2.3数学归纳法学案

1、00000)2.3 数学归纳法导学案题型三、用数学归纳法证明几何问题编写：朱家锋 校对：高二数学备课组例 3平面内有 n( n n*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。这 n 个圆把平面分成n2-n +2个部分.二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n 时命题成立；（2） （归纳递推）假设 n=k (kn ,kn*) 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 开始的所有正整数 n

2、都成立。这种证明方法叫做数 学归纳法。可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。题型四、用数学归纳法证明整除问题2、数学归纳法证明命题的类型与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。例 4、 用数学归纳法证明 32n28 n9(nn)能被64 整除三、问题探究1、 数学归纳法的归纳奠基中 n 一定等于 1 吗？2、 为什么可以先假设 n=k (kn ,kn*) 时命题成立? “假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明 n=k+1 时命题成立时，必须用上 n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据， 这样

3、就需要从 n=k+1 的式子中分离出 n=k 时的式子，或将 n=k+1 的情况用 n=k 的情况表示。 2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定 n=1 时及 n=k 变化题型五 归纳、猜想、证明例 5是否存在常数 a，b，c 使等式 12 2 +2 32 +34 2 +n(n+1)2=n(n+1) 12(an2+bn +c对一切自然数 n 都成立，并证到 n=k+1“和”或“积”的情况。 五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式明你的结论。例 1、例 1 数学归纳法证明 132333n3=14n2（n1）2六、强化训练题型二、用数学归纳法证明不等式1 1 1

4、例 2、归纳法证明 + +n +1 n +2 n +3+1 93n 10（n1，且 n n ）1.用数学归纳法证明“1xx2左边的式子是xn1=1 -x n +2 1 -x(x1，n n)”成立时，验证 n=1 的过程中( )(a)1 (b)1x (c) 1xx2(d) 1xx2x3x2()k -1k +1k11k+1kk2kk2 某个命题与自然数 n 有关，如果当 n=k(nn)时成立那么可推得 n=k+1 时该命题也成立现已ap(n)对所有自然数n成立bp(n)对所有正偶数n成立知当 n=5 时，该命题不成立，那么可推得( )cp(n)对所有正奇数n成立dp(n)对所有大于 1 的自然数n

5、成立(a) 当 n=6 时该命题不成立(b) 当 n=6 时该命题成立9.用数学归纳法证明 34 n +1+52 n +1( n n ) 能被 8 整除时，当 n =k +1 时，对于 34( k +1)+1+52( k +1)+1可变形(c) 当 n=4 时该命题不成立1 1 13.数学归纳法证明 1 2 3 2 n -1成立时，左边增加 m 个项，则 m 等于(d) 当 n=4 时该命题成立n（n1）的过程中，第二步证明从 n=k 到 n=k1( )为 （ ） 5634 k +1 +25(34 k +1 +52 k +1) 3434k+1 +5252k 34 k +1 +52 k +1 2

6、5(34 k +1 +5 2 k +1)(a) 2k1 (b) 2k1(c) 2k(d) 2k110.证明12 2 2+ 1 3 3 5+l +n 2(2 n -1)(2n +1)=n( n +1) 2(2 n +1), n n*4.数学归纳法证明（n1）（n2）（nn）=2n 1 3（2 n1）(nn)时，证明从 n=k 到 n=k1 的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以2k +2(a)2k2 (b)（2k1）（2k2） (c)k +1(d)( )(2k+1)(2k+2)k +111.求证： 1 +1 1 1+ + +l + 2 3 42n1-1n, n n*.5. 已知1 1 1

7、f ( n) =1 + + +l + n n2 3 n*, 证明不等式f(n)n2时,f (2k +1)比f (2k)多的项数12. 平面内有 n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们： （1 ）共有为 ( ) a. 2 b 2 c. 2 d. 2k +16.用数学归纳法证明1 1 1 1 1 1 1 11 +l+ - = + +l+ ( n n ) ,则从 k 到 k1 时,左边 2 3 4 2n -1 2n n +1 n +2 2nf (n)=n(n-1)个交点 （ 2 ） 互 相 分 割 成 2h(n)=n(n+1)+1个部分。2g (n)=n2条 线 段 （ 3 ） 把

8、 平 面 分 割 成应添加的项为(a)12 k +1(b)1 1-2k +2 2k +4(c) 12 k +2(d)1 1 2k +1 2 k +215.用数学归纳法证明：(3n +1)7 n -1( n n )+能被 9 整除7. s =k1 1 1+ +k +1 k +2 k +3+l+12 k( k =1,2,3, l ), 则 s = ( )(a) s +12 ( k +1)(b) s +1 1- 2k +2 k +116 是否存在常数 a , b, c 使等式 1 (n -1 一切正整数 n 都成立？证明你的结论。2) +2( n2-22) +n(n2-n2) =an4+bn2+c对(c) s +8.如果命题1 1-2k +1 2 k +2p(n) 对 n