弦值为()a。33b.33c.-63d.63解析由题意，以o为坐标原点,ob,oc，op所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题知,oa=ob=2,则a（0，2,0)，b（2,0,0），p（0，0,2

10、)，e(1,-1,0)，f（0,1，1）,oe=（1，-1,0),of=（0，1,1），设平面oef的法向量为m=（x,y，z),则moe=0,mof=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1，可得m=（1,1,1),易知平面oae的一个法向量为n=（0，0,1），则cosm，n=mn|m|n|=13=33,设平面foe与平面oea夹角为,则cos=cos|=33。答案b3.正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长都相等,则ac1与平面bb1c1c的夹角的余弦值为.解析设三棱柱的棱长为1，以b为原点,建立坐标系如图，则c1（0,1，1)，a32,12,0,ac1=-32,12,1，又平面bb1c

11、1c的一个法向量n=(1,0,0）,设ac1与平面bb1c1c的夹角为。则sin=|cos|=|ac1n|ac1|n|=64,故cos=1-sin2=104。答案1044.如图，三棱柱oabo1a1b1中,平面obb1o1平面oab,且o1ob=60，aob=90,ob=oo1=2,oa=3，求异面直线a1b与o1a所成角的余弦值为。解析以o为坐标原点，oa，ob所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则a（3,0,0），b（0，2，0)，a1(3,1，3),o1（0，1，3）,所以a1b=（3,1,3),o1a=（3,-1,-3)。设所求的角为,则cos=|a1bo1a|a1

12、b|o1a|=|-3-1+3|77=17,即异面直线a1b与o1a所成角的余弦值为17。答案175.已知菱形abcd中,abc=60，沿对角线ac折叠之后，使得平面bac平面dac,则平面bcd与平面cda夹角的余弦值为.解析如图，取ac的中点e，分别以ea，ed，eb为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设菱形abcd的边长为2，则a(1，0,0），c(-1，0,0)，d(0，3，0）,b(0,0,3）。设平面bcd的法向量为n=（x，y,z)，bc=（-1,0，-3）,bd=（0，3,-3）,-x-3z=0,3y-3z=0,令z=3，则y=3，x=3，即n=（3,3,3）.平面acd的法向

13、量为m=(0，0，1）,设平面bcd与平面cda夹角为，则cos=|nm|n|m|=3115=55.答案556.如图，在四棱锥p-abcd中,平面pbc平面abcd,底面abcd是平行四边形,且bcd=4，pdbc.(1)求证：pc=pd;（2)若底面abcd是菱形,pa与平面abcd所成的角为6，求平面pad与平面pbc夹角的余弦值.（1）证明如图，过p作pebc，垂足为e,连接de。图因为平面pbc平面abcd，所以pe平面abcd。因为pdbc，所以bc平面pde，所以debc。因为bcd=4,所以de=ce。在ped和pec中,pe=pe,ped=pec=90,de=ce，所以pedp

14、ec，所以pd=pc.（2)解因为bc平面pde,pe平面abcd,所以pae是直线pa与平面abcd所成的角,即pae=6，且debc,depe.设pe=a，则ae=3a，pa=2a。在dec中,设de=m,则ec=m,dc=2m，所以在rteda中,(3a）2=m2+(2m)2,所以m=a。以e为坐标原点,ed,eb，ep所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,图则d（a，0，0），a（a，2a，0），p(0,0，a），则平面pbc的一个法向量为a=（1，0，0）。设平面pad的一个法向量为b=(x,y，z）,因为ap=（a，-2a，a）,ad=（0，2a，0），所以-

15、2ay=0,-ax-2ay+az=0,取x=1,则b=（1，0，1）.设平面pad与平面pbc的夹角为,则cos=|ba|b|a|=12=22，所以平面pad与平面pbc夹角的余弦值为22.素养培优练如图,在四棱锥p-abcd中，pa平面abcd,adbc，adcd，且ad=cd=2，bc=22，pa=2。（1)取pc的中点n,求证:dn平面pab.(2)求直线ac与pd所成角的余弦值。（3）在线段pd上,是否存在一点m，使得平面mac与平面acd的夹角为45？如果存在，求出bm与平面mac所成角的大小；如果不存在,请说明理由。(1)证明取bc的中点e,连接de,交ac于点o，连接on，建立如

16、图所示的空间直角坐标系，则a（0,-1,0),b（2,-1,0）,c（0,1,0),d(1,0，0）,p(0,1，2)。点n为pc的中点，n（0,0，1)，dn=（1,0,1)。设平面pab的一个法向量为n=（x,y,z),由ap=(0,0，2）,ab=(2，0，0),可得n=（0,1,0)，dnn=0.又dn平面pab，dn平面pab.(2）解由(1）知ac=（0，2,0）,pd=（-1,1，2)。设直线ac与pd所成的角为,则cos=226=66.(3)解存在.设m(x,y，z),且pm=pd，01，x=-,y+1=,z-2=-2,m(,-1,22）.设平面acm的一个法向量为m=（x，y，z）,由ac=（0，2,0），am=（-，,2-2)，可得m=(22,0，）,由图知平面acd的一个法向量为n=（0，0，1)，cos|=12+(2-2