(完整版)高二数学分组与分配问题专题

1、超越文化培训高二数学寒假专题讲座探讨排列组合中分组与分配问题2017.3分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有 关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问 题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握该节内容。下面就分组与 分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：一、分组与分配的相关概念：n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同的对 象，称为 分配问题，；将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平 均分组、和部分平均分组三种情况。二、分组与

2、分配模型的分类：均匀分组；非均匀分组； 均匀分组与分配；非均匀分组定向分配；非均匀分组不定向分配；三、分组与分配模型的适用范围：n 个不同元素分配给 k（ k n ）个不同的对象，每个对象至少分配 1 个元素。四、例题精选 :(一) 分组与分配问题的基本模型：例 1、6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法 ?（1）平均分成三堆；问题（2） 平均分给甲、乙、丙 3 人； 分配问题（3） 一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本； 组问题（4） 甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本； 组定向分配-均匀分组-均匀分组-非均匀分-非均匀分（5）一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本

3、； -非均匀分组 不定向分配c 2c 2c 2分析：（1）6 本不同的书平均分成三堆的方法数共有 6 4 2 种。注意：不a33同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；（2）6 本不同的书平均分给甲、乙、丙 3 人，这是均匀分组分配问题。c 2c 2c 2可先对 6 本书进行分组，共有分组方法数 6 4 2 种；然后再把三堆书分别分给a33甲、乙、丙 3 人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙 3 人的c 2c 2c 2 方法数共有 6 4 2a33a33种 ，即 c26c24c22种。（3）一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，这是非均匀分组问题，分组方法数共有c1c 26

4、 5c33种。（4）甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本，这是非均分组定向分配问题，先对6 本书进行分组，分成三堆，共有方法数 c1c 26 5c33，然后再进行定向分配，由于甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本的方法数还是 c1c 26 5c33种。(5) 一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本,这是非均匀分组不定向分配问 题，先把 6 本书分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，分堆方法数共有 c 1c 2c 36 5 3；然后再分给三个人，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本的方法数共有 c1c 26 5c33a33

5、种。小结：练习：1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，现从10 人中选派 4 人承担这三项任务。则不同的选法种数有多少种 ?2、有 17 个桃子，分成 8 堆，其中一堆 1 个，一堆 4 个，另外 6 堆每堆都是 2 个，有多少 种不同的分堆方法?(二) 分组与分配问题的综合应用：例 2、四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 多少种?分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放 2 个小球，另外两个盒子各放 1 个小球； 因此，该题转化为 4 个不同的小球分成 3 组，然后将 3 组小球分别投入到 4 个盒子中的任意 3 个

6、盒子中。解：第一步：4 个小球分成 3 组的分组方法数共有c 2c 1c 1 4 2 1 种； a22第二步：再把 3 组分好的小球投入到 4 个盒子中的任意 3 个小盒中，分配方法数共有 a34种；所以，要完成四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，需要4c 2c1c 1两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数 4 2 1 a3 种。a22变式题：四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中， 则愉有 2 个空盒的 放法共有多少种?例 3、有 5 件不同的奖品发给 4 位先进工作者，每人至少 1 件，有多少种不同的发法? 分析：5 件不同的奖品发给 4 位先进工作者，至

7、少有一位先进工作者要领 2 件不同的奖品；因此，可以把 5 件奖品分成 4 组，每组分别有 2 件、1 件、1 件，1 件； 然后再把四组奖品分别发给 4 个不同的先进工作者。解：第一步：5 件不同的奖品分成 4 个小组，分组方法数共有c 2c 1c 1c 1 5 3 2 1 种；a33数有 a44第二步：再把 4 个小组的奖品分给 4 个不同的先进工作者，分配方法 种；所以，要完成 5 件不同的奖品发给 4 位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原理，c 2c 1c 1c 1发放奖品的方法数共有 5 3 2 1a33a44种。变式题：有 5 件不同的奖品发给 3 位先进工作者，每人至少 1 件，有多少种不同的发 放奖品的方法?练习题：1、将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名，有多少种不同的分配方案? 2、2 名医生和 4 名护士