三角形的等积变形

1、年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课， 我们一起来学习三角形的等积变形， 它是几何问题中在求直线型面积时， 很重 要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：S底 高 2 三角形面积、底和高之间的关系： 从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小） ，三角形面积也就越大（小） 如果三角形的高不变，底越大（小） ，三角形面积也就越大（小） 当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。 当三角形的底和高同时发生变化时

2、， 三角形的面积不一定变化。 化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。 重要结论：等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等， 其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍， 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等， 其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍， 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。一个三角形的面积变那么这个三角那么这个三角例 1 如图，在 ABC 中，D是 BC边上一点， BD12厘米， DC 4厘米。（ 1）求 ABC 的面积是 ABD 面积的多少倍；（ 2）求 ABD 的面积是 A

3、DC 面积的多少倍。分析与解： 因为 ABD、 ABC和 ADC 分别以 BD、BC和DC 为底时，它们的高都/是过 A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，124 16，1612444 ，所以 ABC 的底是 ABD 的底的 倍，所以， ABC 的面积是 ABD 面积的 倍；333同理，因为 1243，所以 ABD 的面积是 ADC 面积的 3 倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数底边长的倍数。例 2 如图， E 在 AD 上， 积是 EBC 面积的几倍。AD垂直于 BC， AD 12厘米， DE 3厘米。求 ABC的面分析与解： 因为 AD 垂直于 BC

4、，所以当 BC 为 ABC 和 EBC 的底时， AD 是ABC 的高， ED 是 EBC 的高。于是： ABC 的面积 BC122 BC6； EBC 的面积 BC32 BC1.5。 所以ABC的面积是 EBC 的面积的 4倍。 巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数高的倍数。例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线， 其交点为 O，求证：AOB 与 COD面积相等。分析与解： ABC与DBC 等底等高， SABC S DBC 。又S AOB S ABCS BOC ，S DOC S DBCS BOC ， SAOB S COD 。/分析与解： D 是 BC 的中点， A

5、DC 的面积是 E是 AC的中点， ADE 的面积是 ABC 面积的一半，即 ADC 面积的一半，即242 12 。122 6。F是 AD 的中点， DEF 的面积是 ADE 面积的一半，即 DEF 的面积 62 3。如图， ABC 的面积是 24，D、E和 F 分别是 BC、AC和 AD 的中点。求 DEF例 5 如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF 2CF ， AFE（图中 阴影部分）的面积为 8 平方厘米。则平行四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？分析与解： 连结 FB。因为 AF2CF，所以 AFB 的面积是 CFB 的面积的 2 倍。 又因为 E

6、为 AB的中点，所以 AFB 的面积是 AEF 的面积的 2 倍。 所以ABC的面积是 AEF 的面积的 3倍。又因为平行四边形 ABCD 的面积是 ABC 的面积的 2 倍， 所以平行四边形 ABCD 的面积是 AFE 的面积的 326 倍。 因此，平行四边形 ABCD 的面积为 8648（平方厘米） 。答题时间：30 分钟）1. 用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图，在长方形 ABCD 中，AD 为 8厘米， AB 为 3厘米。请问：阴影部分的面积是多 少平方厘米？/3. 如图，在 ABC中，D、E、F 分别是 BC、AD、BE的三等分点，已知 S ABC

7、 27平方厘米，求 S DEF 。BC 长为 12 厘米，腰 CD 的长为4. 如图所示，梯形8厘米，过 B 点作 CD 的垂线 BE，BE的长为 9 厘米。那么梯形 ABCD 的面积是多少？5. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 10，三角形 BEF 的面积为 30。那么 BF 的长度为 多少？/1. 解：解法一：如图（1），将 BC 边四等分，连接 A与各等分点， 则ABD、ADE、AEF、 AFC 的面积相等。解法二：如图（ 2），D 是 BC 的二等分点， E、F 分别是 AC、AB 的中点，从而得到四 个等积三角形 ADF、BDF、DCE 、ADE。解法三：如图（ 3），D 是

8、BC 的四等分点， E、F 是 AD 的三等分点，从而得到 ABD 、 AEC 、ECF、 FCD 的面积相等。2. 解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为 83212（平方厘米）。13. 解：因为 D 为 BC边的三等分点， 所以 SADCS ABC 9平方厘米。 同理 S ABE 311S ABD 6 平方厘米， SBDF SBDE 4 平方厘米，所以 SDEF 279 6 483 ABD BDF 3 BDE DEF 平方厘米。4. 解：连接 BD，作出梯形的一条高 DF 。三角形 BCD 以 CD 为底、BE 为高，面积为 892 36（平方厘米） ；也可以看做以 BC 为底、DF 为高，由 BC12厘米可知 DF 为 36212 6（厘米）。在梯形 ABCD 中，上底为 5 厘米，下底为 12 厘米，高为 6 厘米，面积为（ 5 12） 62 51（平方厘米） 。5. 解：三角形 ABE 中以 AB 为底，相应的高与正方